03.02 二維空間的封閉是圓,三維是球,那四維是什麼?

谷原明


上海科技報科普問答主持人:主任記者 吳苡婷

想象一下,就空間來說,零維是一個點,一維是一條線,二維是一個平面,在二維空間裡,有兩個方向能夠相互垂直,如果你把它想象成一個正方形就很好理解,同一個交點的兩條線是相互垂直的。

同理在三維的空間,應該有三個方向能夠相互垂直,想象一個立方體,同一個交點的三條線是相互垂直的。如果是一個四維空間,應該有四條線有同一個交點且能相互垂直,這被稱為超立方體。我們沒有見過這樣的東西,我們也不知道是否存在這樣的空間,但是我們可以想象,如果存在這樣的空間,三維在四維以內,我們能觀察到什麼現象?可以類比推測一下,如果二維裡有一個圓穿過一維的一條線,如果一維空間裡有東西能看到它,他會看到他的世界裡先出現了一個點,然後這個點兩端延長變成一條線,當這條線到一定長度後會縮短,最後又變成一個點,最後消失。同理,如果三維空間的球穿過二維空間的面,假如二維裡有東西能看到它,他就會看到他的世界裡先會出現一個點,然後這個點會變大變成一個圓,大到一定程度後會縮小,最後變成一個點再消失。

根據這個現象我們可以推測,假如四維空間裡存在一個超球,現在這個超球穿過我們的空間,我們會看到空間裡先出現了一個點,然後這個點會變大成一個球,然後在大到一定程度後會縮小,最後再變成一個點,消失。


科壇春秋精選


答:四維空間對應超體,其中球對應超球體,立方體對應超立方體。


人類大腦能模擬三維空間中的複雜模型,但是要模擬四維空間就非常難,主要原因還是四維空間包含的信息太多,人類大腦難以處理,而且低維空間中難以展現高維空間的所有信息。

對於四維空間,我們能做的理解方式就是類比,用低維類比高維,從而推斷出高維空間具有的性質,為了表現四維空間中的規律,我們需要對其進行降維處理,我們一步一步來。

數學是非常好的工具,可以幫助我們處理一切維度,數學中降維方式之一就是“投影”,本質上投影就是一種函數變換,把高維物體的某些信息放到低維中展現。


一維投影

零維是點,點在N維空間中,就有N個變量來描述點的位置;一維是線,在數學中線是一組連續點座標的集合,如果把一維的線投影到零維空間,就是一個點。


二維投影

二維是面,在數學中,二維是無窮根線組成的面,面在一維中的投影是線。


三維投影

三維是體,比如三維中的立方體,立方體在二維平面中的投影就比較複雜了,不同角度下的投影,會得到不同的形狀,可以是矩形或者其他多邊形。

如上圖,無論在哪個角度,二維平面中的投影都只能是平面圖形,每次投影得到的圖形,只包含立方體的一部分信息;隨著各個角度的變換,三維立方體的信息才會全部展現出來。


四維投影

立方體對應超立方體,球體對應超球體,但是我們無法想象四維空間中的事物;不過我們類比以上投影,可以推測出,超立方體在三維空間中的投影具有以下性質:

(1)在三維空間中,超立方體的投影表現為三維立體圖形;

(2)隨著投影角度的變化,三維中的投影會出現不同的形態;

(3)最簡單的三維投影圖是立方體;

要根據以上性質去想象超立方體是很難的,上圖展示的,就是超立方體在不同投影角度下的三維形態。超立方體包含的信息量,遠遠高於三維中的立方體。


高維投影

人類無法想象高維事物,但是數學可以幫助我們理解高維事物的性質,比如著名的卡拉比-丘成桐空間,就是一個六維空間,這個六維空間在三維中的投影,可以用計算機模擬出來,如下圖。


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艾伯史密斯


誰說二維空間的封閉是個圓?千數個回答就沒有指出題目的錯誤。零維是點,一維是線,或直線,或曲線,封閉起來是個環,這其中就包括圓,注意一維空間封閉才是圓。而二維空間就是個面,或者平面、或者曲面。封閉起來是個封閉曲面,這其中就包括球面。注意現在說的是球面,不是球,這個球面仍然是二維的。三維空間就是立體的,包括球體,它們沒法再封閉,封閉起來還是三維立體。非要封閉,只能從大小兩方面去考慮。往小了說,三維的能量利用某種機制封閉成有質量的物質;往大了說,整個三維空封閉成了整個靜態宇宙,這是宇宙的形狀。


至於四維空間能封閉成什麼,連三維空間都無法封閉,更何況四維?說實話,所謂四維空間是不存在的,愛因斯坦和閔可夫斯基把時間看成是一維特殊的空間,認為宇宙是四維時空。看清了,是“四維時空”,而非“四維空間”,所謂四維或高維空間是人們對宇宙高維的一種抽象預期,實際上根本是不存在的。有人說四維空間封閉是超球體,這個超球體只在數學上存在,現實宇宙中是不會存在的。有人說克萊因瓶就是四維空間拓撲,

還有人說我們宇宙的所有三維物體就是四維空間的物體的投影,全是扯淡。實際上不但不存在四維等高維空間,也不存在所謂零維、一維和二維空間,因為點、線和麵都是抽象的,否則再細的線也是立體的、有大小的。再薄的面也是立體的、有厚度的。世上根本不存在沒有任何厚度的面和沒有粗細的線,這隻存在於數學上。

總之這個宇宙這個物質世界只是三維的空間、四維的時空,不會有其它的維,也不會封閉,即使封閉起來也是個三維立體。


物原愛牛毛1


打攪。

首先你要知道肉眼你看不到四維。

你的肉眼只能接收2維的信息,因為

  1. 你的視網膜的視覺感受神經分佈在二維平面
  2. 你看到的圖像一定位於你視線的垂直方向,
  3. 進入你眼睛的每一條光線只能攜帶在它光線上的離你最近的非透明的一個點的信息

與其的構造有關,以下是他的構造

左邊是視網膜,右邊的圖形發出光線通過瞳孔和晶狀體折射到視網膜(圖畫醜了將就看一下吧),形成一個二維圖片,同時將信息傳遞給大腦,所以三維肉眼的成像是你前方物體在你這個方向的表面形成的圖像。如果光延直線傳播,你看不到任何非透明物體之後的像(紫色表示)



至於為什麼你覺得你看到的是三維?這只是你的腦補而已。多個眼睛在空間中不同位置(景深)因為視角差別能看到不同的二維平面,分析多個二維平面的不同可以判斷三維物體的遠近。所以二郎神和蜘蛛和複眼昆蟲也只能看到三維空間,假設視力接近,二郎神的空間立體感和判斷遠近的能力很可能優於我們。




為方便理解四維視野,先介紹下二維的視野。

如果二維的肉眼能看到圖像而且機制和目前的三維動物一樣,那二維眼睛的結構看起來一定是下面這樣:

左邊的視網“線”接收到來自右邊的圖形發射的光線,經過瞳孔,通過晶狀“片”的折射,形成的像在一條線上,同時把視覺信息傳遞給大腦,如果光延直線傳播,它看不到任何非透明物體之後的像(紫色表示)



如果四維的肉眼能看到圖像而且機制和目前的三維動物一樣,那四維眼睛的結構看起來一定是下面這樣:

左邊的視網“三維膜”接收到來自右邊的四維物體發射的光線,經過瞳“球”,通過晶狀“胞體”的折射,形成的像投射在視網“體”上,同時把視覺信息傳遞給大腦,如果光延直線傳播,它看不到任何非透明物體之後的像(紫色表示)



可見這個四維眼看到的是一個三維立體的圖形。

這也就是說,給他們任何一個三維物體,如果他們沿著該三維物體厚度(三維物體在他們的世界看起來很薄,因為在第四維方向沒有厚度,光會照亮這個三維物體內的每個點)的方向看,這個三維薄片的每個光線都會被他們的視網“三維膜”捕捉到。他們可以同時看到這個三維物體的每一個點。舉幾個例子:

當你遞給他你的手機,他可以同時看到你手機的每一個零部件。

當你給他一個未打開的俄羅斯套娃,他不需要打開就能看到每個套娃。雖然中間的套娃被三維空間封閉,但在四維空間是露在外面的。如果不存在在第四維方向的束縛,中間的套娃會掉到外面去。

當一個三維人來到他的世界,他身上的每個細胞都露在了外面,他將慘不忍睹 他在瞬間就流完體內的血,各種器官雖與身體有連接不會亂跑,但它們會在四維空間中掛著身體風中搖晃。

當你拿給他一本三維書,他不需要翻書就能看到這本書裡面的所有文字。雖然上一頁和下一頁的字都粘在了一起。

他們的腦子也比我們多一個維度,很可能輕鬆接受多一個維度的信息量。如果你在橫方向給這個四維眼切出一個切片,這個切片很接近我們眼睛的結構。

以上這幾段只是對上面粗體那句話的解讀。

目的是想讓你們感受一下我們三維的語言描述起四維空間是多麼的蒼白吃力。簡單一句話的理解都需要我冗長的內容去概括。要很好的理解這句話,需要你對四維空間有一定的瞭解。



如果五維的肉眼能看到圖像而且機制和目前的三維動物一樣,那五維眼睛的結構看起來一定是這樣:

左邊的視網“四維膜”接收到來自右邊的五維物體發射的光線,經過瞳“超球”,通過晶狀“五維體”的折射,形成的像投射在視網“超體”上,同時把視覺信息傳遞給大腦,如果光延直線傳播,它看不到任何非透明物體之後的像。


我去解釋五維好比讓一個精通二維語言的人去解釋四維一樣貧乏。

二維的書大概長成和這兩個漢字這樣:卅,爪

也可能長成和M一樣的折行,也可能像鳴門卷

二維書的其中一頁紙是一條線,它們只能在這張紙上面書寫點和線。

寫起來像是這樣:- ·- —- — -- -— - — --· — ·

我們可以用一句話概括他們的所有文字:同一平面的連續或不連續的直線和點

我們的世界也存在類似的二維語言。我想到了兩種二進制語言:計算機CPU依賴的01語言和摩斯電碼。

假設二維有智能生物存在,他們的腦子一定很簡單。他們的數學有可能也是二進制,因為二進制對他們來說方便。以其一維視野去理解平面幾何就顯得很費力,如果你去和他講立體幾何,他們一定會覺得你在扯淡,甚至會認為三維物體根本無法想象。

他們時間的一本書。很可能只能記載幾句話。很可能由於腦細胞數量的限制。相同厚的一本書, 他們閱讀一本書的時間很可能與我們接近。


劉砥柱


在愛因斯坦的時空觀裡,時間流逝第四個維度,並且時間這個維度可以延伸至多達7個維度,加上我們熟悉的三維是世界,總共會有10個維度!

說到這裡,肯定會有人質疑:你連時間和空間都不分?四維空間和四維時空都不分?

但為何時間不能是空間的一種表現形式呢?並沒有哪條理論規定了時間不能是空間的一種!而且恰恰相反,愛因斯坦的廣義相對論明確表示時間和空間是不可分割的整體,簡稱“時空”,任何把它們分開區別對待的沒有意義!

如果是這樣,我們每天拋開時間去討論所謂的“三維世界”有意義嗎?

很多時候,定式思維害了我們,長寬高就是我們眼裡的三維表達形式,於是很多人習慣性思考第四維度也應該是像長寬高一樣的“具有方向”的維度!但無論如何我們就是找不到這樣的“第四維度”。

這就像我們經常說的那樣“沒有困難製造困難也要上”。很多時候,答案很簡單。甚至就在我們眼前,但我們就是看不見,認為答案怎麼可能如此簡單?

空間離開時間沒有意義,時間離開空間也沒有意義,某種意義上這不代表著時間就是一個維度嗎?就在我們眼前的第四維度,為何我們視而不見而就是要苦苦尋找那些所謂的“第四維度”呢?


宇宙探索


四維空間裡的形狀叫做超體,比如三維的立方體就變成了超立方體,球體就成了超球體,雖然名稱只是多了一個字,但是升級後的圖形我們卻是很難直觀想象出來的。

在中學我們就學過立體空間,並且知道了零維是點,一維是線,二維是面,三維是體。而且還發現通過“投影”的手段,可以將高維圖形在低維空間裡表現出現,比如平面投影到一維空間,就成了線;立方體投影到二維空面,就成了面(如下圖)

我們甚至可以想象,如果一個二維生命體在二維空間觀察到如下圖所示的那忽大忽小的圓,他們能想到那其實是球體在穿過二維空間嗎?

以此類推,如果超球體穿越三維空間,我們會看到什麼呢?(如下圖)

一個忽大忽小的球體

而如果將超立方體投影到三維空間,比如下圖

這就是超立方體在三維空間的投影,隨著超立方體的轉動,三維投影也跟著變化,那麼你能想象出超立方體是什麼模樣嗎?

期待您的點平和關注哦!


賽先生科普


題主問題中的表達似乎不太清楚,“封閉”是什麼意思?

個人揣測題主是想問:一維的閉合空間可以被認為是一個圓,二維的閉合空間是一個球面,三維的閉合空間是四維超球體的球面,而四維的閉合空間又是什麼呢?

閉合空間

閉合空間,指的是在此空間中任何一點出發,單向運動,最終都可以返回此點,於是可以據此判定該空間是閉合的。

  1. 對於一維空間來說,如果是非閉合的,那麼就是一條直線(但我們說它是直線是從更高維度來看的,對於一維空間內的生物來說它很難確定自己的空間是直線)。但如果這個一維空間是閉合的,那麼從高維來看,它就是一個圓了(或者首尾相接的曲線)。這不難理解。


  2. 同理,對於二維空間來說,如果是非閉合的,那麼它就是一個無限的平面,反之,如果是閉合的,那麼它就是一個球面,其上的任何一點出發單向運動最終都能回到出發點。這個仍然容易從高維度的視角來理解(我們腦子裡面能夠想象得到)。

  3. 但是,對於三維空間來說,這個就不大好理解了。一個閉合的三維空間是什麼樣的呢?這就涉及到超球面的概念了。因為二維閉合空間是一個球面——實際上是三維球體的表面,那麼三維閉合空間就是四維球體的表面了。貌似四維球體就夠難想象的了,更不用說想象其表面的樣子了。但實際上可能沒那麼難。


但有兩種思路可以簡化這個想象的複雜度:

  • 理解1:四維球體實際上就是一系列三維球體的集合,而閉合的三維空間就是一系列三維球面的集合。

上圖:將覆蓋了網格線的三維球面投影到三維空間的樣子,(想象一大堆尺寸連續漸變的球面嵌套疊加在一起)。實際上我們在這幅圖看到的是一個四維超球體,只是那些網格線代表了其表面。其上的所有點(x1,x2,x3,x4)滿足下面的方程:

並且從這些面上的任意一點單向運動,最終會返回原點。


  • 理解二:三維閉合空間,相當於是一維閉合空間+二維閉合空間。也就是一個圓(環)上佈滿了尺寸漸變的球面,或者,一個球面上佈滿了尺寸漸變的圓。似乎前者更容易想象。這裡需要先介紹一個思維技巧,就是把一個球看成一個環。如下面動圖所示。

上圖:將球等效於一個環的方法(球和環可以相互變換),只是簡單地將原有的座標系的比例改變一下,球就變成了環(或者說球面就變成了環面,球面只不過是環面的一個特例),環可以進一步等效於一個沒有粗細的圓。這樣的思考方式可以用來降維思考或者升維思考。


我們再來換一種以環面來表現的更容易看清楚的三維閉合空間的投影圖(下圖),不好意思,前面給的那種太繚亂。

上圖:閉合三維空間的靜態投影,從靜態投影上我們仍然難以理解。因為疊加的部分太多了,線條也太多。我們的大腦無法處理。於是我們可以將其中一個維度在時間維度上展開(也就是把時間作為其第4個維度),讓這個圖動起來,來看三維閉合空間在二維上的投影的變化。


上圖:閉合三維空間,讓它動起來,這是閉合三維空間不同部分在二維平面上的連續顯現的投影。也就是說,每一刻只顯示了這個閉合三維空間中的一個二維閉合空間,而且還是轉換為“環面”之後的樣子。


思維引導:

  • 如果我們按下暫停鍵,在這個動圖當中的每一幀當中,我們都會注意到,其每一幀描繪的都是由閉合的圈沿閉合的環旋轉一週形成的一個閉合曲面(像是甜甜圈),這個“甜甜圈曲面”實際上代表了一個二維閉合空間,既然前面我們已經告訴了你將球面等效於環面的方法,於是你現在應該可以認為這個“甜甜圈曲面”實際上就是一個球面(二維閉合空間)。如果放一隻螞蟻在這個環面上任何一點,它無論如何也走不出這個環面。

  • 如果我們取消暫停,讓螞蟻不動,就會看到隨著這個環面的動態,螞蟻將仍然隨著做圓周運動,而且會在一個週期之內回到原點。

  • 所以,將所有的幀都疊加起來(而不是讓它們以序列的方式呈現),這些尺寸漸變的“甜甜圈曲面”的總體就共同構成了我們期望理解的那個三維閉合空間(各種尺寸的“甜甜圈曲面”的總和,不要在大腦中企圖視覺化這個幾何圖形,很難)。因為這些“甜甜圈曲面”是連續漸變的,因此他們構成的是一個連續的三維空間,只是這個三維空間與那種非閉合的三維空間不同——那隻螞蟻在這些曲面上的任一點單向運動,最終是可以返回原點的。

實際上,這裡講的思路,就是在超弦理論當中維度蜷縮的思維方式。將多餘的維度分解為其他幾個閉合維度的集合,如此下去你可以輕易地想象任何維度的空間的樣子。

總結

我們這裡主要談了三維閉合空間的理解,四維閉合空間雖然複雜,但原理是一樣的,這樣可以一直到n維。突破直覺的高維幾何需要思維訓練才能掌握,因為我們日常的現實並不提供類似的經驗。希望上述解釋對大家有所助益。歡迎評論探討。


小宇堂


大家都知道0維度是一個質點。一維是線,二維是面,三維是體。

按照 推理類比的方式:從一維到二維是一維的無限疊加,從二維到三維是二維的無限疊加。 現在回到封閉狀態,從圓到球,也是無限疊加的結果。

那麼現在就可以想象從三維封閉的球到四維封閉應該也是無限疊加的! 理論也是如此,第四維是時間軸,這就證明了三維球體在第四維的時間軸上是無限多個的! 那麼第四維封閉狀態存在著 三維宇宙的過去和未來。

我們宇宙的每一個“時刻”都是一個球,這個無數“時刻”連起來構成了宇宙的過去和未來!

但是第四維在相對論中是時間,不過第四維只屬於數學上的計算,並不代表空間就是第四維。

現在的超弦理論已經上升到11維度了。不過還只是數學上的計算,並非對應真實的世界。

要知道,目前為止,客觀存在的世界是三維的。四維以上全是數學上的量化。

我參加過一次諾獎科學家的大會,有一個科學家說的很好:高維度一定要結合數學理解。所有通俗化的理解都是不客觀不真實的。

高維度沒有辦法通俗理解,如果我們能理解高維度,那麼高維度也就不是抽象概念了。


科學認識論


先來理清思路

題主想說的應該是:在二維平面上,由一維的線圍成了一個圓,圓在二維平面上屬於封閉圖形;在三維空間中,由二維的面圍成了一個球,球在三維空間中屬於封閉圖形。

封閉圖形可不止圓和球,也有可能是正方形和正方體。其實圓和正方形、球和正方體它們都是拓撲等價的。

這裡需要指出,題主的表述是有誤的。正確的表述應該是:一維空間的封閉可以是圓,二維空間的封閉可以是球面,那麼三維空間的封閉是什麼呢?


一維空間的封閉存在於二維空間中,二維空間的封閉存在於三維空間,那麼三維空間的封閉就應該存在於四維空間中。

二維空間中存在封閉圖形,三維空間中也存在封閉圖形,那四維空間中的封閉圖形是什麼呢?或者說三維空間的封閉是什麼?

要想弄明白這個問題,我們先要弄明白什麼是四維空間?

降維打擊開始,先來弄清楚一、二、三維。維度是人類在實踐中對現實世界的抽象。點沒有維度,或者可以算作零維物體。一維為線,二維為面,三維為體。對於一維物體只能描述其位置,對於二維物體可以描述它的面積,對於三維物體可以描述它的體積。點動成線,線動成面,面動成體。這個變化的過程就是無限疊加及運動。

上面的內容可能有點太抽象,不好理解。那是因為點、線、面在現實世界中都是不存在的,它們只存在於數學世界中,也就是存在於我們的想象之中。

四維是什麼?先從物理學方面解釋一下,愛因斯坦的相對論認為空間是三維的,把時間看成另一維度,那麼我們所在的時空就是四維的。處於這個四維時空中的三維物體處於連續不斷的運動中。


如上圖所示,從零維到四維的變化。四維空間中的封閉圖形應該就是超體。球在二維空間中的正投影為圓,那麼球應該就是四維空間中的超球體在三維空間中的正投影。

因此,我們得出結論,四維空間中存在的封閉圖形可以是超球體。三維空間的封閉應該是超球面,而不是球。

如何更好的理解維度?

現實世界中的物體在我們看來具有整數維度,它們都是三維的。在分形幾何中,我們可以賦予物體分數維度,那麼現實世界中的物體的維度應該在2~4維之間。


以人類的思維,超過三維就已經很難理解了。我們不妨換一種方式,不要具象的去理解,把維度當做數據去處理就行了,用數據去刻畫高維空間以及物體的形象。


不管是幾維空間,它們都是點的集合,點的位置可以用座標來描述。在數學上,一維空間可以用一個數軸去描述,二維空間需要用到兩個數軸,三維空間需要用到三個數軸,那麼四維空間就應該用到四個數軸。也就是說,確定四維空間中點的位置,需要用到四個座標值。在三維空間中最常用的就是笛卡爾直角座標系,它具有三個座標軸。

我們雖然感覺不到高維空間中物體的形狀,但是我們可以將高維空間中的物體投影到三維空間中,我們可以用n個座標軸將n維物體表現在三維空間中。

同樣都是維度,但並不一定等權。超弦理論就認為我們的世界應該是11維的,不過那些額外維度都蜷縮在局部空間中。平直宇宙空間是三維的,那麼一個有限無界的彎曲的宇宙空間應該是四維的。


(如上圖所示,宇宙中的星系分佈在超球面上)

我們通常是將幾何圖形嵌入到三維空間中來描述。上圖中的曲面在三維空間中來看它是彎曲的,不過在曲面空間上的觀察者來看它應該是平坦的。這種觀察者只能在自身所處空間中觀察和測量到的幾何性質就是該空間的內稟性質。而空間曲線的曲率和撓率就不屬於內稟幾何量,因為它們依賴於外嵌的三維空間。

好了,就說到這兒。


科學探索菌


圓變成球,球變成超球體唄^_^。

是的,超球體,當您不知道該命名新物體時,那您就找一個近似的物體,給它加“超”這類前綴就行了。比如,假設存在二維的智能生物,它們也可以把我們的球,稱為“超圓”,如果它們有圓這樣的概念。


當然,在數學中其實有個更統一的名稱,N維球體(N-sphere),用來命名從零維到無窮維度的球體。題主看來想表達的正是N-sphere,只不過表達得不嚴謹,因為可以將空間封閉的幾何形狀有無窮多種呢。四維的球體的三維投影,還真有個名字,叫glome,我也不知道該怎麼翻譯它。


N-sphere(N維球體)

在一維時,是個點

在二維時,是個圓

在三維時,是個球

在四維時,是個超球體,它的三維投影被稱為glome。


人類無法直觀想象四維空間中的幾何體,但我們可以將四維幾何體,投影到三維空間中來。其投影規律和三維投影到二維其實一致,當然需要做立體化的處理。N維空間,在數學上並不神秘,真正讓人頭痛的是,我們無法直觀的想象它,如此而已。不妨來看一些知名的四維幾何體的三維投影吧。


四維幾何體的投影。

  1. 四維球的投影,glome。

這張圖顯示的是四維超球面,紅色顯示它的平行線、藍色顯示它的子午線,綠色顯示它的超子午線。假如真有一個四維超球體,那麼它投在我們空間中的影子將是一個立體的影子,那麼這個影子的骨架就應該是這個模樣,如果將其三維表面用網格覆蓋,那麼其投影看起來就像下圖的模樣。

數學家們甚至給出了四維球的超體積計算公式為:


所以,您看四維空間並不神秘,只是難以直觀想象,但我們依然可以通過數學方法去把握它,計算它的一系列的性質,並知道它遵循的基本規律呢。





2、四維超立方體(hyercube)的三維投影

四維的超立方體的三維投影,看起來比較簡單,就是兩個立方體的嵌套。

但當這個四維立方體在四維空間中轉動起來的時候,它的三維投影將發生一些詭異的變化,絕非簡單的大小兩個立方體的嵌套,注意上面的動圖。中間的小立方體是活動的。

四維超立方體的二維投影。

從一條線段,到四維超立方體(的三維投影)。



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