在前面我们介绍过了很多的监督学习算法，分类和回归。这篇文章主要介绍无监督算法，通过聚类分析来处理无类标数据。我们事先并不知道数据的正确结果(类标)，通过聚类算法来发现和挖掘数据本身的结构信息，对数据进行分簇(分类)。聚类算法的目标是，簇内相似度高，簇间相似度低。有点像LDA降维算法，类内方差最小，类间方差最大。这篇文章主要包括：

1、K-Means算法

2、K-Means++

3、硬聚类和软聚类

4、聚类算法的性能评价指标

一、K-Means算法

在聚类算法中K-Means算法是一种最流行的、使用最广泛的一种聚类算法，因为它的易于实现且计算效率也高。聚类算法的应用领域也是非常广泛的，包括不同类型的文档分类、音乐、电影、基于用户购买行为的分类、基于用户兴趣爱好来构建推荐系统等。

K-Means算法的实现步骤，主要分为四个步骤：

1、从样本集合中随机抽取k个样本点作为初始簇的中心。

2、将每个样本点划分到距离它最近的中心点所代表的簇中。

3、用各个簇中所有样本点的中心点代表簇的中心点。

4、重复2和3，直到簇的中心点不变或达到设定的迭代次数或达到设定的容错范围。

常用的距离度量标准是欧几里得距离的平方：

其中x和y表示不同的两个样本，n表示样本的维度(特征的数量)。基于欧几里得距离，K-Means算法需要优化的问题就是，使得簇内误差平方和(within-cluster sum of squared errors,SSE)最小，也叫簇惯性(cluster intertia)。

下面利用sklearn来实现一个k-means算法的应用，使用sklearn的数据集，数据集中包含150个随机生成的点，样本点分为三个不同的簇

150个样本点的分布如上图所示。下面使用sklearn内置的KMeans算法来实现对上面样本点的聚类分析

二、K-Means++

K-Means算法需要随机选择初始化的中心点，如果中心点选择不合适，可能会导致簇的效果不好或产生收敛速度慢等问题。解决这个问题一个比较合适的方法就是，在数据集上多次运行K-Means算法，根据簇内误差平方和(SSE)来选择性能最好的模型。除此之外，还可以通过K-Means++算法，让初始的中心点彼此的距离尽可能的远，相比K-Means算法，它能够产生更好的模型。

K-Means++有下面几个步骤组成：

1、初始化一个空的集合M，用于存储选定的k个中心点

2、从输入的样本中随机选择第一个中心点μ，并将其加入到集合M中

3、对于集合M之外的任意样本点x，通过计算找到与其距离最小的样本d(x,M)

4、使用加权概率分布来随机来随机选择下一个中心点μ

5、重复步骤2和3，直到选定k个中心点

6、基于选定的中心点执行k-means算法

使用sklearn来实现K-Means++，只需要将init参数设置为"k-means++"，默认设置是"k-means++"。下面利用k-means++算法来实现上面三个簇的聚类

通过上面图可以发现k-means++的聚类效果还不错，簇的中心点，基本位于球心。在实际情况中使用k-means++算法可能会遇到，由于样本的维度太高无法可视化，从而无法设定样本的簇数。k-means算法的簇不可重叠，也不可分层，并且假定每个簇至少会出现一个样本。

注意：由于k-means算法是基于欧式距离来计算的，所以k-means算法对于数据的范围比较敏感，所以在使用k-means算法之前，需要先对数据进行标准化，保证k-means算法不受特征量纲的影响。

三、硬聚类和软聚类

硬聚类(hard clustering)是指数据集中的样本只能划分到一个簇中，如k-means算法。软聚类(soft clustering)或模糊聚类(fuzzy clustering)可以将一个样本划分到多个不同的簇中，如C-means(FCM)算法。

FCM的计算步骤与k-means相似，只是FCM是使用样本属于不同簇的概率来代替k-means中的类标。样本属于不同簇的概率之和为1。

FCM的计算步骤如下：

1、指定k个中心点，并随机将每个样本点划分到某个簇中

2、计算各簇的中心μ

3、更新每个样本点所属簇的概率(隶属度)

4、重复步骤2和3直至，样本点所属簇的概率不变或是达到容错范围或最大迭代次数

隶属度的计算公式如下：

其中，ω表示的就是样本所属簇的概率，上式表示的簇的个数为3。样本属于簇j的概率。m大于1，一般取2，被称为模糊系数。

FCM算法的单次迭代计算成本要高于k-means算法，但FCM的收敛速度比较快。

四、聚类算法的性能指标

1、簇内误方差(SSE)

在对簇的划分中，我们就使用了SSE作为目标函数来划分簇。当KMeans算法训练完成后，我们可以通过使用inertia属性来获取簇内的误方差，不需要再次进行计算。

可以使用图形工具肘方法，根据簇的数量来可视化簇内误方差。通过图形可以直观的观察到k对于簇内误方差的影响。

通过上图可以发现，当簇数量为3的时候出现了肘型，这说明k取3是一个不错的选择。

2、轮廓图定量分析聚类质量

轮廓分析(silhouette analysis)，使用图形工具来度量簇中样本的聚集程度，除k-means之外也适用于其他的聚类算法。通过三个步骤可以计算出当个样本的轮廓系数(silhouette coefficient)：

1、将样本x与簇内的其他点之间的平均距离作为簇内的内聚度a

2、将样本x与最近簇中所有点之间的平均距离看作是与最近簇的分离度b

3、将簇的分离度与簇内聚度之差除以二者中比较大的数得到轮廓系数，计算公式如下

轮廓系数的取值在-1到1之间。当簇内聚度与分度离相等时，轮廓系数为0。当b>>a时，轮廓系数近似取到1，此时模型的性能最佳。

通过轮廓图，我们能够看出样本的簇数以及判断样本中是否包含异常值。为了评价聚类模型的性能，可以通过评价轮廓系数，也就是图中的红色虚线进行评价。