瞭解阿基米德和阿波羅尼奧斯的人，對後代傑出人物的成就不會再那麼欽佩了。 ——萊布尼茨
一、希臘數學的成就
亞歷山大希臘文明雖持續到公元640年最終被回教徒摧毀時為止，但由於其創造的成就越來越少，所以這個文明在公元頭幾個世紀裡顯然已開始衰落了。
人們把數學成為抽象化科學歸功於希臘人。這一重大貢獻有其不可估量的意義和價值，因為同一個抽象的三角形或代數方程能應用於幾百種不同的自然現象，正是數學的力量和奧秘之所在。
希臘人堅持要演繹證明，這也確是了不起的一步。在世界上的幾百種文明裡，有的也的確搞出了一種粗陋的算術和幾何，但只有希臘人才想到要完全用演繹推理來證明結論。這種決心是同人類在其他一切領域裡的習慣做法完全違背的。它實際上幾乎像件不合理的事，因為人類憑經驗、歸納、類比和實驗已經獲得了那麼多高度可靠的知識。但希臘人需要真理，並覺得只有用毋庸置疑的演繹推理法才能獲得真理。他們又認識到要獲得真理就必須從真理出發，並且要保證不把靠不住的事實當作已知。因此他們把所有公理明確說出，並且在他們的著作中採取一開頭就陳述公理的做法，使之能馬上進行批判考察。
除了想出用這種非凡的方案來證實可靠的知識以外，希臘人還表現出一種為創新者所少見的細緻精神。他們認識到概念必須彼此沒有矛盾，以及不能用不存在的圖形（如正十面體）來搞出前後一致的邏輯結構，這一切顯出他們幾乎有超人的並且肯定是空前的思想深度。現在我們知道他們在研究一個概念以前證明其存在的做法，是靠演示它能夠用尺規構造出來的。
希臘人在發現定理與作出證明方面的能力之強，從歐幾里得《幾何原本》含467個命題以及阿波羅尼奧斯《圓錐曲線》含487個命題，而且所有這一切都是從《幾何原本》裡的10個公理推出這一事實，可以得到證明。（邏輯結構渾然一體可能還是次要的。）如果同樣這些結果是從許多組不同的（雖然是同樣可靠的）公理中獲得的，那麼它們就遠遠不如在這批知識那樣易於處理和易於為人所接受。
希臘人在數學內容上的貢獻是巨大的：平面與立體幾何、平面與球面三角、數論萌芽、巴比倫和埃及的算術與代數的推廣，特別是鑑於當時從事這項工作的人數不多而且廣泛活動的時間也不過幾個世紀。在這些貢獻之外還必須加上幾何代數法，這項工作只要能承認無理數並把內容翻譯成符號式子，就可以變成相當一部分初等代數的基礎。而他們用以處理曲邊圖形的窮竭法，則是微積分的萌芽。
希臘人對自然界的看法也是對後世人同樣重要的一種貢獻與啟發。他們把數學等同於物理世界的實質，並在數學裡看到關於宇宙結構和設計的最終真理。他們建立了數學和研究自然真理之間的聯盟，這在以後便成為現代科學的基礎本身。其次，他們把對自然的合理化認識推進到足夠深遠的程度，使他們能夠牢固樹立一種信念，感到宇宙確實是按照數學規律設計的，是有條理、有規律並且能被人所認識的。
他們也並不忽視數學在美學上的意義。數學在希臘時代被人珍視為一門藝術，他們在其中認識到美、和諧、簡單、明確以及秩序。算術、幾何與天文被人看作是心智的藝術與靈魂的音樂。帕拉圖喜愛幾何；亞里士多德不願把數學和美學分開，因他認為秩序和對稱是美的重要因素，而這兩者他能在數學裡找到。在希臘人的思想裡，對合理的、美的乃至對道德上的關心都是分不開的。他們反覆說過球是一切形體中最美的，因而是神聖的、善的。圓也和球一樣從美學觀點上為人所喜愛，因此那些代表天上萬劫不變的永恆秩序的天體，自然要以圓為它們的運動路徑，而在不完善的地上，則以直線運動居多。無疑是由於這門學科在美學上的吸引力，才使得希臘數學家把有些項目探索到超出為理解自然所必需的程度。
二、希臘數學的侷限性
第一個侷限性是他們不能掌握無理數概念。這不僅限制了算術和代數，而且使他們轉向並強調幾何。希臘人堅持要有準確的概念和證明這個美德，從數學的創造發明來說卻是個缺點。
隨著數學範圍的擴大，用幾何方法就使證明越來越複雜，特別是在立體幾何方面。而且即使在比較簡單的證明裡也缺乏一般性的方法，而這在我們有了解析幾何與微積分後是很清楚的事。
希臘人不僅把數學主要限制於幾何，甚至把幾何只限於那些能用直線和圓作出的圖形。帕普斯對曲線的分類說明希臘人要把曲線限制在一定範圍內：平面曲線是從直線和圓作出的那些曲線；圓錐曲線被他們稱為立體曲線，因它們是從圓錐產生的；割圓線、蚌線、蔓葉線和螺線這些曲線叫機械曲線，而不算幾何曲線。同樣，他們把問題分為平面的、立體的和曲線的三類。帕普斯強調用平面或立體軌跡解問題的重要性，因在那種情形下就可給出存在實解的準則。
為什麼希臘人要把他們的幾何限於直線和圓以及那些易於從兩者得出的曲線呢？一個理由是這樣可以解決證明一個幾何圖形的存在問題。希臘人特別是亞里士多德曾指出必須保證所引用的概念不自相矛盾，必須證明它們存在。為解決這問題，希臘人至少從原則上只承認那些可以作圖的概念是存在的。直線和圓是在公設裡承認它們是可作的，但其它圖形則必須從圓和直線來作出。
用作圖來證明存在的做法並未推行到三維圖形上。這裡希臘人只是承認了直觀上看來清楚的事實，例如球、圓柱和圓錐等旋轉形體的存在。對圓錐曲線的承認頗為勉強。這一點笛卡爾在其《幾何》（La Géométrie）第二篇的開頭處曾指出：“誠然，圓錐曲線在古代幾何裡從沒有正式獲得承認……”
第二個原因來自柏拉圖，他認為觀念要清楚才能加以接受。希臘人雖未明確定義整數但覺得整數觀念本身可以當作一個清楚的概念來接受，而幾何圖形則應該搞得明確些。直線、圓以及由它們得出的圖形是清楚的，而用機械工具（尺規之外）作出的圖形則不然，所以是不容許的。把圖形只限於那種清楚的，這就產生出簡單、秩序井然、和諧與美妙的幾何學。
由於堅持要把他們的幾何學搞得統一、完整和簡單，由於把抽象思維同實用分開，所以古典希臘幾何成為一門成就有限的學科。它狹隘了人們的視界，使他們的頭腦接受不到新思想和新方法。它的內部存在著使它自己死亡的種子。如果沒有亞歷山大文化開闊了希臘數學家的眼界，那麼它那狹隘的活動領域、侷促的觀點、在美學上的限制，很可能使它的的發展受到限制。
希臘人的哲學思想又從另一方面限制了希臘數學的發展。在整個古典時期，他們相信數學事實不是人創造的，而是先於人而存在的。人只要肯定這些事實並記錄下來即可。柏拉圖在其《特埃特圖斯篇Theaetetus》一書中把探索知識比作在一個鳥族館中捕鳥。那些鳥是已經被人網起來的，人只要進去抓就是了。
希臘人未能領悟無窮大、無窮小和無窮步驟，對無窮的空間望而生畏。畢達哥拉斯學派把善與惡同有限與無限聯繫起來。亞里士多德說無窮是不完美的、未完成的，因而是不可思議的；它是不成形的、混亂的。只有那些限定而分明的東西才有其本性可言。從歐幾里得對直線和平行公理的敘述可看出他不願涉及無窮大。他並不談伸向無窮遠的兩根直線也不直接給出兩平行直線存在的條件，只提出兩直線相交於某有限點處的條件。
在點與直線的關係以及離散與連續的關係裡要涉及無窮小概念，而芝諾的悖論很可能使希臘人不敢觸及這一概念。由於他們怕無窮步驟，所以他們也與極限步驟失之交臂。他們用一正多邊形來接近圓時滿足於使其相差小於任一給定的量，但總留下一些量。因此這一步驟在直觀上仍很清楚，而極限步驟則要用無窮小。
三、希臘人留給後代的問題
由於他們未能把無理量接受為數，於是不可公度比是否可指定其為一數而用算術來處理就成為問題。希臘人甚至對整數對整數之比都沒有奠立邏輯基礎，他們只提供頗為含糊的定義。這樣希臘人就留下兩門截然不同的、發展得不平衡的數學。一門是嚴格的、演繹式的、有系統的幾何學，一門是憑直觀的、經驗的算術及其到代數的推廣。直到17和18世紀情形依然如此，那時代數和微積分已經廣為流行了，然而所謂嚴格數學仍然是指幾何。
歐幾里得幾何限於能用尺規作出的概念，使數學有待完成兩項任務。第一項任務是特殊的，即化圓為方、三等分角、立方倍積。第二項任務是把存在性的準則放寬。以作圖作為證明存在性的一種方法，對於那些應該為數學所考慮的概念來說是限制太嚴了。為使其內部臻於完善而對研究具體世界更為有用，數學必須在證明存在性問題上不受狹隘的幾何方法的束縛。
許多希臘人想用其他公理來代替平行公理，或根據其餘九個公理來證明它。托勒密曾對此寫了一篇論文。普羅克洛斯在評註歐幾里得著作時提到了托勒密證明平行公設的嘗試，並且他自己也想作出證明。辛普利修斯提到另外一些研究過這一問題的人，並進一步指出“古代”人們反對使用平行公設。
同平行公設問題密切相關的是物理空間是否為無限的問題。歐幾里得在公設2中假定一直線段可按需要隨意延長，他用了這一事實，但只為得出一個較大的長度。海倫對這些定理給出新的證明，避免了延長直線的做法，以堵反對者否認有足夠空間可供延長的口實。亞里士多德考慮過空間是否為無限的問題，並列舉六點非數學上的理由來論證其為有限。他預料到這個問題是難處理的。
留給後代的另一個問題是計算面積和體積。窮竭法至少在兩方面是有缺點的。第一是對每個問題都需要想出一種巧妙的方案來逼近所論的面積或體積，使人感到有智窮慮竭之時。其次是希臘人所取得的結果通常僅僅是指出所要求的面積或體積等於某一較簡圖形的面積或體積，而後者的數值仍是未知的。但在應用上所需要的恰恰是數量上的知識。
四、希臘數學的衰替
大約從公元的年代開始，希臘數學的活動能力逐漸衰退了。在這新時代裡，托勒密和丟番圖的工作是唯一重要的貢獻。帕普斯和普羅克洛斯這兩大評註家是值得注意的，但他們只不過是寫了這個時代最後的一頁。
第一次災殃是羅馬人的來臨，它們在數學史上的全部作用是一種破壞因素。羅馬的數學不值一提。羅馬人活躍於歷史舞臺上的時期大約是從公元前750年到公元476年，至少從公元前200年起羅馬人就同希臘人有密切接觸。但在這整個1100年之間沒有出現過一個羅馬數學家。
“數學”一詞在羅馬人那裡的名聲是不好的，因為他們稱占星術士為數學家。羅馬皇帝戴克裡先（Diocletian，245—316）把幾何區別於數學。前者是要學習並應用於公眾事務的，但“數學方術”（意即占星術）則被視為不法而完全禁止。禁止占星術的羅馬法律“數學和惡行禁典”在中世紀的歐洲仍被援用。但羅馬皇帝還是在宮廷裡供養占星術士，以期萬一他們的預言能夠靈驗。羅馬人對數學的態度用西塞羅的話來說：“希臘人對幾何學家尊崇備至，所以他們的哪一項工作都沒有像數學那樣獲得出色的進展。但我們把這項方術限定在對度量和計算有用的範圍內。”
羅馬君王不像托勒密諸王那樣支持數學，而羅馬人也不懂純粹科學。他們竟然不想發展數學一事是令人驚訝的，因為他們統治了一個世界範圍的帝國，並且確實需要解決一些實際問題。我們從羅馬人的歷史裡所獲得的教訓是，凡鄙視數學家及科學家高度理論性工作並斥其為無用的人民，他們對重要實際成果如何產生是盲目無知的。
公元前47年，凱撒縱火焚燬停泊在亞歷山大港的埃及艦隊，大火延及該城，燒掉了圖書館。兩個半世紀以來收集的藏書和50萬份手稿毀於一旦。所幸的是藏書過擠的圖書館裡有許多書容納不下存放在塞拉皮斯（Serapis）神廟裡，所以那些書免於被焚。此外，死於公元前133年的帕加蒙的阿塔盧斯（Attalus）三世曾把他的大量藏書留在羅馬。安東尼（Mark Anthony）把這批藏書贈送給克婁巴特拉女皇，使神廟裡又增添了這些圖書。總的藏書量仍是很巨大的。
羅馬人熱衷於擴張他們的政治勢力，但不熱心文化傳播。大多數羅馬君王是私慾之徒，把控制的每個國家都搞得民窮財盡。
從數學史的觀點看，基督教興起的後果是不幸的。雖然基督教領袖們採納了希臘人和東方的許多無稽之談和迷信習慣，以使基督教易於為新改宗的人所接受，但他們卻反對異教徒的學問，嘲笑數學、天文和物理科學；基督徒是不許沾染希臘學術這個髒東西的。基督教雖然受到羅馬人的殘酷迫害，但它仍廣為傳播並且勢力大到使君士坦丁王不得不奉它為羅馬帝國的國教。從此以後基督徒更有力量來摧毀希臘文化了。狄奧多西王禁止人民信奉異教，並在392年下令拆毀希臘神廟。在整個帝國內異教徒受人襲擊和屠殺。亞歷山大時期著名女數學家希帕蒂婭的命運標誌著這一時代的終結。因為她不肯放棄希臘宗教，狂熱的基督徒在亞歷山大的街道上抓住了她，把她撕得粉碎。
在狄奧多西宣佈取締異教的那一年，基督徒焚燬了當時唯一尚存大量希臘圖書的塞拉皮斯神廟。據估計有30萬種手稿被焚。其他許多寫在羊皮紙上的著作被基督徒洗刷掉用來寫他們自己的著作。592年東羅馬皇帝查士丁尼封閉所有希臘哲學學校，包括柏拉圖的學院在內。許多希臘學者離開東羅馬，其中有些人如辛普利修斯遷居波斯。
新崛起的回教徒在640年征服埃及，給予亞歷山大以最後的打擊。殘留的書籍被阿拉伯征服者奧馬爾（Omar）下令焚燬，其理由是：“這些書的內容或者是可蘭經裡已有的，那樣的話我們不需要讀它們；或者它們的內容是違反可蘭經的，那樣的話我們不該去讀它們。”因此在亞歷山大的浴堂裡接連有六個月用羊皮紙來燒水。
在回教徒攻佔亞歷山大之後，大部分學者遷居到東羅馬首都君士坦丁堡。雖然在拜占庭不友好的基督教氣氛中不能按希臘思想的軌道充分活動，但學者及其著作彙集到一個比較安全的地方，卻增加了800年後流傳給歐洲的那個知識寶庫。
亞歷山大時期的希臘文明是在其行將跨進現代文明之際中止了它活躍的科學生命的。它具有難得的理論與實踐志趣上的結合，而這在其後1000年證明是多麼富於成果。一直到它存在期間的最後幾個世紀，它始終享有思想自由，這是文化能繁榮昌盛所不可或缺的條件。它在其後文藝復興時代成為非常重要的幾個領域裡展開研究並作出了大的進展：定量的平面和立體幾何、三角、代數、微積分和天文學。
下一講印度數學。
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