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本文是馬丁·艾格納（Martin Aigner）和瓦斯科·施密特（Vasco A. Schmidt）對尤里·曼寧（Yuri I. Manin）進行的採訪錄，原載於The Berlin Intelligencer, 1998, p. 16–19.由崔繼峰和楊城毅翻譯成中文，曾發表於《數學文化》第8卷 第4期： (2017年11月)，感謝《數學文化》授權轉載。
Manin的大作《作為隱喻的數學》
問：今年的國際數學家大會（ICM）[1]是本世紀最後一次。您認為是否還有可能出現一位像希爾伯特（Hilbert）一樣偉大的數學家？當代還有和希爾伯特問題一樣重要的問題嗎？
答：我並不十分確信希爾伯特問題在本世紀的數學中是否發揮了重要作用。雖然在心理上，它對許多數學家無疑是很重要的。舉個例子，阿諾德（Arnold）曾說，當他還是一個年輕的畢業生的時候，他曾經把希爾伯特的問題抄在他的筆記本上，並且將它隨身攜帶。但是當蓋爾方德（Gelfand）聽說了這件事情時，他嘲笑了阿諾德。阿諾德把解決希爾伯特問題看成了取得數學成就的一個重要組成部分，但是我並不這麼認為。我認為進行數學創造的過程所遵循的是已經確定的模式。當你在學習拓撲、概率、數論等知識的時候，在最開始，你會對這些領域有個模糊的瞭解，然後你就會專注於其中的一部分，接著你就會開始考慮“這兒有什麼？”和“什麼早已被其他人所考慮過了？”，最後在考慮過這些問題並閱讀了其他論文之後，你就會開始察覺出一些在你之前沒有人考慮過的東西。
問：解決問題的重點是不是和一種浪漫的觀點：“征服大山的英雄”有所相似呢？
答：以某種開玩笑的觀點來看的話，的確是這樣的。我不會說這個說法不恰當。對年輕人來說，通過創造社會認同感來誘導他們去取得一些重大成就，是一種很重要的心理學策略。一個好的問題是一個好的數學思想的可視化體現，雖然這並不能看出通向一定學術高度的具體途徑，卻能看出在你的面前佇立著一座高山。但這既不是對數學認知的方式，也不是向公眾展示數學的方式,更不是數學的精華。尤其是當一些這樣的問題被放進一個列表中，這個列表就像是一個關於世界大國的首都的列表：它只是傳達了儘可能少的信息。事實上，我並不相信希爾伯特認為這是規劃數學未來的方法。
問：您能否大膽地預測一下，在下一個世紀，什麼樣的數學方法會在數學中占主導地位？
答：這非常困難。我認為，在20世紀，數學是圍繞綱領而非問題展開的。在有些時候，這些綱領是被明確制定的，而有些時候，它們則像潮流的趨勢一樣慢慢形成，比如數理邏輯與數學基礎的發展。這明顯是一個按照之前所說的方式而進行的發展過程。很明顯，在康託（Cantor）的發現之後，我們必須非常深入地思考我們看待無窮的方式，或者用朗蘭茲（Langlands）綱領去理解伽羅瓦（Galois）群。有一個綱領能和我們一起進入下一個世紀。這個綱領可以看作是數學的量子化。當你看到過去的二十年裡有多少數學觀念以新觀念成為舊觀念的量子化版本的方式發生改變(例如量子群、量子同調論和量子計算)時，你就會發現它是驚人的。我想，這樣的改變在未來還會有很多。但這是非常奇怪的，因為實際上任何人都不會去設想出像這樣的一個東西作為一般數學發展的綱領。這僅僅是為了理解物理學家們利用他們奇妙的直覺所發明的數學工具，並且從一個純粹數學家的角度來看，他們所用的是一種富有刺激性但是比較粗心的方式。
問：從歷史學的角度來看，您對20世紀怎麼評價？這是一個重要的世紀嗎？
答：我認為20世紀是一個重要的世紀。這個世紀的數學成功地協調和統一了不同領域，而且其規模是前所未有的。在這個統一之中，扮演著重要角色的是集合論。最初，康託提出“無限理論”作為數學的新篇章，但是集合論逐漸改變了它的地位，並且發展成為了一種普遍使用的數學語言。據瞭解，從一個相當簡短的基本術語和運算規則開始，一個人可以創造出遞歸的語言結構。而這一過程顯然與微積分、概率論、數論、拓撲學、微分幾何以及其他科目的創始人創造這些科目時所經歷的是相同的。因此，整個數學界獲得了一種普遍通用的數學語言。此外，因為集合論一方面允許集合理論和數學結構有所區別，另一方面又允許它們運用靈活的語言進行表達（符號、公式和計算），所以，集合論大大地減少了每個數學家在進行數學工作時左右腦之間的切換次數。集合論語言的雙重功能成為發展新技術工具、解決舊問題和制定研究計劃的基礎。數學的多樣性首先會與諸如科學界總體的迅速發展和物理學的突破性發現之類的外部現象聯繫在一起。在我看來，在過去的一百年裡，數學領域並沒有產生任何可以與量子理論或廣義相對論相媲美的成果。但我相信，如果沒有數學語言，物理學家甚至不能說出他們所觀察到的是什麼。物理學的發現和其採用的數學思想方法之間的相互關係導致了這些發現只能用數學語言來表達，這是非常奇妙的。從這個意義上來講，20世紀勢必會被視為一個具有突破性的偉大世紀。
問：關於這個世紀的數學是否已達到最高水平，您有沒有一些看法？
答：在18和19世紀，當時的數學語言比現在我們所使用的模糊的多。我認為直到20世紀人們才開始重新構建數學語言的基礎。當這個基礎足夠清晰的時候，人們就開始廣泛探索並不斷找到強有力的技術工具，使我們能夠把幾何直覺擴展到新的領域，比如拓撲、同調代數和代數幾何。當技術的發展已經成熟，幾個非常困難的問題也都在三十年之內被解決掉了，德利涅（Deligne）證明了韋伊(Weil)猜想，法尓庭斯（Faltings）證明了莫德爾（Mordell）猜想，懷爾斯（Wiles）證明了費馬大定理（Fermat）。他們所有人的工作都不可能在上個世紀完成，因為在那時，數學還不夠發達。
問：一些數學家，一定程度上在考慮了計算機通用性的前提下，宣佈完成證明。您對此作何評論？
答：如果你拋開證明談論數學，你就是在談論一些從本質上就矛盾的東西。證明不能消亡——只有和數學在一起的時候才行。但是數學作為人類文化中被接受的一部分是可以消亡的。我認為，在我們這一代人中，數學家們仍然在堅持做我們所能理解的數學。證明是讓我們知道我們所思考的是否正確的為唯一途徑，這也是描述我們所見事物的唯一方法。證明不只是說服假想對手的論證過程，完全不是！證明是我們交流數學真理的方式。其他的一切——飛躍性的直覺，突然發現的喜悅以及沒有根據但是強烈的信念——仍然只是我們的思維。並且，當我們進行一些計算機計算的時候，我們只是驗證了在我們檢查過的情況下，實際情況和我們的猜想一樣。
問：最近報紙上有一則消息說，計算機通過搜索所有可能的辦法證明了賀伯特·羅賓（Herbert Robbins）的一個猜想。
答：這當然是可能的。為什麼不可能呢？如果你發明了一個好的證明方法，其中包括廣泛的搜索或長時間的計算，然後你編寫了一個能實現這個證明策略的程序，這無疑是可行的。但是無論計算機是否輔助證明都各有利弊。一個好的證明是一個能讓我們更加聰明的證明。如果證明的核心是大量的搜索和一連串的恆等式，這也許不是一個好的證明。如果一些東西是如此簡單以至於在計算機屏幕上顯示出結果就足夠了，那麼，它可能是不值得做的事情。智慧存在於萬事萬物的聯繫之中。如果我需要手工計算出圓周率 π 的前二十位數字，我在完成後肯定會變得更加聰明。因為我知道，如果我用已知的關於的計算公式去計算的前二十位數字，那肯定會花費我相當多的時間。所以我會設計出一些能減少我工作量的算法。但是當我在電腦中用其他人的程序庫中的程序得到的前兩百萬位數字的時候，我還是和以前一樣，在智力上並沒有任何提高。
問：如果您有一個漂亮的定理和一個同樣漂亮但需要計算一千次的證明，您會介意把這個工作交給計算機嗎？這是一個真正意義上的證明嗎？
答：這將會像我在紙上所完成的證明一樣是一個真正意義上的證明。用計算機證明的過程中，在程序設計中可能會出現錯誤，在執行計算的過程中可能會出現錯誤，並且最後在理解如何給所有情況進行分類時也可能會發生錯誤。我們有一些需要使用計算機來證明的例子，例如四色問題和有限單群的分類。所以，在證明時仍心存疑惑和需要重新檢查計算。但是證明中最重要的是，設想出以新角度看待問題的方法。
問：請允許我問您一個有關數學本質的問題。近幾年來，數學界似乎在強調應用，您認為純數學領域在與應用數學比較時是否會產生問題？您有沒有覺得，未來經費只會傾向於應用數學？
答：應用數學確實比純數學得到的經費多。但是我認為在分配有限的資源方面，這並不是經費的問題(因為純數學不需要也不會消耗太多經費)，而是公眾注意力和公眾價值觀的問題。我看到我們的社會越來越脫離傳統的啟蒙價值觀。公眾也不願意在數學上有所花費。這可能是由大學教育造成的。如果數學成為了一個犧牲品，那麼產生這個犧牲品的原因將是公眾價值觀變化的整體趨勢，而不是因為經費都流向了應用。但是我確實認為，從分配給應用的數量資源和這種職業對年輕人的吸引力這兩方面來看，經費將會繼續嚮應用轉移。應用數學和計算機模擬（大型計算機和數據庫程序之類的東西）是有關係的。我曾經把高德納（Donald Knuth）的一篇報告翻譯成俄語。在烏茲別克斯坦有一個關於花拉子米（Al'khorezmi）的專門會議。高德納從一個有趣的陳述開始了他的報告。在他看來，計算機對於數學界最主要的貢獻在於，計算機使得那些對數學感興趣，並且有幾分算法思維的人最終走上了數學的道路。現在他們可以去做他們想要做的了。在此之前這種次文化是不存在的。我非常認真的對待這個觀點，並且我相信，在未來潛在的數學家群體中會存在一個編寫計算機程序的思想比證明定理的思想更優秀的群體。如果在上個世紀，他們可能已經完成了對定理的證明，但在這個世紀他們沒有。我非常懷疑，如果在現代，歐拉（Euler）可能會把更多的時間花費在軟件上，例如他已經在計算月球位置表的工作中花費了大量的時間。並且我相信高斯（Gauss）也會花更多的時間坐在計算機屏幕前。
問：讓我們回到應用數學的問題上。在很多時候，一個研究成果往往是由於數學因素而取得成功，但是計算機科學卻獲得了更多的榮譽，這種情況是真實存在的嗎？一個典型的例子是計算機斷層掃描。在和我談過話的人中，從來沒有人聽說過拉東（Radon）變換，可這是計算機斷層掃描的核心，甚至受過教育的人都認為這是計算機科學家的工作。
答：這個問題的關鍵就在於，試圖通過證明自己是有用的來為自己的擔憂辯解的做法是人類天生的弱點。“有用”是一個工程師的詞。無論你理解量子力學或芯片或其他什麼，這都只是對於紙上公式的理解，是沒有實用性的。但是如果它在實際情況中被使用或者變得工程化了，這就是有用的。
問：數學家是否應當更加積極主動？他們是否應該主動面向外界宣稱“我們在這兒。”？我們是否是因為不贊同這種做法以至於不宣傳我們的成就呢？
答：我完全贊同這類“不情願”。我是一個相當孤僻的人，並且我討厭把我的觀點強加到公眾身上。假設我們正在創造某種文化價值，儘管在推廣文化的過程中存在普遍問題，但是我認為所有好的事物終將會出現，這取決於公眾買不買賬。當然，我們之中的一些人可能會試圖證明他們是重要的，但是我認為這非常困難。倫勃朗（Rembrandt）[2]怎麼能反對他作為一個窮人而悲慘的死去的事實呢？他怎麼能爭辯呢？我確實不太瞭解數學到底是什麼。但文化與此相同，因為以同樣的方式，我們並不知道倫勃朗的畫的是什麼，為什麼他描繪的是人物？為什麼是一個老人和背景？這為什麼很重要呢？我們並不知道。這是文化的問題：你不能問“為什麼”。
問：您認為數學在文化中扮演著一個什麼樣的角色？
答：我認為，所有人類文化的基礎是語言，而數學是一種特殊的語言活動。數學語言是一種極其靈活的工具，被用以溝通生存的基本要素，表達情感、執行意志、創造詩歌與宗教的虛擬世界、誘惑和定罪。然而，自然語言不是很適合獲取、組織和保持我們對大自然日益增長的理解，這是現代文明最具有特色的特徵。亞里士多德（Aristotle）可以說是最後一個將語言的能力擴展到極限的人。隨著伽利略（Galileo）、開普勒（Kepler）和牛頓（Newton）等人的研究，自然語言在科學研究中被降級成了一個高級傳遞者的角色，用於天文表編碼，化學公式，量子場理論方程，人類基因組數據庫以及在我們的大腦之間相互傳遞信息。使用自然語言學習和教授科學，我們帶著我們的價值觀和偏見，詩歌意向，對力量的熱情和說謊的技巧。但是這些東西都不是科學論述中的必要的內容。而任何科學論述中必要的內容，都是通過數學或是一個由或多或少的結構化數據組成的長列表來執行的。正因為如此，我相信數學是文化中最了不起的成就之一，並且我以一個教師和研究者的身份專注於數學，在每一天的工作結束之後，我依然會對數學感到敬畏和欽佩。然而，我並不認為我能夠在當代關於科學和人類價值的公開辯論中，有力地捍衛這一信念。
問：為什麼您這麼悲觀？
答：我將通過提醒在當前的用法中，“文化”成為了一個深刻的自我參照詞，來解釋我的悲觀主義。也就是說，人們想當然的認為文化的任何定義都是通過它們原有的文化背景確定的。哪怕後者也不明確。這意味著，沒有客觀的記述和對文化的評估來定義文化也是可能的。此外，任何有關權威的文化聲明都會改變文化的公眾形象，從而改變文化本身。最重要的是，現代文化的話語在很大程度上屬於政治話語。當四十年前查爾斯·珀西·斯諾（C. P. Snow）開始關於兩種文化討論的時候，我們對這一切都不太瞭解。基本上，斯諾擔心的是，在他周圍，科學知識沒有被看作是有教養的人所受的教育的有機組成部分這一事實，這與希臘人和莎士比亞（Shakespeare）正相反。此外，一個人可以公開的甚至是自誇的承認他或她對於物理學基本定律的無知，而不損害他或她作為一個有教養的人的形象。斯諾認為這是由於公眾對文化實際內容的扭曲看法所造成的。並且他希望公眾辯論和教育改革能夠幫助文化恢復平衡。
斯諾的《兩種文化》之中譯本
問：這兩種文化的命題是否仍然相關？
答：他對我們的觀察的相關性取決於我們認同他的理想化文化的能力，這種文化包括荷馬（Homer）和巴赫（Bach），伽利略（Galileo）和莎士比亞，托爾斯泰（Tolstoy）和愛因斯坦（Einstein）。恐怕這種能力在很大程度上喪失了。事實上，流行的多元文化思想塑造了許多同樣健全的文化形象。以歐洲為起點培育出的深遠的文化之所以能與其他文化地區相提並論，是因為像文化帝國主義和歐洲中心主義這樣有著輕蔑的含義的名聲在慢慢減少。環保主義者將科學和技術歸咎於我們對它們的破壞性使用，從而進一步削弱了它們的文化吸引力。具有諷刺意味的是，科學家們為了證明自己的工作而使用同樣的論點，現在轉而反對他們。解構主義者和論述的後現代化趨勢懷疑認可科學真理的基本標準，這些真理可以追溯到伽利略和培根時期。它們試圖用極其隨意的知識建構來替代這些基本標準。以這種方式，許多有影響力的思想家不只是忽視，而是積極地摒棄當代文化中對應的科學部分。我可能像我所做的一樣認為這種情況令人遺憾，但在可預見的將來，我實在無法指望這種情況會得到改善。
問：讓我們把話題轉回到數學的未來，您個人是否有一個理論：“如果我活的足夠長，我就會親眼見證我所想看到的事物？”
答：我想親眼見證的事物大多是由以下原因所產生的：在我的科學生涯中，我多次改變了我的課題，並且這不是因為我發現了更有趣的事情，而事實上我覺得一切都很有意思。但是我不可能在同一時間把每一件事情都完成，所以第二個最佳策略是轉而掌握幾個領域。我最感興趣的兩件事，一件是研究數論，另外一件是研究物理學。理解數論中的問題有助於我理解物理學中的問題，反之亦然。在我的心中，文藝復興時期的一個詞語“varietà”具有至高無上的地位，而這個詞的大意是豐富多彩的生活和世界，與各種經驗和思想相匹配，由我們努力仿效的偉大思想所實現。
譯者簡介：
崔繼峰，陝西省榆林市人，2015年博士畢業於上海交通大學，現任教於內蒙古工業大學理學院數學系，美國工業和應用數學學會（SIAM）會員，中國數學學會會員，中國工業與應用數學學會會員，碩士生導師。研究方向：應用數學、非線性力學和非線性動力系統。
楊城毅，1998年11月出生於江西宜春，吉林大學數學學院統計專業2016級本科生。
[1]1998年在德國柏林舉行的第23屆國際數學家大會。
[2]倫勃朗·哈爾曼松·凡·萊因（Rembrandt Harmenszoon van Rijn，1606-1669）是歐洲17世紀最偉大的畫家之一，也是荷蘭歷史上最偉大的畫家。畫作體裁廣泛，擅長肖像畫、風景畫、風俗畫、宗教畫、歷史畫等領域。中年遭遇不幸，晚年生活悲慘。
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