05.24 基本圖形分析法：角平分線和平行線的組合圖形（五）

【分析方法導引】當幾何問題中出現角平分線和平行線的組合關係式，就可以想到要應用等腰三角形的基本圖形進行證明。然後就應用將角的邊的平行線與角平分線及角的另一邊相交或將角平分線的平行線與角的一邊及另一邊的反向延長線相交的方法找到等腰三角形的基本圖形。再應用角平分線、平行線、等腰三角形中任何兩個性質成立就可以推得第三個性質成立的方法來完成分析。

例15 如圖3-50，已知：△ABC中，AE是∠A的外角平分線，F是BC的中點，過F作EA的平行線交AB於G。求證：BG=1/2（AB-AC）。圖3-50

圖3-50

分析：本題條件中出現AE是∠A的外角平分線，FG∥EA是角平分線的平行線，所以就一定出現一個等腰三角形的基本圖形。由於FG是角平分線的平行線，所以它應和角的一邊以及另一邊的反向延長線相交組成等腰三角形，而現在GF尚未與角的一邊AC相交，所以應先將它們延長到相交，也就是延長GF交AC的延長線於H，即可得△AGH應是一個等腰三角形（如圖3-51），也就是由∠DAE=∠CAE和GH∥AE，∠DAE=∠AGH，∠CAE=∠H，得∠AGH=∠H，AG=AH。

圖3-51

由於問題是要證明BG=1/2（AB-AC），所以就有AB-AC=（AG+BG）-（AH-CH）=BG+CH，這樣問題就轉化為要證BG=CH。

由條件BF=CF，且BC、GH在F點相交，這就出現了BF和CF這兩條相等直線是位於一組對頂角（∠BFG和∠CFH）的兩邊上，而且成一直線，所以可添加一對中心對稱型的全等三角形進行證明，添加的方法是過兩端點作平行線，並要與過中點的直線相交，於是過C作CK∥AB交GH於K（如圖3-52），則由∠BFG=∠CFK，BF=CF，∠B=∠FCK可得△BFG≌△CFK，BG=CK，這樣問題又成為要證CK=CH。由於CK∥AB，而且△AGH已經證明是等腰三角形，所以CH=CK就可以證明。

圖3-52

在上述分析中，由於已經出現的角平分線AE的平行線GF尚未與角的一邊AC相交，所以要得到等腰三角形也可以再作一條同時與AB、AC相交的AE的平行線，於是過C作EA的平行線交AB於H（如圖3-53），那就即可證明AH=AC，這樣AB-AC就等於AB-AH=BH，也就是要證明G是BH的中點。由於已知F是BC的中點，出現了兩個中點，是多箇中點問題，所以可應用三角形中位線的基本圖形性質進行證明（如圖3-54），也就是要證明BG=HG可轉化成要證GF∥HC，而由條件GF∥AE，再由作法HC∥AE，所以GF∥HC得以證明。

圖3-53

圖3-54

例16 如圖3-55，已知：E是正方形ABCD的邊CD的中點，F是CE的中點。求證：∠BAF=2∠DAE。

圖3-55

分析：本題要證明的結論∠BAF=2∠DAE是兩個角之間的倍半關係，所以可根據角的倍半關係的定義，將這個倍角（∠BAF）二等分，也就是作這個角的角平分線後，證明這個角的一半與另一個角相等，於是作∠BAF的角平分線AG交BC於G（如圖3-56），問題就成為應證∠BAG=∠DAE。

圖3-56

在作出了AG是∠BAF的角平分以後，由於條件中給出了四邊形ABCD是正方形，DC∥AB，所以就出現了角平分線和平行線的組合關係，這樣就必定產生一個等腰三角形的基本圖形。由於現在出現的DC是角的一邊AB的平行線，所以它應該與角的另一邊AF以及角平分線AG相交組成等腰三角形，而目前圖形中DC尚未與角平分線AG相交，所以應將它們延長到相交，也就是延長DC交AG的延長線於H（如圖3-57），於是由∠BAG=∠FAH和DC∥AB，∠BAG=∠H，可得∠FAH=∠H,FA=FH。

圖3-57

由於我們現在要證明的性質是∠BAG=∠DAE，而這兩個角可以分別看作是△BAG和△DAE的一個內角，而在這兩個三角形中，已經出現了∠B=∠D=90°和AB=AD（即正方形的邊長），所以△BAG和△DAE必定是一對全等三角形（如圖3-58）。而在證明這一對三角形全等時，由於∠BAG=∠DAE是要證明的結論不能用，那麼它的等價性質∠AGB=∠AED也不能用，所以只能考慮再證一組對應邊相等的條件。由於條件中給出E是DC的中點，DE=1/2DC，所以考慮與條件有聯繫的性質，就應證明BG=DE，從而進一步就是要證明G是BC的中點，CG=BG。

圖3-58

由於AH、BC相交於G，所以要證明相等的這兩條線段BG和CG就位於一組頂角（∠AGB和∠HGC）的兩邊而且成一直線，從而就可以應用中心對稱型的全等三角形進行證明。根據過兩端點B、C的平行線與過中點的直線相交構成全等三角形的方法，就可以找到這對全等三角形應是△AGB和△HGC，在這一對三角形中，對應角相等的性質都已成立，所以就須證明一組對應邊相等。由於AB是正方形的邊，所以可以考慮證明AB=HC。根據條件FC=1/4CD=1/4AB，可知只須證FH=5/4AB，再由已證明的性質FA=FH，可知要證明的結論又轉化為FA=5/4AB。而由DF=3/4AB，AD=AB和∠D=90°，應用勾股定理就可以證明FA=5/4AB，從而完成分析。