有一天看到一位博主發了這麼一條腦洞動態：如果你拿出一把尺子，把手指從3.1cm處移動到3.2cm處，那麼你的指尖會在某一個時刻剛好劃過圓周率π。

那麼這是真的嗎？今天我們就來研究一下這個問題。

π有什麼特徵

首先我們來認識一下π吧，它是圓周率，是一個無理數，更是一個超越數。無理數就是無限不循環小數，而超越數就是指它不可能成為一個由有理數組成的方程的解；比如√2，它就是一個無理數但不是一個超越數，因為它是方程x²=2的解。注意！這些結論都是經過了嚴密的數學證明的，並不是因為人類到現在還沒有算出來π的最後一位就稀裡糊塗地認為它“無限不循環”。現在人類計算π的方法雖然已經更新了很多代，但是依然還是使用的“無窮級數”的算法，你可以理解為一個按一定規律排下去的無限長的算式，你每多算一點精度就會增加一點。

那麼有關於π，我們需要提取出的最重要的一條信息就是它的“無限”，這個概念意味著當你撫摸尺子的時候，你的手需要觸摸到一個無限精確的位置，這樣才能滿足上面這個腦洞。

無限的精度可以達成嗎

其實早在古希臘，哲學家們對有關極限的問題就有了一些深入的思考，比如有一位叫芝諾大佬，他就提出了一個名為“

阿喀琉斯追烏龜”的問題，他對大家說：我發現大英雄阿喀琉斯永遠追不上一隻烏龜。

這個阿喀琉斯大概就像我們中國神話裡的小哪吒一樣，是比較神通廣大的一個半神英雄，那芝諾為啥說英雄跑不過烏龜呢？他是這麼分析的：我假設阿喀琉斯的速度是烏龜的10倍（這個英雄好像跑的也不怎麼快啊）。他和烏龜的距離大概是100米，那麼當阿喀琉斯跑完100米，烏龜就會跑1米，那麼阿喀琉斯為了追上烏龜，就會跑完這1米，但同時烏龜也會跑出1cm，當阿喀琉斯跑完這1cm後，烏龜又會跑上100微米……如此一來，就永遠沒有追上的那一天。

就這樣……

聽完之後你是不是有一種奇異的感覺，就是明明知道這個結論是錯的，但是卻不知道該如何批判，或者說找不到角度去批判。如果是在現場，你脫口而出的很可能是這一句：“你這就是在瞎扯淡！和你這種人我沒法繼續聊下去了”。

科學的精神之一，就是無論多麼不合理的事情，都一定要給出“理”和“據”，所以我們必須得找到問題的根源才行。而非常有意思的一件事就是，芝諾一生的對手德謨克里特，正是古典原子說的創立者，他與芝諾的思想也是針鋒相對的，我們可以從他的原子說裡一窺他對於這類問題給出了怎樣的答案。

原子的存在對於我們現代人來說是一個基本知識，但是對於幾千年前的古希臘人來說，則是一個非常神奇且深刻的哲學問題，因為他們沒有通過觀察來認識微觀世界的可能性，所以只能用“空想”的方式去尋找答案（這也就是哲學在世界早期的巨大貢獻之一，現在哲學的大部分功能都已經被科學替代了）。當時關於這個問題大家的普遍認識都是“物質是可以無限分割的”，這一點在《莊子·天下篇》中表達了同樣的意思：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”

但是德謨克里特很顯然並不是這麼認為的，他說：

如果物質是無限可分的，那麼如果我們把一塊小東西不斷地分割，那麼最終我們會得到什麼呢？是很多有維度的小顆粒嗎（也就是有體積）？很明顯只要有維度，那它就可以繼續分割，所以我們要一直分割下去，一直到只剩下很多沒有維度的點（也就是幾何中點的概念，沒有體積和麵積的東西）。好的，現在我們要把它們再捏起來，那麼多少點能產生維度呢？2個？3個？千個？萬個？……不，沒有維度的東西無論怎麼累積都不會有維度，就像無論多少個0相加永遠也只能是0一樣。

所以，德謨克里特得出結論，物質一定不是可以無限分割的，它一定有一個不能分割的最小維度，他用希臘語中的“不可分割”（átomos）來給它起名，就是我們現在翻譯的“原子”（atom）。

量子力學的回答

所以當我們用這樣一個思想再去審視“阿喀琉斯追烏龜”的問題就會發現，如果空間也和物質一樣不是無限可分的，那麼終於會有一個瞬間阿喀琉斯會和烏龜同時跑過這個“最小的長度”，然後阿喀琉斯就會輕鬆地將烏龜甩在身後，這樣芝諾的難題也就不攻自破了。

那麼到底有沒有這麼一個最小的尺度呢？答案是必然的，這正是現在物理學最先進，最前沿的研究領域“量子力學”所管轄的範圍。量子力學的研究核心，就是一切物理現象的最小單位的規律。所謂“量子”就是指只能用“個”來計量的最基本的粒子，比如電子，它就是電荷的最小單位，這世界上不存在半個電子那麼多的電荷，所以電子就是一種量子。

這樣我們再看看德謨克里特的古典原子理論，就會發現他據說的“原子”其實應該是“量子”，只有量子才是真正的“不可分割”。同樣，如果說粒子存在最小的單位，那麼時間和空間也沒理由是無限可分的，量子力學的創始人之一普朗克給出了答案：普朗克時間和普朗克長度。它倆就是物理學意義上真正的最短的時間和最短的長度，分別是10的-43次方秒和10的-35次方米。

現實世界離不開數數

那普朗克是怎麼算出來這麼一個數值的呢？這就需要我們把思想的小船駛回現實世界，讓我來思考一個問題：你如何知道一個現實世界中的信息，比如桌子上有多少粒瓜子？答案其實非常簡單，數一數不就知道了嘛。那有沒有什麼別的方法可以讓我們知道瓜子的數量？其實沒有，即使是別人告訴你的，也一定是有人（或者其他什麼可以計數的東西）數過。所以我們得到了一個看似廢話的事實：一個東西要想證明其存在，就必須要有“可數性”。

為什麼要強調這一點？那自然就是因為“可數性”也是不一定存在的。在極小的尺度上，我們要認識一個粒子，就必須要用一個光子來撞擊它，但是光子有一個特徵，就是能量越高精度就越高，但是能量又不可以無限地高下去，當高到某一個極大值時，它就會立即成為一個極小的黑洞，把那裡的空間給摧毀。而這個成為黑洞前的極限能量光子所擁有的精度就是普朗克長度，光走過普朗克長度所消耗的時間就是普朗克時間。

一切皆有限

不能測量等於不存在嗎？現在並沒有什麼證據能證明空間是不連續的，但是任何現實世界的所有物理規律（包括信息量）都指向“一切都是有限的”。我們想象一下，在一個沒有空氣的異世界地球上生存著很多奇怪生物，這些生物想要知道最高到底有多高，那麼他們只能用爬山的方式，但是地球的重力決定了最高的山也不可以超過10000米，那這10000米就並不僅僅是測量的最高高度，也是異世界“實際真實存在”的最高高度。

所以以上內容中的“測量”並不是真正意義上受限於人類能力的“測量行為”，而是計算得到的理論上限，事實上人類還沒法造出一枚足以當場毀掉空間的光子。就像地球的最高峰無法超過10000米一樣，這是由地球的重力加速度決定的，我們並不需要把山真的堆到10000米才能得出“山的高度是有極限的”這一結論。

“一切都是有限的”這一結論解決了哲學上有關宇宙的一切悖論。以前人們認為宇宙是無限的空間+無限的時間。而現在我們已經知道，宇宙的大小是有限的（有限而無界），而宇宙的壽命也沒比太陽長几倍。同時我們也知道一切都不是無限可分的，時間和空間你或許可以認為是擁有無限精度的（也就是所謂的連續性，當然這同樣沒有證據支持），但是它們絕對不是無限可分的。電子的直徑是普朗克長度的十億倍，我們都沒有找到任何電子是可以分割的證據，人類有關量子的研究可能進入了就快要觸碰到天花板的高度了。

你摸不到π

現在讓我們再回到一開始的問題，你的指尖可以觸碰到π嗎，當然不行，因為至少你的手指沒有無限的精度，它只會在一個比π小一點點和比π大一點點的區間裡“跳躍”而過，π這個無限的數字只能永遠存在於人類（或是任何有智慧的個體）的想象之中。

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