20世紀數學的主要領域之一是拓撲學，法國大數學家龐加萊是其主要開創者。1904年，龐加萊提出一個問題，標準說法是：一個單連通的3維閉流形是否一定同胚於3維球面（任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面）？這便是日後著名的龐加萊猜想。
解釋一下這句話的含義：單連通的——所有閉曲線收縮到一點，封閉的——閉合的環，三維流形——，三維球面——，同胚——等同，總的來說就是 任何一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價於三維的球面。簡單地說，這裡有幾個概念，封閉就是有界的意思；單連通就是沒有孔，救生圈就不是單連通；流形就是一種形狀，圓、雙曲線、圓柱體、球體都屬於流形；同胚就是可以有一個相同的起源，500年前是一家。這個猜想與其它六大猜想並稱為"千禧年難題"，對於解答出來的數學家會獎勵100萬美元
流形是曲線、曲面等直觀幾何概念的高維推廣，由於已沒有直觀形象，研究起來十分困難。單連通則是指在流形中任何一條閉曲線都可在流形中連續變形後縮為一點。這從2維球面上看得很清楚，而環面（如自行車內胎）上不是所有閉曲線可以縮成一點的，因此環面是非單連通的。同胚的大致意思是，兩個圖形在連續變換下是一回事，比如照片上的卓別林與哈哈鏡裡的卓別林就是同胚的。
空間的維數、空間如何彎曲、流形如何分類，這都是拓撲學家感興趣的基本問題。為了對流形進行分類，拓撲學家對每個流形都配上一些拓撲不變量。只要兩個流形的拓撲不變量不同，就足以斷定兩者不同胚，但反之未必（除了2維流形的判斷全部不變量只有一個整數，即歐拉-龐加萊示性數——"面數+頂點數-稜數"的推廣）。這時就需要加入更強的不變量，直到足以刻畫流形的拓撲性質為止。2維到3維是步非常大的跨越，這一點超乎數學家的想象。
我們可以通過觀察一個球（二維球面）和一個甜甜圈（圓環面）的邊界來將龐加萊猜想具象化：在二維球面上的任何環都可以在不離開球面的同時收縮到一個點，但如果是一個繞著甜甜圈上的洞的圓環，它就不能在不離開甜甜圈表面的情況下進行收縮。
形象化可以這樣理解：在一個空間中，用一隻蒼蠅，用一根線綁在蒼蠅身上，（假設這根線無限細且沒有重量。然後讓蒼蠅隨意地到處飛。這樣，手中的線就象風箏線一樣不斷地放出去，最後那個蒼蠅還要飛回來，飛回來以後，把栓在蒼蠅身上的線頭解下來，和手中的線系在一起，這就構成了一個圈，或者叫一個繩套吧，能夠把人勒死的那種。然後把這個繩套往自己懷裡拉，拉呀拉，最後總能夠把這個繩套統統都給拉回來。比如說，救生圈形狀就不行，因為如果蒼蠅在救生圈裡飛了一圈回來，這個結成的繩套就肯定收不會來，而給擋在那裡了。那麼，這樣的汽球就不符合要求。
也可以這樣理解：有一個空間，在裡面吹一個氣球，如果氣球足夠大，足夠薄，能用氣球塞滿整個空間，這個空間就是單連通、封閉的三維流形，救生圈那樣的空間就不能滿足這個要求。這個三維流形就是與氣球同胚。
最初的數十年裡，猜想未得解決，這並不妨礙更多數學家去關心拓撲學主幹的建造。一個轉折點是美國數學家瑟斯頓，他完成了幾何方法的復興。通過仔細研究三維流形的幾何結構，他提出了幾何化猜想，將龐加萊猜想蘊含其中。瑟斯頓也獲得了菲爾茲獎，可惜人們一時也不知如何對付幾何化猜想。另一位美國數學家漢密爾頓通過研究一個稱作裡奇流的偏微分方程，發現用它可對證明幾何化猜想提供線索。但是哈密爾頓也不知如何下手，他成了接力賽中跑倒數第二棒的人。
到了1982年，漢密爾頓提出了一種幾何分析的新技術——裡奇流（如上圖所示），他一直在尋找一種流函數，能讓函數的能量在達到最小值之前一直減小，這種流動與熱能在材料中的傳播緊密相關。漢密爾頓認為空間的幾何形狀應該有類似的流動。他指出，對於裡奇曲率為正的三維空間，流動會逐漸改變形狀，直到度規滿足瑟斯頓的這種幾何猜想。
直到2002年，佩雷爾曼終於提出一種新方法：構造一個時空距離函數用來驗證一般的非塌陷條件，還引入所謂的"比例尺論證方法"。用他改進過的哈密爾頓幾何手術，可以保證隨時間的演進手術精度會不斷提高，這樣就證明了幾何化猜想！
人們對龐加萊猜想做了許多嘗試，直到2003年，年輕的俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼出現了，他公佈了一個絕妙的解決方案。佩雷爾曼的思想建立在另外兩位傑出數學家威廉·瑟斯頓和理查德·漢密爾頓的工作之上。
2006年的菲爾茲獎頒獎儀式宣佈，該獎授予證明了龐加萊猜想的佩雷爾曼，他的論證被多位頂級數學家反覆測算證實。但佩雷爾曼本人拒絕領取菲爾茲獎，也拒絕領取美國克雷數學研究所為此設立的100萬美元獎金。佩雷爾曼拒領菲爾茲獎，不僅如此，他還退出了數學界，這讓其他數學家深感惋惜。佩雷爾曼本人長期深陷孤獨，保持了純潔的心，才得以證明龐加萊猜想，但也因此，讓自己的心被撕裂成了兩半，無法有效地聚合數學世界和現實世界。
2006年6月3日，中山大學的朱熹平教授和曹懷東以一篇長達300多頁的論文，以專刊的方式刊載在美國出版的《亞洲數學期刊》六月號，補全了佩雷爾曼證明中的漏洞，給出了龐加萊猜想的完全證明。破解了國際數學界關注上百年的重大難題——龐加萊猜想。運用漢密爾頓、佩雷爾曼等的理論基礎，朱熹平和曹懷東第一次成功處理了猜想中"奇異點"的難題，從而完全破解了困擾世界數學家多年的龐加萊猜想。 不過, 大家都公認是佩雷爾曼才是真正解決龐加萊猜想的人。某院士認為上述論文"第一次……給出了猜想的完整證明"，並操刀將這塊肥肉一分為三："哈密頓做出了超過50%的貢獻；佩雷爾曼做出了大約25%的貢獻；丘成桐等人做出了30%的貢獻。"
歷史上，拓撲學的創立則是源於龐加萊和其他數學家試圖解釋牛頓和萊布尼茨發明的微積分理論中尚未闡釋清楚的問題，該問題蘊含著關於"無窮小量"分析的嚴格化要求。幾十年後，這門新興的學科即開始登上前沿科學的舞臺，併為世人提供無比慷慨的理論營養和應用前景。
隨著人們對拓撲學認識的深入，它逐漸成為數學中最豐富多彩、魅力四射的分支之一，並開始在數學、物理學、工程學和其他科學領域孕育著重大的突破。比如物理學前沿的超弦理論正是建立在拓撲學的堅固基石之上，而超弦理論正是人們目前試圖理解宇宙構成的最具想象力的理論。也因此，龐加萊猜想被譽為拓撲學中的聖盃。
佩雷爾曼在證明龐加萊猜想的過程中做出了決定性的貢獻，在他的基礎上，來自美國和中國的數學家均對龐加萊猜想的最終完全證明貢獻了自己的力量。這一數學歷史上的盛事，亦代表著人類永攀科學高峰的決心和智慧，終將以其光榮輝煌的時刻永載史冊。
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