我们现在所学的高等数学是这样的一个体系，它由柯西在1821年初创，经过十数位数学家，历时近一个世纪，到1902年勒贝格建立测度理论而宣告完善，最后，教科书中的表述形式则由20世纪30年代的布尔巴基学派奠定。撇开一些庞杂的理论丛林，我们抽出这个体系中关于微积分原理的部分，下面通过例3和例4来说明。
我们先介绍这个体系中最重要的一个概念——极限，它是一个确定的数a，如果有一个数的序列{xn}，随着n的增大，xn越来越接近a，以至于当n足够大时，序列后面的数全都落在一个以a为中心的以ε为半径的区间之内，我们就说这个序列的极限是a。写成规范形式，即：
极限描述
极限定义
极限举例
可以看出，这里所说的极限是一个数，同时把我们头脑中的极限过程（越来越接近）用不等式的方法给予表达，而且，这种表达确实可以形象地称为"要多近有多近"。但是，只要ε不为零，序列中的数和极限便不一定相等。这便是数学中极限的思想，它给出的是证明的方法，并没有给出计算的方法，在实际运算过程中，我们需要凭直觉或其他方法猜出这个数，然后再证明之。
例3：现行体系的导数和微分
现行体系的导数与微分
导数与微分-1
导数与微分-2
导数的问题似乎解决了，那么微分是什么呢？书上说，微分ds是增量的线性部分，对于增量s，其线性部分即3t^2t，于是ds=3t^2t，然后认为微分dt就是t，于是ds=3t^2 dt。
这便是现行体系的微分和导数原理。在这里，导数是一个极限，微分ds是增量的线性部分，而dt就是增量t自身，它们并不要求非常小，而可以是任意的有限量，即微分不微。
数学之美
例4：现行体系的不定积分和定积分
对于函数s=s(t)，我们求出其导数v(t)和微分ds=v(t)dt，并直接称s(t)为v(t)的一个原函数，由于s(t)+C(C为任意的一个常数)的导数都是v(t)，于是它们都是v(t)的原函数，记作∫v(t)dt=s(t)+C。
这便是现行体系中的不定积分。可以看到，它并没有具体的计算方法，只是给原函数起了一个新的名字——不定积分。多说一句，仅仅引入新的名字而没有也没有能力做深入的解释，在计算上依然沿用莱布尼茨和欧拉所开创的方法，这是现行微积分体系的一个症结。
我们求曲线v=v(t)与坐标轴所谓的面积，即所谓的定积分。现行体系的方法是，
现行体系的不定积分与定积分
定积分-1
定积分-2
上述例3和例4反映了现行微积分体系的演绎思路，它相比于例1和例2所展示的演绎思路（莱布尼茨、欧拉等人的），显得复杂而崎岖，同时也难以让人一眼便指出荒谬之处。但这个体系并没有真的解决第二次数学危机，并没有彻底解决微分是什么，到底是不是0的问题。除了给出了极限思想的数学表达，它更多的是对原有体系中概念的重新解释和命名。我们对它的评价可以概括为，第一遮掩了微积分学科发展的根本矛盾，从而阻碍其发展；第二，由于避开直觉，核心概念形式化，导致整个微积分学科的支离破碎。
那么，究竟什么才是正确的微积分原理呢？
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