數學家的想象力是驚人的，他們能把貌似完全沒有關係的概念連接到一起，而且這樣的連接還是有邏輯，有嚴格證明的，而不是憑空瞎想。黎曼猜想就是這樣連接的典範。
大家好！偉崗今天跟大家聊聊黎曼猜想裡面的一些數學知識，從根本上講這些知識都非常深奧，要真正搞懂它們非常難。但是我們這些只有高中水平的人還是可以憑想象理解數學家的一部分工作，至少理解數學家的邏輯在哪裡。
記住這一點，任何深奧的數學知識都不是憑空得來的，它們都是以我們高中所學的數學知識為基礎推導出來，理解它們是完全可能的，即使不能完全理解，瞭解其中一個部分也可以得到一些思考的內容和樂趣。
偉崗還是要強調，數學不是變魔術，它的所有內容都有前因後果，因此是所有人都是可以理解的。造成目前大家對現代數學的神秘感，主要是數學家挖掘的東西太多，每個人都必須花很多時間和腦力才能跟上數學家的步伐。我們並不奢望跟數學家比肩，但是我們應該儘量去學習理解現代數學知識。畢竟數學是科學的皇后，多思考數學對一個人的思維和人生都有正面地影響。
文章開頭還是要感謝朋友同學的鼓勵打賞，多謝了！
黎曼猜想可能於2018年9月24號就要揭曉被證明了，不過偉崗有些懷疑。雖然從主流上講，大家都傾向於黎曼猜想是成立的，而且很多數學家都期待黎曼猜想被證明。因為如果黎曼猜想成立，據說有成千上萬的定理都可以證明是成立的，這一下很多人就會成名了。目前的結果證明了偉崗的懷疑，黎曼猜想仍然是一個數學上的難題。
不過還是有極少數數學家懷疑黎曼猜想的正確性。當然數學家的懷疑可不是憑空，根據是有的，所以叫合理懷疑（英語叫reasonable doubts）。最有力的根據就是由黎曼猜想導出來的素數分佈公式在某些點會崩潰。這是什麼意思呢？讓偉崗從頭說起。
我們前面一篇聊過，數學家定義了一個衡量素數個數的函數叫π（x）。注意這個函數的x只取正整數值，也就是說x只能是自然數，也就是1,2,3,4，……。π（x）這個函數是小於x的所有素數的個數。
首先我們掃掃盲，講一下什麼是素數。素數就是隻被自己和1整除的數。也就是說，一個數如果不能分解成兩個或者更多數的乘積，那麼它就是素數。比如說3,5,7等，7就不能分解成任何數的乘積。而6就不是素數，因為6=2X3（2乘以3）。數學家定義1不是素數，這是約定的，沒有什麼道理好講。
知道了什麼是素數，那麼π（x）就比較好理解了，這個函數的值取決於x的大小，注意x只能是自然數。比如我們讓x等於10，那麼比10小的素數就有，2,3,5,7。而1,4,6,8,9不是素數，我們要把它們剔除。所以小於10的素數有4個（2,3,5,7），那麼π（x）的值就等於4。我們以此類推。
數學家很想找到π（x）的計算公式，可惜目前看是不可能的。所以我們在前篇文章中講過，數學家只能退而求其次，估算π（x）的值。數學家做任何事情都不是盲目的，而是有套路的，估算π（x）當然不例外。數學家的估算是指當π（x）值越來越大時，這個數值會跟某個可以計算的公式值接近。
這樣做是有道理的，因為我們知道素數有無窮多個（這個歐幾里得已經證明），所以當x取值越來越大時，比x小的素數肯定會越來越多，這樣π（x）的值就會越來越大。我們如果知道π（x）會慢慢接近某個公式的計算值，事實上我們就幾乎等於找到了π（x）的計算公式。雖然這個計算有一定的誤差，但誤差會慢慢減小，我們離正確值就越來越近。
我們前面一篇聊過，高斯第一個發現了一個較好的π（x）的趨向公式，見下圖。
更好的一個π（x）的接近公式是Li(x)。Li(x)的計算公式如下。
我們不去管Li(x)怎麼具體計算，但是數學家是可以計算出來的，記住這一點就夠了。如果黎曼猜想成立，那麼π（x）的值我們可以有更好的限制公式。這時極少數學家的合理懷疑就產生了，因為這樣的限制公式在x取非常大的值時，會偶爾有一兩個出現完全不成立的情況，也就是說限制公式崩潰了。這是什麼意思呢？
具體來講，黎曼猜想如果成立，那麼非常可能π（x）趨向於Li(x)，並且π（x）< Li(x)。不過數學家發現，有一些非常大的數，會造成π（x）> Li(x)，這些數被稱為斯庫維數（英語叫Skewes number），這是為了紀念斯庫維(Skewes)第一個找了一個這樣的數。它非常大，見下圖。
這個數已經大到超過任何人的想象。後來數學家又找到了一個小一點的斯庫維數（當然也非常大），見下圖。
這些數的存在當然不能說黎曼猜想就不成立了，不過也給了數學家一點遐想的空間，畢竟這些數破壞了π（x）的和諧。
從數學家的觀點看，如果黎曼猜想成立，那麼π（x）值的分佈將會更加隨機，更加符合統計規律，用通俗語言講就是會分佈得越來越亂。大家不要以為數的分佈越亂，數學家越沒有頭緒，其實數學家最怕的是突變多，有規律有公式當然最好，如果沒有規律，倒是越亂越好，因為數學家手裡還有概率論這個工具。統計規律研究也是數學家深入研究的範疇。越亂，數學家反倒手上的工具越多，得到的結果和推斷會越來越接近未來或未知的事實。倒是突發的數或事件，數學家完全沒有辦法對付。或者說很難應付。
由於有了斯庫維數的存在，π（x）值的分佈就有了突變，如果突變多了，黎曼猜想不成立的可能性就大了，這是極少數數學家的觀點，算非主流吧。
所以從上面這些話題看，黎曼猜想蘊含的數學知識比我們想象的要深奧的多。它跟素數的分佈掛上了溝。這有點不可思議，因為黎曼猜想似乎只跟黎曼zeta函數有關，怎麼會跟素數聯繫在一起呢？這個真的需要非凡的想象。
另一個勉強說得過去對黎曼猜想正確性的懷疑來自黎曼猜想中黎曼zeta函數中零點的計算，簡稱黎曼零點計算。
我們從黎曼zeta函數計算看，它非常不容易。因為它是無窮級數的計算。我們前面說了，歐拉是我們第一個要感謝的人，因為他計算出了平方倒數和的無窮級數。這個問題也是數學史上非常有名的問題，叫巴塞爾問題（英語叫Basel Problem），這個問題也困擾了數學家差不多一百年，可見它的難度。
光一個歐拉計算出來的無窮級數和是遠遠不夠的，要找到黎曼零點，還有許多工作要做。第一個突破的是丹麥數學家格拉姆（Gram），他計算出來了15個黎曼零點，不過這時已經是黎曼猜想面世的44年後了。
黎曼猜想是說黎曼零點的實部都等於1/2（二分之一），也就是說，黎曼零點（這裡零點一般是指黎曼zeta函數指數值使得黎曼zeta函數最終計算結果為零，一般用希臘字母ρ表示zeta函數的指數值）都是形如：1/2+i*t這樣的複數。這裡i等於根號負一，而t是任意實數。也就是說ρ=1/2+（某個實數乘以i）。舉個格拉姆找到的具體例子，ρ=1/2+14.1347251*i。
從這個例子就可以看出來，黎曼零點非常難求。就是普通的運算求到這個ρ值都非常難，而這個ρ值還在數的指數上，而且還是一個無窮級數的指數上，難度之大可想而知。
事實上，黎曼零點如此的難求，格拉姆首先是先假設ρ的實部為1/2。也就是說格拉姆是先假設黎曼猜想成立，然後再去計算ρ的值，也就是黎曼零點。
即使先假定了黎曼猜想成立，黎曼零點的計算還是非常的難。這也許是數學家花了44年才找到零點的原因。具體的計算過程有很多數學上的技巧和不斷嘗試。
粗略的講，數學家找到了逼近黎曼zeta函數值的方法，也就是說如果給出一個ρ值，數學家通過積分和不斷逼近的方法，可以計算出黎曼zeta函數的值。通過計算一些zeta函數的值，數學家可以找到黎曼零點大概在什麼範圍，而且數學家能不斷縮小這個範圍。也就是說數學家通過大量的運算可以找到一些潛在的黎曼零點。而且這些潛在的零點會原來越精確。舉例說明的話，數學家先確定1/2+14.1*i和1/2+14.2*i之間有一個零點，先實驗，比如1/2+14.13*i是不是黎曼零點，經驗證不是，就再縮小範圍，確定1/2+14.13*i到1/2+14.14*i之間肯定有一個零點，再去試算。這樣一步一步下去，最終找到一個真正的零點。
而其中，對格拉姆來講，ρ的實部等於1/2至關重要，他的一切運算都是基於這個。可以說沒有這個假設，格拉姆的運算就不可能進行下去，這就給了合理懷疑派數學家一個小小的理由懷疑黎曼猜想成立的可能性。因為你的計算是基於黎曼猜想成立而去找黎曼零點的，這不是有循環論證的嫌疑？
當然格拉姆也沒有錯，因為很有可能ρ的實部如果不等於1/2，就根本沒有黎曼零點。換句話說，如果找到了ρ的實部值不等於1/2的黎曼零點，那黎曼猜想不是被推翻了？這可不是那麼容易的。
所以簡單地講（當然不嚴密），從格拉姆這裡，我們還不能就此判斷黎曼猜想成立的可能性非常大。不過後來，數學家有了很多改進算法。事實上，德國數學家西格爾從黎曼的一些手稿中找到了一些改進算法，從而使找到黎曼零點更加容易。也就是說，其實黎曼自己也在找黎曼零點上花了很多功夫，也有很多成果，並找到了一些正確的黎曼零點值。只可惜黎曼過早離世，人在世時又非常低調，所以人類要等那麼多年才能真正看到實在的黎曼零點。
後來數學家計算出很多黎曼零點，據文獻說已經計算出10的13次方個黎曼零點值（也就是萬億個黎曼零點值）。當然這些零點值都是滿足黎曼猜想的（如果有一個不滿足，黎曼猜想就被否定了）。是不是專門計算的滿足黎曼猜想的黎曼零點值，這一點偉崗還需要深入地研究才能確定。不過據文獻說，目前有數學家證明，至少30%的黎曼零點值滿足黎曼猜想，這也是非常了不起的工作。等到證明100%的黎曼零點滿足黎曼猜想，那黎曼猜想就被證明了，但願明天有這樣的好結果。
今天的篇幅有點太長了，雖然黎曼猜想還有很多深奧的數學知識，這些留在下一篇偉崗再跟大家聊吧！
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