路漫漫其修遠兮——麥克斯韋方程進化史

麥克斯韋和法拉第等人對物理學最大、最深刻的貢獻就是發現了物質存在的一種新形態———場形態的物質存在。以前，大家一直認為物質是可分的。分解之後，這些組成物質的基本構件都可以看作是粒子，所以人們認為物質是由粒子組成的，而物質的存在形態只有一種——粒子形態。只要我們有了描寫粒子運動的牛頓定律，我們就可以描寫所有物質的運動。麥克斯韋發現了電磁波，而電磁波不是由粒子組成的，所以麥克斯韋發現了物質存在的新形態——場形態，而麥克斯韋方程正是描寫這種場形態物質的運動方程。這種場形態的新存在，同時又是一種相互作用——電磁相互作用——的起源。依此類推，那麼引力相互作用，是不是也起源於另外一種場形態的物質存在？愛因斯坦給出了肯定的答案：引力相互作用對應於另外一種場形態的物質存在：引力波。而後來的量子力學又進一步統一了這兩種物質的存在形態：波(場)就是粒子，粒子就是波(場)。這就是幾百年來，物理發展的大線條。

——文小剛

撰文 | 詹姆斯·勞提奧（James C. Rautio）

翻譯 | Lineker

校對 | 雨遇

如果你想膜拜偉大的物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell），那去處可多得是。倫敦的西敏寺（Westminster Abbey）就有一座麥克斯韋紀念碑，距離牛頓墓不遠。最近在愛丁堡，這位科學家出生地的附近，也豎起了一座宏偉的雕像。或者，你還可以去他最後的安息之地表達敬意，那裡位於蘇格蘭西南部的道格拉斯城堡（Castle Douglas）附近，不遠處便是其鍾愛的祖宅。這些紀念性標誌，皆恰如其分地致敬了這位提出了首個物理統一理論並且展現了電磁密不可分特性的偉人。

不過，這些豐碑並沒有道出另一層隱情：在麥克斯韋去世的1879年，他那為現代技術世界奠定良多基礎的電磁理論，還沒有真正站穩腳跟。

描述這個世界的大量信息——即支配光行為、電流動和磁動力的基本規則——可以被歸結為四個優美的方程。現如今，這些被共同稱之為麥克斯韋方程的公式早已名震天下，差不多每一本入門級的工程和物理學教科書上都能找到它們的蹤影。

不過，對於這些方程是否問世於1864年的12月，目前尚存爭議，當時麥克斯韋向倫敦英國皇家學會提交了自己的電磁統一理論，並於次年即1865年發表了一篇完整的報告。此項工作為物理學、無線電通訊和電氣工程學隨後出現的所有偉大成就提供了基礎。

但展示和運用之間還存在很大的差距。麥克斯韋理論的數學和概念基礎是如此複雜和違反直覺，以致於該理論在首次被提出以後，基本上處於被忽視的境地。

為了給麥克斯韋的理論打下堅實的基礎，一小群痴迷於電磁奧秘的物理學家足足花費了將近二十五年的時間。在他們中間，有人專門收集可證實光是由電磁波構成的實驗證據，還有人將麥克斯韋方程轉化為了當前的形式。德克薩斯大學奧斯汀分校的歷史學家布魯斯·亨特（Bruce J. Hunt）將這群物理學家稱之為“麥克斯韋學派”，如果沒有他們所付出的巨大努力，現代電磁概念可能還需要數十年時間才會被廣泛接納。這種延遲將會進一步拖累後續所有不可思議的科學技術的問世時間。

時至今日，我們早已認識到，可見光實質上就是一團寬泛的電磁波譜，其輻射是由振盪的電場和磁場所組成。我們知道，電和磁是密不可分的；變化的磁場產生電場，電流和變化的電場又會生成磁場。

四則黃金定律

現如今，電磁之間的關係以及光和通常電磁輻射的波動性，都可以用上圖所示的四則“麥克斯韋方程”來進行表述。這些方程可以用不同方式來書寫。方程中，J為電流密度。E和B分別代表電場和磁場。另外兩個場為位移場D和磁場H。它們通過常數與E和B相關聯，這些常數反映了磁場所通過的介質的特性（在真空中，這些常數的值可以結合起來導出光速）。位移場D是麥克斯韋的關鍵貢獻之一，最後一個方程描述了電流和變化的電場如何產生磁場。每個方程最左邊的符號代表微分算符。這些簡潔的微分式包含了矢量，即擁有方向性的物理量，從而將x、y和z的空間分量也包含在其中。麥克斯韋最初提出的電磁理論公式包含了二十則方程。

我們必須感謝麥克斯韋讓我們掌握了這些基本見解。但它們並不是麥克斯韋忽然之間的靈感乍現。他所必需的經驗事實是在之前超過五十年的時間裡逐漸積累的。

我們可以將歷史的時鐘撥回到1800年，那一年物理學家亞歷桑德羅·伏特（Alessandro Volta）發明了電池，這使得實驗科學家們可以開始利用連續的直流電展開研究。約二十年之後，漢斯·克里斯蒂安·奧斯特（Hans Christian Ørsted）掌握了電磁之間關聯的首個證據，他發現在靠近通電導線時羅盤的指針會發生偏轉。不久以後，安德魯-瑪麗·安培（André-Marie Ampère）研究發現，兩根平行通電導線能夠表現出相互吸引或相互排斥的作用，具體作用效果取決於電流的相對方向。到了十九世紀三十年代早期，

這些觀察結果都屬於零碎的作用證據，沒有人能夠以系統或綜合的方式來真正理解它們。電流的實質是什麼？通電線圈如何在沒有直接接觸時作用於磁鐵？運動的磁鐵如何產生電流？

法拉第種下了一顆重要的思維火種，他設想磁鐵周圍存在一種神秘且不可見的“電緊張態”，即我們今天所稱之為的場。他斷定電緊張態的變化是導致電磁現象產生的原因。法拉第猜測光本身也是一種電磁波。不過，將這些想法打造成為完整的理論卻超出了他的數學能力。在麥克斯韋開始登上了科學舞臺之時，電磁學的研究現狀便是如此。

十九世紀五十年代，從英國劍橋大學畢業的麥克斯韋，著手嘗試賦予法拉第的觀察結果和研究理論以數學意義。1855年發表的《論法拉第力線》（On Faraday’s Lines of Force）一文即屬於他的初次嘗試，在這篇論文中，麥克斯韋設想了一種類比模型，該模型表明描述不可壓縮流體的方程也可用於解決恆定電場或磁場的問題。

但一系列的干擾中斷了麥克斯韋的工作。1856年，他在蘇格蘭亞伯丁（Aberdeen）的馬修學院（Marischal College）謀得了一份職位；接下來他又花費了數年時間對土星環的穩定性展開了數學研究；1860年，在一次學院合併中他被辭退；接著又感染天花，幾乎喪命，最後他找到了一份新工作：去倫敦國王學院（King’s College London）當教授。

總而言之，麥克斯韋就這樣一點一滴地慢慢充實著法拉第的場理論。儘管完整的電磁理論尚未成型，但他在1861年和1862年分為若干部分發表的一篇論文，卻被證明是一塊重要的晉升之階。

基於先前的理論，麥克斯韋設想存在這樣一類分子介質，在該介質中，磁場以旋轉漩渦陣列的形式存在。某種形式的微小粒子環繞著每個漩渦，從而讓漩渦的旋轉相互傳遞。儘管後來將這種力學設想拋到一邊，但麥克斯韋發現它還是有助於描述一系列的電磁現象。或許，該設想最重要的意義在於，它為一種新的物理概念——位移電流——奠定了基礎。

位移電流並非真正的電流。它是一種針對穿過特定區域的電場在發生變化時如何產生磁場的描述方式，就像電流變化產生磁場那樣。在麥克斯韋的模型中，當電場變化導致漩渦介質中微粒的位置發生瞬間改變時，位移電流隨即出現。也就是說，這些微粒的運動生成了電流。

位移電流最令人矚目的展示之一出現在電容器上：在某些電路中，存儲在電容器兩塊平板之間的能量會出現高低值的振盪。在這樣的系統中，我們很容易想象麥克斯韋的力學模型會如何發揮作用。如果電容器包含一塊絕緣的介電材料，你就可以認為，位移電流是由被束縛在原子核周圍的電子的運動所產生的。這些電子從一側往另一側來回擺動，就好像被拴在繃緊的橡皮筋上。不過，麥克斯韋的位移電流比上述表述更為基礎化。它會產生於任何介質中，甚至包括真空，那裡並不存在可以產生電流的電子。正如真實的電流一樣，位移電流也會產生磁場。

補充了上述概念以後，麥克斯韋就擁有了所需的基本元素來將可衡量的電路特性與兩個常數聯繫起來，這兩個常數現已不再使用，它們可表徵在響應電壓或電流時，電場和磁場形成的難易程度。（現如今，我們用自由空間的電容率和磁導率來定義這些基本常數。）

正如彈簧常數會決定彈簧在拉伸或壓縮之後復原有多快，這些常數也可以合併起來，以確定電磁波在自由空間裡的傳播速度。在其他研究者利用電容器和電感器測得相關數值以後，麥克斯韋就能夠估算出電磁波在真空中的傳播速度。通過將這一數值與已知的光速估值相比較，他發現二者近似，並進而推導出光肯定也是一種電磁波。

1864年，麥克斯韋完成了電磁理論的最後一塊關鍵拼圖，當時他才三十三歲（在後續的研究過程中他只是做了一些簡化）。在隨後的討論和論文中，他拋棄了原來的力學模型，但保留了位移電流的概念。通過深入的數學研究，他描述了電磁之間的關聯方式，以及在恰當的條件下其共同作用如何產生電磁波。

這項研究成果堪稱是現代電磁學理論的基礎，它為物理學家和工程師們提供了所需的所有工具。運用這些工具，他們可以計算出電荷、電場、電流和磁場之間的相互關係。

不過在當時，這一顛覆性的成果卻遭到了嚴重質疑，有些質疑之聲甚至來自於麥克斯韋最親密的同事。最直言不諱的反對意見出自威廉·湯姆森爵士（Sir William Thomson），即後來的開爾文勳爵（Lord Kelvin）。這位當時英國科學界的泰斗根本不相信會有位移電流這樣的東西存在。

湯姆森的反對理由順理成章。在充滿原子的電介質中，位移電流的存在是一回事，但要想象其形成於虛無的真空中則又是另外一回事。缺少力學模型來描述這種環境，且不存在實際運動的電荷，我們根本不清楚何謂位移電流或者它會如何產生。對於維多利亞時代的眾多物理學家而言，這種物理機制的缺失堪稱災難。現在我們當然願意接受這樣的物理理論，譬如量子力學，雖然有悖於我們的日常直覺，但只要它們在數學上嚴格成立且具備強大的預測能力就足矣。

麥克斯韋同時代的研究者們亦察覺到了其理論存在的其他重大缺陷。舉例來說，麥克斯韋假定，振盪的電場和磁場共同形成了波，但他並沒有描述這些波如何通過空間傳播。在當時，所有已知的波動都需要介質來進行傳播。譬如，聲波可以在空氣和水中傳播。當時的物理學家們推斷，如果電磁波存在，就肯定存在相應的傳播介質，即便這種介質是無色、無味或無形的。

麥克斯韋也相信這樣的介質——或稱之為以太——的存在。他認為，以太充斥於所有空間，電磁行為是由於在這種以太中壓縮、拉伸和運動所導致的結果。但1865年，在兩卷本的《電與磁的論述》（Treatise on Electricity and Magnetism）中，麥克斯韋在沒有使用任何力學模型的前提下就給出了方程，為這些神秘的電磁波可能如何傳播以及為什麼會這樣傳播提供了佐證。對於同時代的很多科學家來說，模型的缺失讓麥克斯韋的理論看起來不完整得令人痛心。

或許最關鍵的地方在於，麥克斯韋對於其理論的自我描述複雜得令人震驚。大學生們可能會抱著敬畏之心來接納四則麥克斯韋方程，但要理解這位物理學家的實際構想就太過棘手了。為了簡潔地表述這些方程，我們需要一定的數學功底，而在麥克斯韋開展研究工作之時，這些數學知識還沒有完全成型。具體來說，我們需要運用矢量微積分，它是一種書寫三維矢量微分方程的簡潔方式。

現如今，麥克斯韋理論可以被歸納為四則方程。但在當時，他用帶有二十個變量的二十個聯立方程才表述了自己的構想。其方程的維度參數（即x、y和z軸方向）必須分開表述。此外，他還運用了一些反直覺的參數。當然，我們現在已經習慣於電磁場的思考方式並運用它們來解決問題。但麥克斯韋主要運用的是另外一類場，這種量他稱之為電磁動量，從電磁動量出發，他就可以計算法拉第最初設想的電場和磁場。麥克斯韋或許已經為這種場——即現在我們稱之為磁矢勢——選好了名字，因為其對時間的導數即為電磁力。但涉及到計算邊界處的很多簡單電磁行為譬如電磁波如何被導電錶面反射時，磁矢勢對於我們毫無用處。

這種複雜性所帶來的最終結果便是：當麥克斯韋的理論首次亮相時，幾乎無人問津。

插圖來源：Lorenzo Petrantoni

不過，還是有一些人注意到麥克斯韋的研究。奧利弗·赫維賽德（Oliver Heaviside）便是其中之一。赫維賽德出身於極度貧窮的家庭，聽力部分殘疾，從未上過大學，曾有朋友將其形容為“一等一的怪人”。他完全靠自學掌握了高等科學和數學。

在接觸到麥克斯韋於1873年出版的《電與磁論述》一書時，赫維賽德二十歲剛出頭，還在英格蘭東北部的紐卡斯爾幹著一份電報員的工作。“我越來越覺得它了不起。”他後來寫道，“於是我下決心讀透這本書，並馬上展開研究工作。”第二年，他便辭掉了工作，搬到父母家中，開始研究麥克斯韋的理論。

正是赫維賽德將麥克斯韋的方程改寫為當前的形式，他的大部分研究工作都是在隱居狀態下完成的。1884年夏天，赫維賽德對電路中能量如何輸送的問題展開了調查。他想解決這樣一個問題，電流攜帶的能量究竟存在於電路中還是電路周圍的電磁場中？

赫維賽德最終得出了一個已經由另外一位英國物理學家約翰·亨利·波因廷（John Henry Poynting）公開發表過的結論。不過，前者顯然走得更遠，在解決複雜的矢量微積分問題的過程中，赫維賽德碰巧找到了一種方式，可以將麥克斯韋的二十則方程重新表述為我們現在所使用的四則方程。

改寫的關鍵在於擯棄麥克斯韋奇怪的磁矢勢。“直到將所有的磁矢勢拋到了九霄雲外，我才逐漸有了些眉目，”赫維賽德後來這樣說道。新的表述形式將電磁場置於了首要的中心地位。

此項工作所帶來的成果之一便在於，它凸顯了麥克斯韋方程美妙的對稱性。在這四則方程組中，一則方程描述了變化的磁場如何產生電場（法拉第的發現），另一則方程則描述了變化的電場如何生成磁場（著名的位移電流理論，來自於麥克斯韋的補充）。

這種改寫亦帶來了一個謎團。像電子和離子這樣的電荷，其周圍存在從電荷本身發出的電場線。但磁場線卻不存在源頭：在我們的已知世界中，磁場線總是連續封閉的，既無起點，也無終點。

這樣的不對稱性難倒了赫維賽德，於是他補充了一個表徵磁“荷”的物理量，並假定其還未被發現。事實也的確如此。從那時起，物理學家們就一直在努力尋找著也被稱之為磁單極子的磁荷。不過到現在，還沒有人發現它們的蹤跡。

不過，磁流這種實用技巧依然可以用來解決帶有某些幾何性質的電磁問題，譬如解釋穿過導電層狹縫的輻射行為。

如果赫維賽德已經將麥克斯韋方程完善到了這種程度，那麼為什麼我們不把它們叫做赫維賽德方程呢？1893年，在三卷本《電磁理論》（Electromagnetic Theory）一書第一卷的序言中，赫維賽德親自做了解答。他寫到，除非我們有充足的理由“相信，在指給他【麥克斯韋】看時，他會承認改寫的必要性，不然我覺得這個後來修正的理論還是被叫做麥克斯韋理論為好。”

數學上的美感是一回事，而找到麥克斯韋理論的實驗性證據則又是一回事。1879年，年僅四十八歲的麥克斯韋便撒手人寰，當時人們依然認為他的理論是不完備的。撇開可見光的光速和電磁輻射的速度似乎相當這一點不談，沒有任何實驗性的證據可以表明，光是由電磁波構成的。此外，如果電磁輻射形成了光，那麼麥克斯韋並沒有特別點出前者所應當具備的諸多性質，即類似於反射和折射之類的行為。

物理學家喬治·弗蘭西斯·菲茨傑拉德（George Francis FitzGerald）和奧利弗·洛奇（Oliver Lodge）的工作強化了電磁波與光之間的關聯。這兩人都是麥克斯韋《電與磁論述》一書的支持者，在麥克斯韋去世的前一年，他們結識於英國科學促進協會（British Association for the Advancement of Science）在都柏林召開的一次會議上，此後這兩位物理學家便通過書信往來，展開了合作研究。他們彼此之間的通信以及與赫維賽德的通信推動了科學界對於麥克斯韋學說的理論認識。

正如歷史學家亨特在自己的著作《麥克斯韋學派》（The Maxwellians）中所概括的，洛奇和菲茨傑拉德也希望發現實驗證據，以支持光是一種電磁波的理論。但在當時他們並沒有取得太大進展。十九世紀七十年代末，洛奇設計出了一些電路，他原本希望這些電路能夠將低頻電流轉化為高頻光，不過這樣的努力以失敗而告終，因為洛奇和菲茨傑拉德意識到，該方案所產生的輻射其頻率過低，以致於無法用肉眼感應到。

差不多十年之後，在進行防雷實驗的過程中，洛奇注意到導線旁邊的放電電容會產生弧光。好奇之下，他改變了導線的長度，結果電容器中出現了奪目的閃光。他正確地推斷出這就是電磁波共振所產生的現象。洛奇意識到，如果能量足夠，他實際上就能夠讓導線周圍的空氣電離，這正是引人注目的駐波例證。

洛奇確信自己生成並探測到了電磁波，於是從阿爾卑斯度假一回來，他就計劃在英國科學促進協會的一次會議上彙報這令人震驚的研究成果。但是，在駛出利物浦的火車上，一篇雜誌文章讓他意識到，自己的發現已經被其他人重現並刊發了出來。在這本1888年7月份的《物理學年刊》（Annalen der Physik）上，他讀到了一篇題為《論空氣中的電動力波動及其反射》的文章，論文作者是一位名不見經傳的德國研究者——海因裡希·赫茲（Heinrich Hertz）。

從1886年開始，身處德國卡爾斯魯厄工業大學（即現在的卡爾斯魯爾理工學院）的赫茲就圍繞著論文課題展開了研究工作。他注意到，當通過一組線圈對電容放電時，會產生奇特的現象，即距離不遠處的另一組完全相同的線圈會在其未相互連接的末端間出現弧光。赫茲意識到，未相連的線圈中所出現的閃光是由於接收電磁波所導致的，而電磁波則是由帶有放電電容的線圈所激發的。

於是，倍受鼓舞的赫茲便開始利用這類線圈中的閃光，來探測不可見的射頻波動。他不斷進行試驗，進而證實了電磁波也會展現出反射、折射、衍射和偏振等類光行為。他在真空和導線周圍都做了大量的實驗。赫茲還用瀝青做了一塊電磁波可穿透的稜鏡，他用這塊一米多高的稜鏡來觀察相對較為顯著的反射和折射現象。他朝著由平行導線組成的柵格發射電磁波，進而證實了電磁波會反射或穿過柵格，具體效果取決於後者的方向。這一結果表明電磁波是橫向的：和光一樣，它們的振動方向垂直於傳播方向。赫茲也利用大塊的鋅板對無線電波進行了反射，並測量了所產生的駐波中抵消零點之間的距離，進而確定了這種波動的波長。

赫茲通過測量其類似迴路的發射天線上的電容量和電感量，計算出了電磁輻射的頻率，再加上上面的波長數據，他就可以計算這種不可見波動的傳播速度，該數值與已知的可見光傳播速度十分接近。

奇妙的無線電：海因裡希·赫茲利用線圈（左側）和天線（右側）生成並探測到了可見範圍之外的電磁輻射。（圖片來源：卡爾斯魯爾理工學院檔案）

麥克斯韋假設光是一種電磁波。赫茲證實了很可能整個宇宙中的不可見電磁波都擁有類似可見光的行為，它們在宇宙中的傳播速度也與可見光相同。

赫茲研究工作的美妙和完備大大補償了洛奇對於被搶了頭條的失望之情。於是，洛奇和菲茨傑拉德開始致力於推廣赫茲的發現，他們將這一成果提交給了英國科學促進協會。很快，赫茲的工作又啟發了無線電報的發明。在早期雛形階段，這項技術所採用的發射裝置與赫茲使用的寬波段火花間隙裝置非常相像。

最終，科學家們接納了電磁波能夠在真空中傳播的觀點。由於缺少行之有效的力學機制而導致起初不受待見的場論，也在現代物理的絕大多數層面佔據了核心地位。

後續的故事還要精彩得多。多虧了這些敬業科學家們的不懈努力，麥克斯韋的理論才得以在十九世紀結束之前就真正站穩了腳跟。

麥克斯韋學派的研究里程碑

1785年

夏爾-奧古斯丁·庫侖（Charles-Augustin de Coulomb）發現兩個電荷之間的作用力與距離的平方成反比。

1800年

亞歷桑德羅·伏特首次發明了電池，這使得實驗科學家們可以開始利用連續的直流電展開研究。

1820年

漢斯·克里斯蒂安·奧斯特發現在靠近通電導線時羅盤的指針會發生偏轉，這是首個電磁之間的關聯證據。

1820年

安德魯-瑪麗·安培研究發現，兩根平行通電導線能夠表現出相互吸引或相互排斥作用，具體作用效果取決於電流的相對方向。

1831年

設想電場和磁場存在的邁克爾·法拉第發現了電磁感應現象。

1831年

插圖來源：Universal History Archive/蓋蒂圖片社

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋出生於愛丁堡。

1855年

麥克斯韋關於法拉第觀測現象及其相關理論的首篇論文面世。

1861年和1862年

麥克斯韋發表了一篇名為《論法拉第力線》的論文。該論文分為四部分，它介紹了通過表面的電通量變化可產生磁場的核心理論。

1864年

麥克斯韋向倫敦英國皇家學會遞交了自己的最新研究成果，並於次年發表了論文。此項研究表明，電場和磁場能夠以波的形式在空間傳播，而光本身就是這樣一種波動。

1873年

麥克斯韋出版了鉅著《電與磁論述》，這本書包含了更進一步的數學成果和詮釋工作。

1879年

插圖來源：Popperfoto/蓋蒂圖片社

普魯士皇家科學院發起了一項競賽，即找到實驗證據來支持或駁斥電磁波的存在，受到鼓動的海因裡希·赫茲由此對麥克斯韋的研究產生了興趣。

1879年

麥克斯韋死於胃癌，享年四十八歲。

1885年

奧利弗·赫維賽德發表了精簡版的麥克斯韋方程，他將二十個方程減少到了四個。

1888年

在搬到設備精良的卡爾斯魯爾實驗室之後，赫茲耗費了數年時間終於證實了麥克斯韋所預測的電磁波是實際存在的。

1940年

阿爾伯特·愛因斯坦的專著《關於理論物理基礎的思考》（Considerations Concerning the Fundaments of Theoretical Physics）大大提升了“麥克斯韋方程”一詞的知名度。

* 作者詹姆斯·勞提奧（James C. Rautio）是Sonnet Software公司的創始人。

本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。戳“http://spectrum.ieee.org/telecom/wireless/the-long-road-to-maxwells-equations”查閱原文。

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