08.17 如何判斷一個空間的維度：你的世界是幾維的？

大約一百年前，德國數學家豪斯朵夫問了一個看似奇特的問題：如何判斷一個空間的維度。

在傳統的數學體系裡這問題沒有意義，維度是在定義空間之初就預設好的。點是零維，線是一維，面是二維，諸如此類。

正方形（左），立方體（中），四維超立方體（右）。（圖片來源：wikipedia）

但豪斯朵夫的問題是，如果不是一個傳統的連續空間，如果根本就是一個離散但密集的個體的集合，如果它的結構複雜混亂，不能簡單刻畫為一條線或一個面，我們該怎麼定義它的維度呢？

他提出了一個極具洞見，既新穎又深刻的思路。在傳統的幾何學裡，空間的大小是維度的的指數函數。一維空間如果尺度倍增，空間也會擴大兩倍，二維空間尺度倍增之後會擴大四倍，三維空間會擴大八倍。依次類推。豪斯朵夫說：既然如此，就把維度反過來定義為空間尺度變化的對數好了。如果一個空間的尺度倍增之後擴大了 2 的 n 次方，就可以說這個空間是 n 維的。

這個想法的威力在於，它完全不需要這個空間有任何規整的幾何結構，可以定義在任何曲折混沌的對象上。而維度甚至也不需要是固定的整數。在上面那個定義裡，n 是被計算出來的，而計算的結果可能是任何非負實數，一個空間完全可以是 1.58 維的。也沒有理由它一定在空間內部處處相等，維度是個局部的概念，不是全局的。

就這樣，豪斯朵夫大大解放了人們對於維度的理解。他的洞察源於這樣一個簡單但又極少被重視的事實：古典的幾何對象只能夠刻畫簡單完美的形狀，而現實世界要模糊晦澀得多。非整數維度並不是數學的臆想，恰恰相反，不完美的維度是大自然的本質，反倒是純粹的點線面體才是數學家高度抽象的理想概念。正如半個世紀後將豪斯朵夫的觀念發揚光大的分形幾何創始人孟德布洛特所說的那樣：

“雲朵不是球形，山峰不是錐體，海岸不圓滑，樹皮不平整，閃電也並不是一條直線。”

顯而易見，這種超越規整結構，試圖探究紛亂離散的空間的觀念在根本上就屬於現代。豪斯朵夫的論文發表於一戰結束不久的1919年，整個歐洲都在面對古典體系的崩塌和浩劫中支離破碎的社會。就在差不多同一個時期，斯特拉文斯基的春之祭在巴黎首演，粗暴的和絃和不規則的調性徹底告別了浪漫主義時期的古典音樂；畢加索正處在立體主義繪畫創作的高峰期，竭力拆解幾乎所有繪畫對象的靜態視角；德布羅意正在寫博士論文，指出，任何物質都既是粒子也是波，量子力學的不確定性原理呼之欲出；維特根斯坦出版了名著《邏輯哲學論》，宣佈：一切形而上學的陳述都是沒有意義的。

雖然人們普遍相信數學是普適的，但數學觀念的產生並不能脫離現實社會。豪斯朵夫的想法不會誕生在更早一二百年前的歐拉或者高斯的腦海裡。如果外星人有和我們一樣發達的數學，瞭解一下它們的社會發展到什麼狀態之後才出現了類似的概念，會是一件有趣的事。

如果要用同樣的方式來理解社會，我們可以這樣來粗略地定義維度：假定人和人的意識形態相似程度可以被度量出來，只要統計出一個人周圍和他相似程度在一個特定距離以內的人數，把這個距離放大一倍之後的人數之比是 2 的幾次方，在這個人的視角來看的社會就是幾維的。

比方說：

一個理想中的所有人都緊密團結在一個核心周圍的社會，擴大尺度並不會增加人數，所以這個社會是零維的。這是合情合理的事，一個萬眾一心的社會等同於它的核心，而單點當然是零維的。

一個簡單的民主社會模型裡，所有人排成從左到右的政治光譜，如果這個分佈是均勻的，把尺度擴大兩倍就剛好能包括兩倍的人數，所以這個社會是一維的。如果他們的分佈在這條直線上並不均勻而是更集中在中間派周圍，其維度就還要更小一些，介於 0 和 1 之間。

一個更現實一點的模型是人們並不排成一條純粹的直線，同時還表現出其餘方向上的差異性。他們的分佈更像是一個橄欖球的形狀。在《政治學期刊》（The Journal of Politics）上最近刊發的一篇論文裡，作者所描述的中國社會的意識形態光譜分佈大致就是這個模型，其維度大致介於 1 和 2 之間。

但真實的世界恐怕遠比這些模型都複雜得多，今日尤其如此。社會早已不再圍繞著一個統一的中間派作為核心，而是分裂成若干各自為政的氣泡，畫地為牢，漸行漸遠。在社交媒體的作用下，由於議題的變幻，這些氣泡之間可以表現出複雜的合縱連橫，但彼此已經不再有情緒的共振和精神的團結，昨日的聯盟會是明日的仇寇。不同的人在不同的視野中觀察出的世界面貌可以全然不同，無法再用一個單一的維度和形狀來描述它了，雲朵和閃電也許才是更合適的比喻。

在古典觀念薰陶下長大的一代人，往往會在這幅新的世界圖景面前手足無措，甚至會對周遭的變化表現出驚人的麻木不仁。1989年12月23日和12月25日，柏林牆剛剛崩潰之後，伯恩斯坦受邀在西柏林和東柏林分別指揮演奏了貝多芬的第九交響曲，成為不朽的經典。歐洲的統一近在咫尺。《歡樂頌》在1985年被定為歐共體的會歌，進而在1993年成為歐盟的國歌。顯而易見，歷史已經終結，天下即將大同，《歡樂頌》的歌詞即將成為現實。只有最悲觀的人才會願意預期，僅僅一彈指間，歐盟就將命懸一線，而納粹將會捲土重來。

躲在一個氣泡裡的個體可以假定歲月靜好，一切宛如昨日幻樂，但這往往是悲劇的起源。他看到的只是一個複雜屈折的世界在更低維度上的投影，一個對狂飆突進的歷史湍流的簡筆畫般的描摹，一個更容易被媒體所採納和記憶的粗糙敘事，一座層移倒懸重重摺射下的海市蜃樓。而真實——如果真實仍然有意義的話——則掉落在幽暗深邃的維度的縫隙裡。在那裡，一幅粗糲斑駁扭曲異質的圖景，會讓一個在不經意的一瞥之間扭過頭去的觀察者驚駭和戰慄不已。