【分析方法導引】
當幾何問題中，出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候，就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。
若角平分線的垂線沒有過角的頂點時，可直接將角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交，構成等腰三角形中重要線段的基本圖形，然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。
若角平分線的垂線經過角的頂點時，則應將角平分線的垂線平行移動，使它離開角的頂點，然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
例15 如圖3-166，已知：△ABC中，AD是角平分線，AE是中線，BG⊥AD並交AD的延長線於G，AE的延長線交BG於F。求證：DF∥AB。
圖3-166
分析：本題條件中出現了BG是向角平分線AD所作的垂線，所以必定構成一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，所以延長BG交AC的延長線H（如圖3-167），即得△ABG≌△AHG，AB=AH和BG=HG。進一步還可推得CH=AH-AC=AB-AC。
圖3-167
在得到G是BH的中點後，由於條件中還給出E是BC的中點，就出現了兩個中點，是多箇中點問題，於是就可應用三角形的中位線的基本圖形的性質進行證明。由於G、E所在的線段BH、BC有公共端點B，可以組成△BCH，所以G、E這兩個中點的連線就是三角形的中位線，現在圖形中是有三角形而沒有中位線，所以應將中位線添上，也就是聯結EG（如圖3-168），可得EG∥CH，EG=1/2CH=1/2（AB-AC）。
圖3-168
圖一
圖二
本題要證明的結論是DF∥AB，就出現了DF是△GAB內一條邊AB的平行線段，所以可應用平行線形相似三角形的基本圖形的性質進行證明。於是要證DF∥AB，就可轉化為要證GF/GB=GD/GA。而GB=GH，所以GF/GB=GF/GH，又因為已證EG∥AH，所以EG也是△AHF內一條邊AH的平行線段，這樣就又可應用平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明，於是就有GF/GH=EG/（AH-EG），由於EG和AH都已有與AB、AC有關的數量關係，所以代入後進行運算就可得（圖一），這裡出現的實質上是三角形的兩邊AB、AC之比的關係，而已知AD是角平分線，所以就可應用角平分線的性質AC/AB=CD/BD，於是就有上式等於（圖二），但已知BE=CE，這樣就推得GF/GB=2DE/BC。那麼問題也就成為要證明GD/GA也等於2DE/BC。由已證的EG∥AC，這兩條平行線的四個端點的兩兩的連線在D點相交，所以又可以應用平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明，於是又可得GD/GA=DE/EC，而EC=1/2BC，代入上式後即可得GD/GA=2DE/BC，就可以完成分析。
本題在延長BG交AC的延長線於H，聯結EG，並得到BG=HG，EG∥CH以後，又進一步將證明DF∥AB轉化為要證GF/GB=GD/GA。對這一比例關係，首先也進行描圖，以搞清楚比例線段之間的位置關係，經過描圖可以發現GF和GB、GD和GA這兩組相比線段都分別重疊在一直線上，所以仍然可以添加平行線型相似三角形進行證明。添加的方法是過端點和內分點作平行線。若首先考慮GF和GB這一組相比線段，那就應過端點B和內分點F作平行線，由於FD和BA是要證明的平行線，所以可取過內分點F的線段FE為平行線方向線段，於是平行線就應過端點B作，也就是過B作BK∥FE交GE的延長線於K（如圖3-169），即可得△GEF∽△GKB，GF/GB=GE/GK，那麼問題就轉化為要證GD/GA=GE/GK。這是一個新的比例關係，所以我們首先仍然進行描圖，搞清楚比例線段之間的位置關係。而經過描圖以後，我們又可以發現GD和GA，GE和GK這兩組相比線段都重疊在一直線上，所以又可以添加平行線型相似三角形進行證明，添加的方法也是過端點和內分點作平行線。由於現在這兩組重疊的相比線段有一個公共的端點G，所以添加平行線的方法就是將端點和端點，內分點和內分點分別連起來，且這兩條連線必定是平行線，於是聯結AK（如圖3-170），問題就成為應證AK∥DE，也就是AK∥EB，但我們已作BK∥EA，所以四邊形AKBE就應是一個平行四邊形，所以就可應用中心對稱型全等三角形進行證明，根據這個平行四邊形的中心對稱部分，我們就能找到這對三角形應是△BKM和△AEM，由於在這兩個三角形中已經可證∠BMK=∠AME，∠KBM=∠EAM，所以必須要再證一組對應邊相等的條件。由於已經證明G是BH的中點，GM∥HA，所以可得BM=AM，那麼通過這兩個三角形全等，並進行證明四邊形AKBE是平行四邊形後，就能得到AK∥DE，分析就可以完成。
圖3-169
圖3-170
本題在分析得到G是BH的中點和EG∥CH後，即可發現△BCH是△BAH的一部分，所以△BCH的中位線EG也是△ABH的中位線的一部分，因此考慮在△ABH中應用三角形中位線的基本圖形的性質，就應先將這條中位線添完整，所以延長CE交AB於M（如圖3-171）後，可得AM=BM。這樣在△GAB中可以發現過三角形頂點的三條線段AF、BD、GM相交於一點E（如圖3-172），從而就可以直接應用西瓦定理得（AM/BM）·（BF/GF）·（GD/AD）=1，而AM/BM=1，於是（BF/BM）·（GD/AD）=1，BF/GF=AD/GD，從而就可以證明結論。
圖3-171
圖3-172
本題要證明的結論是DF∥AB，這是兩條平行線段，且它們的四個端點的兩兩的連線在E點相交，所以可應用由三角形外的一條邊的平行線段所得到的平行線型相似三角形進行證明。於是就可以找到這對相似三角形應是△DFE和△BAE，問題也就轉化為要證AE/FE=BE/DE。
又因為條件中給出BE=CE，且BC、AF在E點相交，這樣就出現了BE、CE這兩條相等線段是位於一組對頂角的兩邊而且成一直線，從而就可以添加中心對稱型全等三角形進行證明，添加的方法是過端點作平行線，於是過B作BH∥AC交AF的延長線於H（如圖3-173），就可得△ACE≌△HBE，AC=HB，AE=HE。
圖3-173
由所作的這一組平行線AC、BH可以看作是被AB所截，所以∠BAC和∠ABH就是一對同旁內角，它們的和就等於180°，又因為AD是角平分線且BG⊥AD，所以BG必定是∠ABH的角平分線，這樣就可以在△ABC和△BHA中，分別應用三角形的角平分線的性質得BD/CD=AB/AC，AF/HF=AB/BH。而我們已證AC=BH，所以BD/CD=AF/BF，而我們要證的結論是AE/FE=BE/DE，將兩式進行比較，應將所得的關係式向結論轉化，所以我們有BD=BE+DE，CD=CE-DE=BE-DE，AF=AE+EF，HF=HE-EF=AE-EF，代入後即得（BE+DE）/（BE-DE）=（AE+EF）/（AE-EF），所而再進行運算就可證明BE/DE=AE/FE，分析也就可以完成。
本題在延長BG交AC的延長線於H後，可得BG=HG，AB=AH。由AD是△ABC的角平分線，可得AB/AC=BD/CD，AH/AC=BD/CD，從而就有（AH-AC）/AC=（BD-CD）/CD，由條件E是BC的中點，所以CH/AC=2DE/CD。由於比例關係中出現了數字2，所以可應用線段倍半關係的定義進行證明。於是考慮將2與CH組合，則作CH的中點K，可得HK/AC=DE/CD，HK/（AC+HK）=DE/（CD+DE），HK/AK=DE/CE=DE/BE。又因E、K分別是CB、CH的中點，是多箇中點問題，從而應用三角形中位線的基本圖形的性質，聯結EK（如圖3-174）後，可得EK∥BH，所以又可得HK/AK=FE/AE，從而有DE/BE=FE/AE，所以DF∥AB可以證明。
圖3-174
根據同樣的道理，如果向角平分線所作的垂線改為過C點作，也就是過C作CG⊥AD且分別交AD、AE於G、F，那麼也可以證明FD∥AC。
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