數學是科學的大門和鑰匙。——羅吉爾·培根（Roger Bacon）
一、希臘數學的目的
希臘數學經典著作如歐幾里得的《幾何原本》、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》和阿基米德的幾何著作都給出了形式的、儘可能完善的演繹數學，但為什麼要講究這種形式呢？現代數學課本也一樣，只是把已有的數學成果整理講解，卻閉口不談數學的目的何在，定理是怎樣啟發和摸索出來的，數學知識又是怎樣應用的。
當托勒密直接聲明他是為研究天文而創立三角學的，當我們知道歐多克索斯主要是個天文學家，而歐幾里得不僅只寫《原本》，還有《現象》（用於研究恆星天球運動的球面幾何著作）、《光學》、《鏡面反射》、《音樂原理》（Elements of Music）和其它力學方面的短篇著作（都是數學性的），就不能不得出結論說數學並非一門孤立的學科。
知道了人的心智活動是怎樣進行的，而且詳細知道了歐拉和高斯是怎樣進行工作的，就可以相當肯定地說，那些天文、光學和音樂方面的研究必定啟發他們提出數學問題，因此研究數學的目的很可能是為了用之於這些領域。球面幾何（sphaeric）很可能是在天文學數學化之際進行研究的，畢達哥拉斯學派所說的“sphaeric”是指“天文學”。
我們也能從希臘哲學家（他們本人也是傑出的數學家或科學家）的著作中得知數學的範圍並不限於數學本身。在古典時期數學包括算術、幾何、天文和音樂；在亞歷山大時期數學分為算術（數論）、幾何、力學、天文學、光學、測地學、聲學與應用算術。
至此，我們可以確定：希臘人對了解自然界有那麼一股迫切而不可遏制的願望，推動他們創造和重視數學。數學是研究自然界的利器，是瞭解宇宙的鑰匙，因為數學規律是宇宙佈局的精髓。
二、希臘自然觀
在早於希臘時代或與之並存的古代文明中，自然界被認為是混亂、神秘、變化無常和可怖的。自然界的現象被天神操縱，祈禱和巫術可以讓天神發慈悲免降災禍甚至創造奇蹟賜福於人，但人的生命和命運是完全聽憑於他們的。
埃及眾神
但我們發現約公元前600年的希臘知識分子對自然界採取一種完全新的態度：合理的、批判的和世俗性的。他們拋棄神話，不相信天神的喜怒哀樂能操縱人和世界。新的信念認為自然界是有秩序的並始終按照一定的方案運行。他們深信人的智慧是強有力的甚至是至高無上的，人不僅可以探索自然界的道理甚至還能預知它將會出現的時態。
誠然，持這種理性觀點的只有古典時期和亞歷山大時期的一小群知識分子。愛奧尼亞學派是最早斷定自然界實質的人，他們肯定在一切表面現象的千變萬化中有一種始終不變的東西。這一原始物質的內蘊本質是守恆的，而所有的物質形態都可用它來解釋。這種自然哲學來自一系列大膽的思索、巧妙的猜測和聰敏的直觀，而非廣泛的、細緻的科學研究的結果。
也許他們有點太急於想認識全貌，所以就幼稚地斷然作出廣泛的結論。但他們確實從物質的和客觀的方面來解釋宇宙的結構和設計佈局，而拋棄老的神話故事。他們用合理化的解釋來代替詩人的想象和不加分析的傳說，並且他們用理性來辯護他們主張。他們至少敢於憑理智來面對宇宙，而不肯依賴於神、靈、鬼、怪、天使以及其他神秘的力量。
希臘十二主神
三、希臘數學觀念的形成
1.畢達哥拉斯學派的觀念
把對自然作用力的神秘、玄想和隨意性去掉，並把似屬混亂的現象歸結為一種井然有序的可以理解的格局，走向這方面的有決定意義的一步是數學的應用。第一批提出這種合理化的和數理哲學性自然觀的人是畢達哥拉斯學派。
畢達哥拉斯派的宗教思想是帶神秘色彩的，但他們的自然哲學卻是理性化的。他們在不同性質的現象上看到了相同的數學性質，於是認為數學性質（數與數的關係）必然是這些現象的本質所在。數是他們解釋自然的第一原則，所有物體都由點或“存在單元”按照相應的各種幾何形象組合而成。數既是點又是物質的元粒，所以數是宇宙的實質和形式，是一切現象的根源。畢達哥拉斯派的信條是：萬物皆數！
畢達哥拉斯派把音樂歸結為數與數之間的簡單關係，是因為發現了下列兩個事實：第一，彈弦所發出的聲音取決於弦的長度；第二，繃得一樣緊的弦若其長度成整數比，就會發出諧音。畢達哥拉斯派也搞出了一個著名的希臘音階（musical scale）。歐幾里得和托勒密也寫過音樂方面的著作，還制定過音階。
畢達哥拉斯派把行星運動歸結為數的關係。他們相信物體在空間運動時發出聲音，又相信動得快得物體比動得慢的物體發出更高的音。離地球越遠的行星動得越快，因此行星發出的聲音因其離地球的距離而異而且都配成諧音。此所謂“球體的音樂”。
晚期的畢達哥拉斯派幹了一件顯然與傳統決裂的事，他們最早相信地球是個球。又因為他們相信10是理想的數，所以他們肯定移動的天體必定有10個。第一個是中心火球，所有天體包括地球都繞它轉動。加上地球、5個行星、日、月以及恆星所附著的天球，總共只有9個運動的天體。因此他們提出存在第10個天體，叫反地球（counter-earth），也是繞中心火球轉的。這個反地球我們看不見，因為它在中心火球的另一側以恰好相同於地球的速度運動，又因為住人的那部分地球是背朝中心火球的。這是第一個地動學說。
還有一種信念，認為天體是永恆的、神聖的、完美並且不變的，而塵世物體，即地球和彗星則要變化、分解、腐朽和死滅。這據說也是從畢達哥拉斯派來的。勻速圓周運動的信念以及天體和塵世物體之分已深入希臘人的思想。
自然界的形形色色特性也可歸結為數。1、2、3、4這四個數叫四象（tetractys），是特別受重視的，因它們相加成10。據說畢達哥拉斯派的誓言是：“謹以賦予我們靈魂的四象之名宣誓。長流不息的自然的根源包含於其中。”畢達哥拉斯派認為自然是由四元性組成的，例如點、線、面、體，以及土、氣、水、火四種元素。四種元素也在柏拉圖的自然哲學中佔中心地位。因為10是理想的，故10代表宇宙。10的理想性就需要使整個宇宙能用10種對立的範疇來描述：奇與偶，有界與無界，善與惡，右與左，一與多，雌與雄，直與曲，正方與長方，亮與暗，靜與動。
畢達哥拉斯哲學顯然把嚴謹的思想同虛構、無用和不科學的信條混在一起。但他們確實強調要了解自然，並且不是通過單一物質而是通過數的關係這種形式結構來了解的。此外，他們和愛奧尼亞學派都認識到在單純感覺材料下面必然潛藏著自然的和諧關係。
現在我們可以認識到何以不可公度比的發現對畢達哥拉斯派哲學是那麼可悲的打擊：不可公度長之比竟然不能用整數之比來表示！此外，他們相信一直線是由有限個點（他們把它和物理質點視為等同）組成的，但對根號2那樣的長就不可能是如此。如果他們把無理數當作數來接受，他們那個視整數為至上的哲學就要垮臺。
由於畢達哥拉斯派把天文和音樂“歸結”為數，這兩門學科就同算術和幾何發生了聯繫，這四門學科都被人看成是數學學科。甚至一直到中世紀，這仍包括在學校課程中，當時號稱“四大科”。
畢達哥拉斯學派注重算術（數論）並不在於該學科的純美學價值，而是為了要用數來探究自然現象的意義。其次，正是這種以數為中心的自然哲學，才使尼科梅切斯那樣的人重視數。事實上，現代科學也遵循畢達哥拉斯學派重視數的傳統——不過形式遠為深奧，而純為追求美的現代數論則直接從畢達哥拉斯學派的算術脫胎而來。
2.柏拉圖的觀念
生長在畢達哥拉斯與柏拉圖之間那些年代裡的哲學家同樣關心現實的本質，但沒有直接把數學加進去。像巴門尼德、芝諾、恩培多克勒、留基伯（Leucippus，約公元前440年）和德謨克利特（公元前約460—約前370）這些人的論點和觀點，也像他們的愛奧尼亞前輩一樣，是不涉及數量問題的。但他們都肯定自然界是可以理解的，現實世界可以用思想來掌握。他們每個人都是那引向以數學研究自然這根鏈條上的一個環節。
柏拉圖是僅次於畢達哥拉斯本人的最傑出的畢達哥拉斯派，他是傳播這種主張的最有影響的一個人，即認為只有通過數學才能領悟物理世界的實質和精髓。感官所認識的世界是混亂和迷離的，在任何情況下都是不完美不持久的。物理方面的知識不重要，因為物質對象要變要腐朽，所以直接研究自然以及純粹物理上的考察都是沒有價值的。物理世界只不過是數學家和哲學家所研究的那個理想世界的不完美的拷貝。那永恆不變的數學定律才是現實世界的真髓。
柏拉圖比畢達哥拉斯派走得更遠，他不僅想通過數學來了解自然，而且要用數學來取代自然界本身。他相信只要對物理世界做些洞察一切的鳥瞰而從中抽出基本真理，然後就可以單憑理性繼續對此進行考察。從那偶就不存在自然界而只有數學，它可以取代物理研究。
柏拉圖認為天文學所要關心的不是可見天體的運動，僅僅對運動做些觀察和解釋遠非真正的天文學。要知道真正的天文學，必須先“把天放在一邊”，因為真正的天文學是研究數學天空裡真星的運動規律的，而可見的天不過是那數學天空的不完美的表現形式。柏拉圖是不管天文學在航海、曆法和測時這些方面的應用的。
柏拉圖認為存在一個由形式和觀念組成的、客觀而普遍可靠的實在世界，其中事物獨立於人而存在且永恆不變、無古無今。我們是通過前世回憶而體會到這些概念的。在柏拉圖的哲學裡，數學觀念起兩重作用：不僅是實在世界本身的一部分，而且幫助訓練心靈去認識永恆的觀念。“幾何會把靈魂引向真理，產生哲學精神......”
3.亞里士多德的觀念
亞里士多德與他老師柏拉圖的觀點很不一樣，他批評柏拉圖追求彼岸世界的態度，批評柏拉圖把科學歸結為數學的想法。他相信物質的東西是實在的主體和源泉。物理乃至一般的科學必須研究具體的世界以獲得真理。真正的知識是從感性的經驗通過直觀和抽象獲得的，然後才能應用理性給予加工。物質本身是不確定的，它只具有成為形式的潛在可能，當物質被組織成各種各樣的形式時才變得有意義。形式以及引起新形式的物質內部的變化才是實在世界的有意義之處和科學應真正關心的。
亞里士多德認為物質是由四種基本元素——土、水、火、氣組成的。每種元素又有其自身的特徵性質。土是冷而乾的；水是冷而溼的；氣是熱而溼的；火是熱而乾的。土和水有重性，氣和火有浮性。任一物件的性質取決於所含元素的比例，包括固體性、硬度、粗糙性以及其他品質，也因此決定了它的運動情況。固體、液體、氣體是三類不同的物體，以其具有不同物性上的品質而互相區別。
亞里士多德認為變化的原因有四類。第一類是物質的或內在的原因。第二類是形式原因。第三類是作用原因，是起作用的東西或人。第四類是終因，或現象所服務的目的。終因是四類原因中最重要的，因為它給出事件或現象的終極理由。每件東西都有一終因。
亞里士多德認為物理是研究自然的基本科學，數學通過描述形式上的性質來幫助研究，它給物質現象上觀察到的事實提供解釋。數學肯定是從現實世界抽象出來的，因為數學對象不能獨立於或先於經驗而存在。它們是作為能夠被感覺到的對象本身與對象的本質之間的一類觀念而存在於人的心目中的。因它們是從物理世界抽象而來的，所以它們能應用於物理世界。但若脫離可見的或可感觸的事物，它們便沒有實在性。單靠數學是絕不能充分確定物質的。質的差異不能歸結為幾何差異。在研究原因時，數學至多隻能提供形式原因方面的一些知識，就是說只能提供一種描述。它能描述物理世界中所發生的事，能把同時發生的變異聯繫起來，但對運動或變化的作用原因和終因卻不能置一辭。所以亞里士多德是把數學和物理嚴格區別開的，並給予數學以次要的地位。
綜上所述，希臘哲學家對於自然界的研究強調要理解和領悟其內在實質。從畢達哥拉斯時代起，幾乎所有學者都說自然界是依數學方式設計安排的，這種信念是在古典時期形成的，並在那時開始探索數學規律。這種信念直到19世紀末一直佔優勢，在那個時期探索自然界的數學設計方案被人認為就是探索真理，吸引了一些最深刻最崇高的思想家去研究數學。
4.希臘的心智觀
希臘哲學家相信心智是掌握自然的最有力的因素，他們把心智所欣賞的原理作為第一原理。圓周運動為運動的基本類型這種信念就是從其形式的優美為心智所欣賞而來的，圓是完整的而，直線形是由許多線段所圍成的，所以是不完整的，因而是次要的。天體只應作勻速圓周運動，因為比非勻速運動更簡單，更迎合心智。至於世俗物體之所以異於行星、太陽和恆星是因為天體外貌保持不變而地上事物變化明顯。
亞里士多德雖只強調那種有助於理解現實世界的抽象，但他也說應該從心智所明瞭的原理出發，然後去分析自然界裡發現的事物。他說我們應該從普遍到特殊，從人類到個別的人。所以即使是從具體對象作出的抽象，事先也需要有源於心智的一些總原理。
心智能產生第一性原理的這種信念直到17世紀才被推翻。
下一講希臘自然科學中的數學。
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