二、图解法
图解法是对数量关系进行适当的几何解释,把代数或三角问题转化为几何问题,在利用几何和函数的图像的知识实现代数、三角问题解决的方法。
1、函数图像法
通过引进函数,利用函数的图像实现几何解释的图解法,称函数图像法。
例题1、若不等式
的解集为 (0,2),求实数 a 的值 。
解:设 y1 = √(4x - x^2) ,其图像是圆心在(2,0),半径为 2 的上半圆 ,如下图所示:
设 y2 = (a - 1)x ,它是过原点的直线系,当且仅当 y2 = (a - 1)x 经过点 A(2,2)时才有:
当 x ∈ ( 0, 2) 时,y1 > y2 ,因而 2 = (a - 1)• 2 ,即 a = 2 。
例题2、若 a > 0 , b >0 , c > ( a + b ) / 2 ,
求证:
解题思路:
待证不等式组最左端和最右端与一元二次方程的根的表达式接近,若把它们进行等价变形为根的表达式的形式
问题转化为证明方程 ax^2 - 2cx + b = 0 的两个根一个大于 1 , 一个小于 1 。
这可由讨论函数 y = ax^2 - 2cx + b 的性质得到 。
证明:
令 f(x) = ax^2 - 2cx + b 因为 a > 0 ,所以函数的图像是开口向上的抛物线 。
∵ c > ( a + b ) / 2 > 0 , ∴ c^2 > [( a + b ) / 2 ]^2 ≥ ab ,
∴ △ = 4c^2 - 4ab > 0 。
∵ c > ( a + b ) / 2 , ∴ 2c > a + b ,
∴ a - 2c + b < 0 , ∴ f(1) = a - 2c + b < 0 。
这说明抛物线与 x 轴的左交点在点 (1,0)的左侧,而右交点在点 (1,0)的右侧,如下图所示:
即
即
2、几何图形法
通过构造精确定义上的几何图形的图解法叫几何图形法。
例题3、若 a > 0 , b >0 , c >0 ,
求证:
解题思路:
考虑到 a , b , c 都是正数,且每个被开方式与余弦定理形式接近,利用余弦定理的几何解释,每个无理式都表示某三角形的一边,而由这三个三角形作基础可构成一个四面体,由这个四面体来证明这个不等式。
证明:
构造四面体 OABC ,使 OA = a , OB = b , OC = c ,∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 60° , 如下图所示:
由余弦定理有:
AB^2 = a^2 + b^2 -2ab • cos60° = a^2 + b^2 - ab;
BC^2 = b^2 +c^2 - 2bc • cos60° = b^2 +c^2 - bc ;
CA^2 = a^2 +c^2 -2ac • cos60° = a^2 +c^2 - ac 。
在 △ABC 中 , ∵ AB + BC > CA
∴
例题4、若 α ,β 都是锐角,且 sin( α +β) = 2sinα , 求证: α <β 。
解题思路:
由已知条件 sin( α +β) = 2sinα 联想到正弦定理,可构造以 α ,β 为内角的三角形 。
证明:
因为 α ,β 都是锐角 ,构造以 α ,β 为内角的三角形 ABC ,如下图所示:
∠B = α , ∠C = β 。
∵ sin∠A = sin( π - α - β) = sin(α+β)
∴ sin∠A = 2sin∠B
因此可设 BC = 2 , AC = 1
∵ AB > BC - AC = 1
∴ α <β
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