作者 | 桃李昔
在自然數這個大家族中，有些數非常特別，1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，……像 1、4、9、16……這樣的數，數學上叫做“平方數”。
你知道嗎？平方數非常少！100 以內的平方數從小到大也就 0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 共 11 個，大約佔了總個數的 11%。200 以內的平方數也不多，一共 15 個，約佔總個數的 7.5%；300 以內的平方數一共 18 個，約佔總個數的 6%；400 以內的平方數一共 22 個，約佔總個數的 5.2%；……1000 以內的平方數一共 32 個，約佔總個數的 3.2%；10000 以內的平方數一共 101 個，佔比更小了，僅佔總個數約 1%。
瞧，平方數，就是如此的稀少！
現在，讓我們把目光轉向那些不能進入平方數隊伍的數。
比如 95，它顯然不是平方數。數學家們想：既然 95 不是平方數，那它能不能表示成幾個平方數之和呢？經過嘗試，容易得到，95=1+4+9+81，或寫成 95=1²+2²+3²+9²。也就是說，95 可以表示成四個平方數之和。
學無止境，思無終點！數學家們繼續想，是不是任意一個自然數都可以表示成幾個平方數之和呢？如果答案是肯定的，最多需要多少個平方數？
問題引發探究，行動催生髮現！數學家們的研究取得重大進展，他們驚喜地得到：任意一個自然數，都可以表示為最多 4 個平方數之和（4 個平方數可以相同，也可以不同）。這真是一個奇特有趣的發現，數學上把它稱為“四平方和定理”。
舉些例子吧！
16=4²，4 本身就是一個平方數。
34=3²+5²，34 可以表示成 2 個平方數之和。
22=2²+3²+3²，22 可以表示成 3 個平方數之和。
15=1²+1²+2²+3²，15 可以表示成 4 個平方數之和。
因為這個定理在 1772 年被法國數學家拉格朗日證明，所以它又被稱為“拉格朗日平方和定理”。
看，平方數雖然稀少，可還有“四平方和定理”啊，這定理對於任何一個自然數來講是普遍適用的！
作者簡介：桃李昔，從小喜歡數學，第一份工作是數學教師，現在依然鍾情數學。主張數學教育應傳授知識、傳播文化、傳遞熱情。
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