一、B-樹
1. B-樹是一種多路搜索樹（並不一定是二叉的）
1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一種適用於外查找的樹，它是一種平衡的多叉樹，稱為B樹（或B-樹、B_樹）。
2. 一棵m階B樹(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索樹。它或者是空樹，或者是滿足下列性質的樹：
- 根結點至少有兩個子女；
- 每個非根節點所包含的關鍵字個數 j 滿足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；
- 除根結點以外的所有結點（不包括葉子結點）的度數正好是關鍵字總數加1，故內部子樹個數 k 滿足：┌m/2┐ <= k <= m ；
- 所有的葉子結點都位於同一層。
二、特點：
是一種多路搜索樹（並不是二叉的）：
- 定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；
- 根結點的兒子數為[2, M]；
- 除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；
- 每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）
- 非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；
- 非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
- 非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；
- 所有葉子結點位於同一層；
如：（M=3）
B-樹的搜索，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查找，如果
命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指針為
空，或已經是葉子結點；
三、B-樹的特性：
- 關鍵字集合分佈在整顆樹中；
- 任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；
- 搜索有可能在非葉子結點結束；
- 其搜索性能等價於在關鍵字全集內做一次二分查找；
- 自動層次控制；
四、B+樹
B+ 樹是一種樹數據結構，是一個n叉樹，每個節點通常有多個孩子，一棵B+樹包含根節點、內部節點和葉子節點。根節點可能是一個葉子節點，也可能是一個包含兩個或兩個以上孩子節點的節點。
五、用途：
B+ 樹通常用於數據庫和操作系統的文件系統中。NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS, ReFS 和BFS等文件系統都在使用B+樹作為元數據索引。B+ 樹的特點是能夠保持數據穩定有序，其插入與修改擁有較穩定的對數時間複雜度。B+ 樹元素自底向上插入。
六、B+樹的定義
1. B+樹是應文件系統所需而出的一種B-樹的變型樹。一棵m階的B+樹和m階的B-樹的差異在於：
- 有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字，每個關鍵字不保存數據，只用來索引，所有數據都保存在葉子節點。
- 所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的信息，及指向含這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大順序鏈接。
- 所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含其子樹（根結點）中的最大（或最小）關鍵字。
通常在B+樹上有兩個頭指針，一個指向根結點，一個指向關鍵字最小的葉子結點。
2. B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：
- 其定義基本與B-樹同，除了：
- 非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；
- 非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區間）；
- 為所有葉子結點增加一個鏈指針；
- 所有關鍵字都在葉子結點出現；
如：（M=3）
B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在
非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集做一次二分查找；
七、B+的特性：
- 所有關鍵字都出現在葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字恰好是有序的；
- 不可能在非葉子結點命中；
- 非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是存儲（關鍵字）數據的數據層；
- 更適合文件索引系統；
八、B*樹：
1. 是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；
2. B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）；
B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針；
B樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的數據到新結點，最後在父結點增加新結點的指針；所以，B樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；
九、小結：
1. B-樹：
多路搜索樹，每個結點存儲M/2到M個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵字範圍的子結點；所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；
2. B+樹：
在B-樹基礎上，為葉子結點增加鏈表指針，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命；
3. B*樹：
在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加鏈表指針，將結點的最低利用率從1/2提高到2/3；
十、B-樹，B+樹與B*樹的優缺點比較
首先注意：B樹就是B-樹，"-"是個連字符號，不是減號。
B-樹是一種平衡的多路查找(又稱排序)樹，在文件系統中有所應用。主要用作文件的索引。其中的B就表示平衡(Balance)
B+樹有一個最大的好處，方便掃庫，B樹必須用中序遍歷的方法按序掃庫，而B+樹直接從葉子結點挨個掃一遍就完了。
B+樹支持range-query(區間查詢)非常方便，而B樹不支持。這是數據庫選用B+樹的最主要原因。
比如要查 5-10之間的，B+樹一把到5這個標記，再一把到10，然後串起來就行了，B樹就非常麻煩。B樹的好處，就是成功查詢特別有利，因為樹的高度總體要比B+樹矮。不成功的情況下，B樹也比B+樹稍稍佔一點點便宜。
B樹的優勢是當你要查找的值恰好處在一個非葉子節點時，查找到該節點就會成功並結束查詢，而B+樹由於非葉節點只是索引部分，這些節點中只含有其子樹中的最大(或最小)關鍵字，當非終端節點上的關鍵字等於給點值時，查找並不終止，而是繼續向下直到葉子節點。因此在B+樹中，無論查找成功與否，都是走了一條從根到葉子節點的路徑。
有很多基於頻率的搜索是選用B樹，越頻繁query的結點越往根上走，前提是需要對query做統計，而且要對key做一些變化。 另外B樹也好B+樹也好，根或者上面幾層因為被反覆query，所以這幾塊基本都在內存中，不會出現讀磁盤IO，一般已啟動的時候，就會主動換入內存。 mysql底層存儲是用B+樹實現的，因為內存中B+樹是沒有優勢的，但是一到磁盤，B+樹的威力就出來了。
B*樹
是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；B樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）；
B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針；
B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的數據到新結點，最後在父結點增加新結點的指針； 所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；
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