【分析方法導引】
當幾何問題中出現了等腰三角形中的下列三種條件之一：頂角的角平分線；底邊上的高；底邊的中點或出現了一線端（將其看作是某三角形的一條邊）上的高、中線或所對角的角平分線中的兩條重合在一起時，就可以想到要應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。這時總共可出現六種可能情況，就按每一種情況分別討論完成基本圖形的添加。就下來就可以根據基本圖形的四個基本性質所具有的兩兩等價性質完成分析。即在這四個基本性質中，只要有兩個成立，就必定可以推得另外兩個成立。在分析中一般的情況是，四個性質中有一個是要證明的結論，有一個是已經給出的條件，從而要證明結論成立，就應轉而證明另外兩個性質中的一個，只要其中的一個性質獲證，那就可以根據兩兩等價性推得結論成立。由於在上述分析過程中要在兩個性質中選擇證明一個，所以必然也就出現了分析上的兩種可能性。
例3 如圖3-92，已知：平行四邊形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB，垂足是E，F是AD的中點。求證：∠EFD=3∠AEF。
圖3-92
分析：本題要證明的結論∠EFD=3∠AEF是兩個角之間的三倍角關係，所以可根據角的三倍關係的定義，將大的角，即∠EFD三等分，然後證明其中的一個角與∠AEF相等。在具體等分時，可逐次進行。於是先作∠EFG=∠AEF且交EC於G（如圖3-93），由於這兩個角可以看作AB、FG被EF所截得到的一組內錯角，所以就可得FG∥AB，而已知AB⊥EC，就可推得FG⊥EC。
圖3-93
在得到了FG∥AB後，由條件AB∥DC和F是AD的中點，就出現了FG應是梯形AECD的中位線，於是就可由FG∥AB和AF=DF推得EG=CG，但我們已有FG⊥EC，這樣就出現了一邊EC上的高和中線重合的條件，所以就可應用等腰三角形中的重要線段的基本圖形的性質進行證明。由於這個等腰三角形的一條腰尚未出現，所以應先將這條腰添上，也就是連接FC（如圖3-94），即可得FE=FC，∠CFG=∠EFG。這樣實際上我們已證明了∠EFC是∠AEF的兩倍，所以接下來的問題就是要證明剩下來的這個角∠CFD也等於∠AEF。
圖3-94
現在的問題實質上也就是要證∠CFD=∠CFG，也就是FC是∠DFG的角平分線。由於我們已經證明FG∥DC，所以在這裡又出現了一次角平分線和平行線的組合關係，所以必定出現一個等腰三角形的基本圖形，由於DC∥FG是角的一邊的平行線，所以它應和角的另一邊以及角平分線相交組成等腰三角形，於是就可找到這個等腰三角形應是△DFC（如圖3-95）。而現在FC是∠DFG的角平分線是要證明的結論，所以就要先證明這個三角形是等腰三角形，也就是要證明DF=DC，由條件AD=2AB=2DC，且F是AD的中點，AD=2DF，所以DF=DC可以證明，分析也就能夠完成。
圖3-95
例4 如圖3-96，已知：AB、CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，E是弧AD上的一點，F是OD上的一點，EF=EO，EF、EO的延長線交⊙O於G、H。求證：弧BG =3×弧BH。
圖3-96
分析：本題要證明的是兩條弧之間的倍數（數量）關係，解決弧之間的數量關係的基本方法是將問題轉化成與圓有關的角之間的數量關係來討論。
由於弧BH所對的圓心角是∠BOH，所以對弧BG也可以討論相應的圓心角，而這個圓心角在圖形中尚未出現，因此就應先將這個圓心角添上，也就是聯結OG（如圖3-97），這樣問題就轉化為要證明∠BOG=3∠BOH。
圖3-97
在聯結了OG後，由於OG和OE是同圓的兩條半徑，是兩條具有公共端點O的相等線段，所以它們可組成一個等腰三角形。又因為E、O、H成一直線，出現了這個等腰三角形的頂角的外角，所以應用等腰三角形的基本圖形的性質可得∠GOH=2∠OEF，由於這裡出現了∠GOH，所以要證明的結論也可轉化成∠GOH的關係式，也就是∠GOH=4∠BOH，比較這兩個關係式，可知問題就轉化為要證∠OEF=2∠BOH.這是兩個角之間的倍半關係，所以可根據兩個角的倍半關係的定義，將大的角兩等分以後，證明它的一半和小的角相等。於是作∠OEF的平分線EM交OD於M（如圖3-98），然後應證∠OEM=∠BOH。而在作了∠OEF的角平分線以後，由於條件中給出了EF=EO，所以就出現了等腰三角形的頂角的平分線，從而就可以應用等腰三角形中重要線段這個基本圖形的性質進行證明，於是由EF=EO和EM平分∠OEF，即可推得EM⊥OD，而已知AB⊥CD，所以EM∥AB。而現在要證明相等的這兩個角，即∠OEM和∠BOH是EM和AB這一組平行線被EH所截得到的一組同位角，當然相等，所以分析可以完成。
圖3-98
本題由於條件給出AB、EH都是直徑，所以∠AOE=∠BOH，弧AE=弧BH，所以問題也可轉化為證弧BG=3×弧AE。由於弧AE所對的圓心角∠AOE已經出現，所以也應將弧BG所對的圓心角作出，於是聯結OG，那麼問題就轉化為應證∠BOG=3∠AOE。
由條件A、O、B成一直線，∠BOG可以看成是一個三角形的外角，但圖形中這個三角形尚不完整，所以應先將三角形添出，也就是延長CE交OA的延長線於K（如圖3-99），即可得∠BOG=∠G+∠K。又因為已知EF=EO，且∠KOF=90°，所以OE就應是直角三角形KFO的斜邊上的中線，於是就可應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。也就是由EF=EO，可得∠EFO=∠EOF，又因為∠KOF=90°，又可得∠K=∠EOA，EK=EO，∠FEO=2∠K。
圖3-99
又因為OK和OE是⊙O的兩條半徑，它們可以組成一個等腰三角形，應用等腰三角形的性質又可得∠G=∠GEO，從而就可得∠BOG=∠G+∠K=∠GEO+∠K=2∠K+∠K=3∠K=3∠AOE。
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