如何用定積分求三角形的面積

1.【引言】

在直角座標系中，通過解析幾何的知識和圖形的分解，可用S=（1/2）*a*h公式來求三角形的面積，在通過學習導數及微積分之後，還可以通過微積分中的定積分知識來求三角形的面積。本文將全面介紹直角座標系中，介紹不同形狀的三角形求面積的各種方法，側重點為定積分求面積的方法，各種方法在每道題中是否是最簡單的方法要具體分析，本文將詳盡兩種不同的取微元的方式來求面積，目的是讓讀者通過總結分析，尋求最簡單的一種定積分求面積的方法。

2.【定積分求面積的公式】

一般地，由上下兩條連續曲線y=f2(x)與y=f1(x)以及兩條直線x=a與x=b (a>b)所圍成的平面圖形，它的面積計算公式為：

S = ∫(b,a)[f2(x)-f1(x)]dx.

3.求不同位置三角形的面積。

如圖1所示：已知A(-3，0)，B(4，0)，C(0,5)

方法一：把三角形ABC分解成兩個

直角三角形OCA和OCB，用三角形的面積公式計算面積為：

S=Soca+Socb

=(1/2)*OC*OA+(1/2)*OC*OB

=(1/2)*5*3+(1/2)*5*4

=35/2平方單位。

方法二：利用微積分的知識求面積。

1.第一種方式是面積對x微元，即：ds=△ydx。

此時考慮到，由於AC,BC方程的不同，所以，對x取面積微元有兩種情況，即左邊的ds1=△y1dx，右邊的ds2=△y2dx,三角形面積元素ds=ds1+ds2.

利用直線的截距式方程，分別可以寫出AC,BC的直線方程分別為：x/(-3)+y/5=1，x/4+y/5=1.即：

AC：y=5[(x/3)+1];

BC：y=5[(-x/4)+1];

x軸的方程為y=0，對於ds1：△y1=（yAC-0）,所以：

ds1=5[(x/3)+1]dx，x的取值為[-3，0]；同理ds2=5[(-x/4)+1]dx，x的取值為[0，4].

則三角形的面積為：

S△ABC=∫ds=∫ds1+∫ds2

=∫(-3,0) 5*[(x/3)+1]dx+∫(0,4) 5*[(-x/4)+1]dx

=5*[(x^2/6)+x][-3,0]+ 5*[(-x^2/8)+x][0,4]

=0-5*[(3/2)+(-3)]+5*[(-2)+4]-0

=15/2+10

=35/2平方單位.

注：定積分上下限本題用在小括號中，前者為下限，後者為上限,下同。

(2)定積分求面積，第二種方式，對y取面積元素，即ds=△xdy。

前面已經得到AC,BC的方程為：

AC：x/(-3)+y/5=1

BC：x/4+y/5=1，此時變型為：

AC：x=3*[(y/5)-1];

BC：x=4*[1-(y/5)];

所以ds=△xdy= {4*[1-(y/5)]-3*[ (y/5)-1]}dy，y的取值為[0,5]。

則面積為：

S△ABC=∫ds

=∫(0,5){4*[1-(y/5)]-3*[ (y/5)-1]}dy

=∫(0,5)[7-(7y/5)]dy

=[7y-(7y^2/10)][0,5]

=7*5-7*5^2/10-0

=35-35/2

=35/2平方單位.

通過分析以上方法，其中方法一是初等數學方法，方法二是微積分方法。對於本題，在初等數學方法中，方法1比方法2簡單，在微積分方法中，對y微元要簡單一些。

綜上所述，用定積分來求三角形還是其他圖形的面積，要先找面積單元，面積單元有兩種形式，一種面積單元是ds=△xdy，對於△x，一般是右邊的函數減去左邊的函數，dy是要找到積分的上下限，且上限大於下限；另一種面積單元是ds=△ydx，對於△y，一般是上面的函數減去下面的函數，dx是要找到積分的上下限，也是上限大於下限。

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關鍵字: 三角形 dx BC