（一）古代几何作图三大难题

在公元前6世纪至公元前4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何作图三大难题。

1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分

2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方形的体积是已知正方体体积的二倍。

3.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。

（二）解析几何的出现

解析几何的出现，使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此，尺规作图三大难题的解决，同解代数方程联系起来，由于无论是二次方程、三次方程、还是四次方程，都能通过根式求他的一段一般解，于是很多数学家争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历16世纪的后半页、17世纪、18世纪、直到19世纪初，很多数学家和数学爱好者都把它作为检验自己才能的试金石，可是毫无例外，他们都失败了。

（三）阿贝尔

1824年，挪威22岁的数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829），利用置换群的理论证明了一般五次以上的代数方程的根式解法是不存在的。阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解，另一方面也举例证明，有的方程能用根式解。于是，能用根式解或者不能用根式解的方程到底用什么来判断呢？阿贝尔还没来得及回答就匆匆过世了。

（四）伽罗瓦

在阿贝尔去世后的第二年，法国数学家伽罗瓦（Galois，1811-1832）完成了这一项艰巨的工作。并在阿贝尔研究的基础上进一步发展了他的思想，把全部问题转换或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是，每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为该方程的伽罗瓦域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为该方程的伽罗瓦群，伽罗瓦域的子域和伽罗瓦群的子群有一一对应关系，当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群时，该方程是根式可解的。作为这个理论的推论，可以做得出用圆规、直尺（无刻度的尺）、三角分任意角和作倍立方体不可能等结论。