二、圖解法
圖解法是對數量關係進行適當的幾何解釋，把代數或三角問題轉化為幾何問題，在利用幾何和函數的圖像的知識實現代數、三角問題解決的方法。
1、函數圖像法
通過引進函數，利用函數的圖像實現幾何解釋的圖解法，稱函數圖像法。
例題1、若不等式
例題1圖1
的解集為 （0,2），求實數 a 的值 。
解：設 y1 = √(4x - x^2) ，其圖像是圓心在（2,0），半徑為 2 的上半圓 ，如下圖所示：
例題1圖（2）
設 y2 = （a - 1）x ，它是過原點的直線系，當且僅當 y2 = （a - 1）x 經過點 A（2,2）時才有：
當 x ∈ ( 0, 2） 時，y1 ＞ y2 ，因而 2 = （a - 1）• 2 ，即 a = 2 。
例題2、若 a ＞ 0 , b ＞0 , c ＞ ( a + b ) / 2 ，
求證：
例題2圖（1）
解題思路：
待證不等式組最左端和最右端與一元二次方程的根的表達式接近，若把它們進行等價變形為根的表達式的形式
例題2圖（2）
問題轉化為證明方程 ax^2 - 2cx + b = 0 的兩個根一個大於 1 ， 一個小於 1 。
這可由討論函數 y = ax^2 - 2cx + b 的性質得到 。
證明：
令 f(x) = ax^2 - 2cx + b 因為 a > 0 ，所以函數的圖像是開口向上的拋物線 。
∵ c ＞ ( a + b ) / 2 > 0 , ∴ c^2 > [( a + b ) / 2 ]^2 ≥ ab ,
∴ △ = 4c^2 - 4ab ＞ 0 。
∵ c ＞ ( a + b ) / 2 ， ∴ 2c ＞ a + b ,
∴ a - 2c + b < 0 , ∴ f(1) = a - 2c + b < 0 。
這說明拋物線與 x 軸的左交點在點 （1,0）的左側，而右交點在點 （1,0）的右側，如下圖所示：
例題2圖（3）
即
例題2圖（4）
即
例題2圖（5）
2、幾何圖形法
通過構造精確定義上的幾何圖形的圖解法叫幾何圖形法。
例題3、若 a ＞ 0 , b ＞0 , c ＞0 ，
求證：
例題3圖（1）
解題思路：
考慮到 a , b , c 都是正數，且每個被開方式與餘弦定理形式接近，利用餘弦定理的幾何解釋，每個無理式都表示某三角形的一邊，而由這三個三角形作基礎可構成一個四面體，由這個四面體來證明這個不等式。
證明：
構造四面體 OABC ，使 OA = a , OB = b , OC = c ，∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 60° ， 如下圖所示：
例題3圖（2）
由余弦定理有：
AB^2 = a^2 + b^2 -2ab • cos60° = a^2 + b^2 - ab；
BC^2 = b^2 +c^2 - 2bc • cos60° = b^2 +c^2 - bc ;
CA^2 = a^2 +c^2 -2ac • cos60° = a^2 +c^2 - ac 。
在 △ABC 中 ， ∵ AB + BC > CA
∴
例題3圖（3）
例題4、若 α ，β 都是銳角，且 sin( α +β) = 2sinα ， 求證： α ＜β 。
解題思路：
由已知條件 sin( α +β) = 2sinα 聯想到正弦定理，可構造以 α ，β 為內角的三角形 。
證明：
因為 α ，β 都是銳角 ，構造以 α ，β 為內角的三角形 ABC ，如下圖所示：
例題4圖（1）
∠B = α ， ∠C = β 。
∵ sin∠A = sin( π - α - β） = sin(α+β)
∴ sin∠A = 2sin∠B
因此可設 BC = 2 ， AC = 1
∵ AB > BC - AC = 1
∴ α ＜β
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