在前面我們介紹過了很多的監督學習算法，分類和迴歸。這篇文章主要介紹無監督算法，通過聚類分析來處理無類標數據。我們事先並不知道數據的正確結果(類標)，通過聚類算法來發現和挖掘數據本身的結構信息，對數據進行分簇(分類)。聚類算法的目標是，簇內相似度高，簇間相似度低。有點像LDA降維算法，類內方差最小，類間方差最大。這篇文章主要包括：

1、K-Means算法

2、K-Means++

3、硬聚類和軟聚類

4、聚類算法的性能評價指標

一、K-Means算法

在聚類算法中K-Means算法是一種最流行的、使用最廣泛的一種聚類算法，因為它的易於實現且計算效率也高。聚類算法的應用領域也是非常廣泛的，包括不同類型的文檔分類、音樂、電影、基於用戶購買行為的分類、基於用戶興趣愛好來構建推薦系統等。

K-Means算法的實現步驟，主要分為四個步驟：

1、從樣本集合中隨機抽取k個樣本點作為初始簇的中心。

2、將每個樣本點劃分到距離它最近的中心點所代表的簇中。

3、用各個簇中所有樣本點的中心點代表簇的中心點。

4、重複2和3，直到簇的中心點不變或達到設定的迭代次數或達到設定的容錯範圍。

常用的距離度量標準是歐幾里得距離的平方：

其中x和y表示不同的兩個樣本，n表示樣本的維度(特徵的數量)。基於歐幾里得距離，K-Means算法需要優化的問題就是，使得簇內誤差平方和(within-cluster sum of squared errors,SSE)最小，也叫簇慣性(cluster intertia)。

下面利用sklearn來實現一個k-means算法的應用，使用sklearn的數據集，數據集中包含150個隨機生成的點，樣本點分為三個不同的簇

150個樣本點的分佈如上圖所示。下面使用sklearn內置的KMeans算法來實現對上面樣本點的聚類分析

二、K-Means++

K-Means算法需要隨機選擇初始化的中心點，如果中心點選擇不合適，可能會導致簇的效果不好或產生收斂速度慢等問題。解決這個問題一個比較合適的方法就是，在數據集上多次運行K-Means算法，根據簇內誤差平方和(SSE)來選擇性能最好的模型。除此之外，還可以通過K-Means++算法，讓初始的中心點彼此的距離儘可能的遠，相比K-Means算法，它能夠產生更好的模型。

K-Means++有下面幾個步驟組成：

1、初始化一個空的集合M，用於存儲選定的k箇中心點

2、從輸入的樣本中隨機選擇第一個中心點μ，並將其加入到集合M中

3、對於集合M之外的任意樣本點x，通過計算找到與其距離最小的樣本d(x,M)

4、使用加權概率分佈來隨機來隨機選擇下一個中心點μ

5、重複步驟2和3，直到選定k箇中心點

6、基於選定的中心點執行k-means算法

使用sklearn來實現K-Means++，只需要將init參數設置為"k-means++"，默認設置是"k-means++"。下面利用k-means++算法來實現上面三個簇的聚類

通過上面圖可以發現k-means++的聚類效果還不錯，簇的中心點，基本位於球心。在實際情況中使用k-means++算法可能會遇到，由於樣本的維度太高無法可視化，從而無法設定樣本的簇數。k-means算法的簇不可重疊，也不可分層，並且假定每個簇至少會出現一個樣本。

注意：由於k-means算法是基於歐式距離來計算的，所以k-means算法對於數據的範圍比較敏感，所以在使用k-means算法之前，需要先對數據進行標準化，保證k-means算法不受特徵量綱的影響。

三、硬聚類和軟聚類

硬聚類(hard clustering)是指數據集中的樣本只能劃分到一個簇中，如k-means算法。軟聚類(soft clustering)或模糊聚類(fuzzy clustering)可以將一個樣本劃分到多個不同的簇中，如C-means(FCM)算法。

FCM的計算步驟與k-means相似，只是FCM是使用樣本屬於不同簇的概率來代替k-means中的類標。樣本屬於不同簇的概率之和為1。

FCM的計算步驟如下：

1、指定k箇中心點，並隨機將每個樣本點劃分到某個簇中

2、計算各簇的中心μ

3、更新每個樣本點所屬簇的概率(隸屬度)

4、重複步驟2和3直至，樣本點所屬簇的概率不變或是達到容錯範圍或最大迭代次數

隸屬度的計算公式如下：

其中，ω表示的就是樣本所屬簇的概率，上式表示的簇的個數為3。樣本屬於簇j的概率。m大於1，一般取2，被稱為模糊係數。

FCM算法的單次迭代計算成本要高於k-means算法，但FCM的收斂速度比較快。

四、聚類算法的性能指標

1、簇內誤方差(SSE)

在對簇的劃分中，我們就使用了SSE作為目標函數來劃分簇。當KMeans算法訓練完成後，我們可以通過使用inertia屬性來獲取簇內的誤方差，不需要再次進行計算。

可以使用圖形工具肘方法，根據簇的數量來可視化簇內誤方差。通過圖形可以直觀的觀察到k對於簇內誤方差的影響。

通過上圖可以發現，當簇數量為3的時候出現了肘型，這說明k取3是一個不錯的選擇。

2、輪廓圖定量分析聚類質量

輪廓分析(silhouette analysis)，使用圖形工具來度量簇中樣本的聚集程度，除k-means之外也適用於其他的聚類算法。通過三個步驟可以計算出當個樣本的輪廓係數(silhouette coefficient)：

1、將樣本x與簇內的其他點之間的平均距離作為簇內的內聚度a

2、將樣本x與最近簇中所有點之間的平均距離看作是與最近簇的分離度b

3、將簇的分離度與簇內聚度之差除以二者中比較大的數得到輪廓係數，計算公式如下

輪廓係數的取值在-1到1之間。當簇內聚度與分度離相等時，輪廓係數為0。當b>>a時，輪廓係數近似取到1，此時模型的性能最佳。

通過輪廓圖，我們能夠看出樣本的簇數以及判斷樣本中是否包含異常值。為了評價聚類模型的性能，可以通過評價輪廓係數，也就是圖中的紅色虛線進行評價。