-01-拉馬努金恆等式

2016年4月8日在英國上映了一部名叫《知無涯者》的電影。電影講述了印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金（1887.12.22~1920.4.26），

短暫而傳奇的一生。拉馬努金出生貧寒，沒有受過專門的數學訓練，但天資聰穎，完全靠自學。直到1913年，得到英國數學家哈代的賞識，他的數學才華大放異彩。但他不同於傳統意義上數學家，他的成果往往是憑直覺得到，只有結論，而沒有證明。他短暫的一生髮現了3900條數學公式和命題，許多結果完全是新穎的、原始的和非傳統的，但被後續證明他的結論都是正確的。

本文要介紹的這個恆等式，就是拉馬努金流傳最廣的成果之一。先看這個恆等式的一邊：

我相信大多數人能按照這個式子的規律接著寫下去，但會發現這是無窮盡的，並且很好奇這個式子的結果到底是多少？

拉馬努金說，這個式子的結果等於3。

他對形如上式的無窮二次根式，進行深入研究得到這個結果，並且將此發表在《印度數學會刊》上徵集證明，數月內無人能應。

-02-拉馬努金恆等式的數學邏輯

下面我們以今天中學生的認知來看其中的數學邏輯：

3=√9。。。。。一層根號

=√1+8

=√1+2x4

=√1+2√16。。。。二層根號

=√1+2√1+15

=√1+2√1+3x5

=√1+2√1+3√25。。三層根號

=√1+2√1+3√1+24

=√1+2√1+3√1+4x6

=√1+2√1+3√1+4√36。四層根號

。。。。。。

由此不難發現：將3拆分後，含n層根號時，3=

√1+2√1+。。。n√（n+2）²

。。。n層根號

驗證一下，n=10時（由外向內數，含10層根號），壯觀景象：

第10層根號裡的數：

12²=144；

第9層根號裡的數：

11²=121；

第8層根號裡的數：

10

²=100；

。。。

第3層根號裡的數：

5²=25；

第2層根號裡的數：

4²=144；

第1層根號裡的數：

3²=9；

√9=3

理所當然是個恆等式。

-03-拉馬努金恆等式的數學證明

問題來了，正整數3可以象這樣用二次根式進行無窮拆分，那麼其他正整數呢？他是怎麼想到了呢？

平方差公式是初中代數中的最基本的公式之一：

a²-1=(a-1)(a+1)；

變形得

a²=1+(a-1)(a+1)；

即

a=√1+(a-1)(a+1)。

建立一個關於a的函數：

F（a）=a=√1+(a-1)(a+1)，則

F（a+1）=a+1

=√1+(a+1-1)(a+1+1)

=√1+a(a+2)

=√1+aF(a+2)，

F（a+2）=a+2

=√1+(a+2-1)(a+2+1)

=√1+(a+1)(a+3)

=√1+(a+1)F(a+3),

F（a+3）=a+3

=√1+(a+3-1)(a+3+1)

=√1+(a+2)(a+4)

=√1+(a+2)F(a+4)，

...

F（a+n）=a+n

=√1+(a+n-1)(a+n+1)

=√1+(a+n-1)F(a+n+1)，

...

通過層層嵌套，得到

F(a)=√1+(a-1)F(a+1)

=√1+(a-1)√1+aF(a+2)

=√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)F(a+3)

...

=√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)√1+(a+2)√1+。。。

即

其中，a為正整數。

當a=2時，得到

當a=3時，得到

當a=4時，得到

由此，可以把任意一個正整數，用二次根式有規律地無窮展開。

所以拉馬努金恆等式，更一般的形式是：

-04-結語

利用平方差公式和函數嵌套（複合函數）的思想，可以來說明他的正確性。雖然初中不提函數嵌套（複合函數）這種說法，但“整體思想”已經具備其雛形，所以上述證明過程，數學程度稍好的同學也可以看懂。

拉馬努金沒有受過正規的高等數學教育，但他靠自學沉湎於數論，尤其鍾愛涉及π、質數等數學常數的求和公式和整數分拆。特別是他對數的直覺（數感）常常令人稱奇，以至於亦師亦友的哈代感嘆說：“我們學習數學，拉馬努金則發現並創造了數學。”