郭壽良1

先說結論：沒有這個可能。

我在4月19日寫過一篇循環小數如何化成分數一個小數的問答。一個數不管它從哪一位開始循環的，都是可以化成分數的，也就是有理數。

數的分類

大家看下面這張數的分類圖，可以發現，有理數，其實就是整數和分數。

什麼叫做有理數

有理數一詞是由外文翻譯過來的，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。我國在近代翻譯西方科學著作時，往往參照日語中的翻譯方法，譯成“有理數”。有理數這個詞來源於古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義就是整數的比。與之相對，“無理數”就是不能表示為兩個整數之比。

人們對數的認識，也是經歷了一個從簡單到複雜的過程。最早認識的數是1、2、3、4、5稱之為自然數，後來人們認識到0也非常重要，於是人們把0納入了自然數之中。再後來，人們用兩個整數比的形式來表示數，這就是分數（注意分母不能為0），如1/2，1/3，3/2等。古希臘人稱之為可公度。古希臘的畢達哥拉斯學派，他們崇尚一個信條，數是萬物，注重用數的關係和比例來表示宇宙萬物的秩序與規律。

畢達哥拉斯定理

畢達哥拉斯學派有個重大發現，那就是畢達哥拉斯定理，也就是勾股定理。

下面這個圖就是幾何原本中畢達哥拉斯定理的經典證法。

正是由於畢達哥拉斯定理，才導致了第一次數學危機。

第一次數學危機

畢達哥拉斯學派的希伯索斯發現在直角三角形中，兩個斜邊的長度均為1，斜邊是無法用整數的比值來表示的， 結果他被同伴扔進了海里。這就是著名的第一次數學危機。 為了解決危機，歐多克斯創造了新的比例論，但沒有徹底解決危機。

無理數不再“無理”

1872年，戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的 數學史上的第一次大危機。

幾個常見的無理數

圓周率、自然對數的底e，還有第一次數學危機中著名的根號2。證明某個數是無理數，通常採用反證法，下面舉個簡單的例子。

多元視角

答：艾伯菌第一眼看到這個問題時，覺得題意似乎矛盾；但仔細思考過後，發現題主心思細思極恐！問題本身可以說沒有矛盾，但是錯誤的，我們就來一一破解其中關鍵。

首先，一部分人可能還沒有理解題意，題目中的“無限不循環”和“無限位後開始循環”需要深層次的理解。

我們先來看一個，關於無理數的證明過程：

這是標準的，根號2為無理數的證明過程！

如果我們大膽地多考慮一步，題意中的“無限位後開始循環”，其實等價於其中的n和m為無窮大的情況，這時候上面的證明過程就值得商榷了！

對於小數部分擁有無限位的實數，如果我們把小數部分的每一個數字都放入集合中，並依次編號，記為集合K。

顯然，集合K是一個可數集合，那麼對於題意的“無限位後開始循環”，相當於把集合K劃分為無限個可數集合，然後新集合之間又存在嚴格的編號順序。

那麼問題來了：這樣的劃分方式存在嗎？

（1）如果存在這樣的劃分方式，說明題目的質疑點成立，關於無限不循環小數的證明就存在問題；

（2）如果這樣的劃分方式不存在，那麼題主的疑點屬於謬論（或者錯誤）；

然後我們得到了一個等價於題意的數學問題：對於一個可數集合，把每個元素進行編號，是否存在一種劃分方式，使得劃分後原集合變為可數個可數集合，然後每個新集合裡的元素，相對於另外一個新集合的元素，其編號有著嚴格的大小關係。

通俗地說就是：給你一段自然數數列，然後再給你一把“刀”，你把這段自然數數列切斷，然後需要滿足三個要求：

（1）切成無數段數列；

（2）每段數列又有無數個元素；

（3）且它們之間的順序不變；

我們首先想到，對於自然數數列，我們把偶數和奇數單獨拿出來，就得到了兩個新的可數集合，然後可以無限抽取，就能把自然數數列劃分為無數個可數集合，同時滿足（1）（2）條件！

但是，這種抽取法顯然無法滿足條件（3）。

要證明這種劃分不存在，我們需要一個定理，也是解決題目謬論的關鍵——戴德金連續性定理！

戴德金定理：對於實數域內的任一戴德金分割A|A'，必定產生這劃分的實數β存在。β或是下組A內的最大數，或是上組A'內的最小數。

戴德金（1831~1916）是一位偉大的德國數學家，抽象代數創始人，無理數的出現引發了第一次數學危機，直到兩千年後的1872年，戴德金提出戴德金分隔後，數學家運用戴德金分隔才徹底解決了第一次數學危機！

仔細考慮戴德金定理的內容，就會發現戴德金定理描述的內容，就是說以上三個條件不能同時得到滿足，定理中的“實數β一定存在”和“無限位後開始循環”本質上就是相反面！

於是，我們可以下結論了：無限不循環小數不可能在某個無限位後開始循環，因為你連需要循環的無限位數列都劃分不出來！

好啦！我的答案就到這裡，喜歡我們答案的讀者朋友，記得點擊關注我們——艾伯史密斯！

艾伯史密斯

數學是一門最基礎、最重的一門抽象的形式科學。所以，在一些概念的理解上十分困難。

“無限不循環小數”這一概念中有兩層意思，即有限與無限、循環與不循環。在此基礎上，我們可以解析為4個方面的內容：

①有限範圍內的循環。

如：數2.66666，在小數點後面5位數的範圍內都是循環的。

②有限範圍內的不循環。

如：數6.178651786517865，循環節是17865，但在小數點後5位的有限範圍內是不循環的。

③無限的循環。

如：數3.33333……是無限循環的。

④無限的不循環。

如：π、e、其他無理數等。

我們可以這樣認為，凡0、1、2、……、9的數值均取值為A，那麼無限不循環小數也就成了無限循環小數了。

所以，從哲學上人們可以認為，有限與無限、循環與不循環是相對的，在一定條件下是可以相互轉化的。

在宇宙中，原子→地球→銀河系→星雲→無限宇宙，我們可以看作一種無限不循環。但從原子旁邊是原子，再旁邊還是原子，以至無窮，看作一種無限循環。一根木棍，是有限的，是連續的有限的原子組成的，是有限的循環。但把木棍切割為若干節，各節相互之間又是不同的，可考慮為有限中的不循環。因此，我個人粗淺地認為，宇宙可理解為一個有限與無限、循環與不循環的統一體。

時代傻瓜李博士

這問題在於，條件無限不循環小數，我們知道有圓周率、自然對數的底都是無限不循環小數，稱為無理數，並且其為定值，在牛頓非標準分析的數軸上佔有肯定位置。我們只討論其中任何一隻，圓周率，被嚴格證明是無理數，是科學界認可的，也可以計算出小數點億位了，算出的數也不存在循環，如果存在循環則是有理數了。而命題本身，把其移到具體一個數如圓周率，這圓周率是無窮多位小數，是否在某個無窮位後可以循環？首先，無論是人工或計算機都無法驗查無窮的東西。

這樣，我們假說存在這種可能，是否與我你屬知的定理矛盾嗎？某個無窮位後開始循環，你不可能把它擴大相應的無窮多倍後變成帶分數，因為無窮大不是一個定值，不是一個具體數。如我們假設的這個小數，在某個無窮大後開始循環，簡單的循環如3，後面全是3。因為在這循環之前其前面己經有無窮位小數是不循環的，所以，是不可能寫出循環前面的所有數字，因為它是無窮多位，也不能由計算機記錄，因為計算機的儲存是有限的。這假設的小數並不能化成帶分數，所以，不是有理數，不是有數則假說的這個數還是無理數。

由於，你不能無窮計算，你又怎知一個無窮不循環小數，在某個無窮大位後，其後面的數字不能全部是2或全部為3呢，這不影響其為無理數，因為你不能把它變成帶分數。

我不能證明有這樣的數存在，但依靠想象，這種數可以存在呀。

郭壽良1

你的提問本身存在一個邏輯陷阱，一般人還不大容易看出來。

陷阱在哪裡呢？事實上不存在任何一個“數位”是屬於“某個無限位”的。也就說“某個”與“無限位”這兩個概念本身是蘊涵邏輯矛盾的。如果以這個存在“邏輯矛盾”的說法為前提，那麼肯定就會推出自相矛盾的結論出來。

任何一個數位都是有限位，並存在“無限位”這樣的具體數位。因此，所謂“無限位”概念不應是指具體某一個或某一些數位，而是指數位的多少沒有限制。

事實上，從小數點後任意高的某一數位才開始循環的數是什麼數？那是有理數，不屬於無限不循環小數。

如果你將π從小數點後任意某一數位截斷，然後再令其後的數位改寫成循環的，這樣重新構造出來的數是有理數還是無理數？答案是有理數，而不是無理數。

你的這個提問，其實與“羅素悖論”的性質是一樣的，本質上源於對“無窮”或”無限“這個概念的誤解，其實是由“語義”不清所帶來的邏輯矛盾。

附錄“羅素悖論”作為參考

• 羅素悖論
  

羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論、書目悖論。