時代傻瓜李博士
這是一個相關但屬於兩個層面的問題：勾股數，和勾股定理的證明。
中國歷史記載，最早在“周髀算經”裡記載了第一組勾股數：勾三股四弦五。時間大約是公元前800-1000年左右。這在世界歷史範圍，大概是第四個發現勾股數的文明，前三個是兩河流域文明，尼羅河文明，印度河文明。恰好是世界歷史上常說的：三大古老文明。（國人版加上中國自己合稱4大文明）
有明確考古佐證的，最早發現勾股數的文明是兩河流域的蘇美爾/巴比倫，現存於美國哥倫比亞大學博物館編號plimpton322的泥石板（clay tablet）在約一百多年前在伊拉克被挖掘，考古證實為公元前1800多年前的文物（距今3800年），用楔形文字記錄了多達15組勾股數（不過有個別錯誤）。需要指出，這個文物的年代和漢謨拉比法典是同時期的，文字也一樣。
嚴格的說，僅僅找到一組（或幾組）勾股數還不代表古人完全清楚勾股定理的存在（更別說證明）。不過中國人嚴謹的證明勾股定理是比較早的，三國時期東吳數學家趙爽最先用割補法，是個非常漂亮的證明！稍後北魏的劉徽（中國古代第一數學家）也給出了一個不同的割補法。
在趙爽和劉徽之前，更早發現勾股數的世界三大古老文明，兩河（即蘇美爾，巴比倫），埃及，印度，都沒有完成該定理的證明。
但趙爽還不是最早的證明者。古希臘數學家畢達哥拉斯在約公元前500年時最先證明了該定理（早於趙爽約800年），所以國外一般稱之為：畢達哥拉斯定理。
需要指出，因為畢達哥拉斯學派的原則是一切發明歸功於畢達哥拉斯本人。所以其實我們並不確認這個定理的證明是真的出自畢達哥拉斯本人之手，還是他的某位信徒。
勾股定理（畢達哥拉斯定理）是數學上極其重要和基本的定理，也許是最重要的沒有之一，是幾乎一切數學的基礎。比如，除了幾何學，它還激發了人們發現“無理數”：畢達哥拉斯的學生希帕索斯發現根據該定理可證√2不是有理數（不能寫成分數）。
稍後的大哲學家柏拉圖在自己莊園門口寫著：不知√2為不可分數者不得入內。柏拉圖的學生，世界上第一位邏輯學集大成者亞里士多德整理了一份最精煉的√2為無理數的證明，時隔2300年後的今天，此證明迄今仍然是奧數入門培訓的標準解答，也是我本人小時候學習邏輯學反證法的第一道例題。
歐幾里得在“幾何原本”裡收錄了畢達哥拉斯定理並給出來一個不同的證法，不過客觀說，歐幾里得的證法不如畢達哥拉斯的簡潔漂亮。
勾股定理據說有500多種證法，甚至某任美國總統也發明過一個原創證明。下面介紹幾個我認為比較簡單的證法：
【畢達哥拉斯原版證明】
做邊長為a+b的正方形，其面積為（a+b）²=a²+b²+2ab。再把四邊上分界點（分左右分別是a和b）依次連線，把大正方形分割為一圈四個直角三角形（直角邊a和b，斜邊c），以及中間一個內接正方形，邊長為c，於是大正方形的面積也可算出為：4*½ab+c²，比較兩式可知：a²+b²=c²
【相似直角三角形證法】
從直角點做斜邊的垂線h，分斜邊c=d+e。顯然分割的兩個小直角三角形都和原三角形相似，於是：a/c=d/a，b/c=e/b。則a²=cd，b²=ce，即a²+b²=c*(d+e)=c²
【複數證法】
勾股定理等價於證明cos²x+sin²x=1。
根據歐拉表示法，複數
e^ix=cosx+i*sinx
e^-ix=cosx-i*sinx
二者相乘得：
（cosx+i*sinx）（cosx-i*sinx）=cos²x+sin²x
=e^ix*e^-ix=e⁰=1
帖木兒
勾三股四弦五，看起來好像很簡單。但其實大道至簡，簡潔中往往蘊含著一種美，而這種美來自於更深層次的自然的哲理，也就是所謂的道。中國著名數學家華羅庚曾建議用用一幅反映勾股定理的數學形關係圖來作為與“外星人”交談的語言。由此可見它在人類文明史中的地位。
勾股定理來歷
周公旦是西周時期著名的政治家、軍事家、思想家、教育家。他重視發展國力，禮賢下士，身邊的賢士非常多。周公也特別重視發展科學技術，經常與商高探討科學知識。在中國最早的數學和天文學著作《周髀算經》中曾記載了一段“周公問數”的佳話。我們一起來品味。
一天，周公和商高在一起談論問題。周公對古代伏羲構造周天歷度的事蹟感到不可思議，周公虛心地問商高：“我聽說先生非常擅長數學，那麼請教先生，古代的伏羲創立了天文和曆法，可是天沒有臺階可以攀登上去，地又不能用尺去測量，這些數是怎樣得來的？”
商高回答說：“數之法，出於圓方；圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之外，半之一矩，環而共盤，得成三、四、五。”商高這段話的意思就是說：“數是根據圓和方的道理計算得來的，圓來自於方，而方來自於直角三角形。當一條直角邊（勾）為3，另一條直角邊（股）為4，則斜邊（弦）為5。”以後人們簡稱之為“勾三股四弦五”，命名為“勾股定理”也叫"商高定理"。以商高命名勾股定理,這不僅是中華民族的驕傲,更重要的是它確定了東方几何學開創的"原點"，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”。
其實真正值得深度思考的是：為什麼3，4，5，三個前後銜接的自然數，可以通過如此簡潔的方式，在二維幾何實體上映射出來。這其中蘊含了我們這個宇宙的數學和物理定律，是如何誕生並統一的道理。
但遺憾的是《周髀算經》以及其他文獻中並沒有給出商高或同時期其他人證明勾股定理的過程，甚至根本就沒有提到證明。僅憑“勾股各自乘，並而開方除之”是不能稱作“定理”的。
勾股定理在國外被稱作畢達哥拉斯定理。畢達哥拉斯是公元前6世紀的人物，從生存年代上看他比中國的商高要晚大約500年，這就是國內一些材料上說的中國比西方早多少年發現勾股定理的依據。
畢達哥拉斯定理的來歷
希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，因而國外一般稱之為“畢達哥拉斯定理”。相傳畢達哥拉斯是在觀察朋友家地板上的花紋時有了思考，最後證明了畢達哥拉斯定理。證明了定理後，畢達哥拉斯一下殺了一百頭牛表示慶賀（或者說祭拜上天），足以見得發現這一規律時的內心喜悅。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”。
畢達哥拉斯的證明方法已經失傳，儘管如此，沒有學者對畢達哥拉斯是否真正證明了定理表示懷疑。在中國最早證明勾股定理的是東漢末三國初的趙爽，這比畢達哥拉斯晚了好幾百年。
畢達哥拉斯在哲學、音樂和數學上都頗有建樹。他最大的貢獻在於證明了勾股定理，因此，這個定理在大多數國家被稱為畢達哥拉斯定理。
雖然古埃及、美索不達米亞、古代中國和印度很早就觀察到了直角三角形的三邊之間的關係，但是那裡的人們只能根據經驗總結出一個結論，並舉出一些具體的例子（如“勾三股四弦五”），而畢達哥拉斯則將它描述成“直角三角形直角邊的平方和等於斜邊的平方”這樣具有普遍意義的定理，並且根據邏輯而不是實驗證明了它。
兩者內在的根本區別
事實上，中國的勾三股四弦五並不是和畢達哥拉斯定理在一個層次上，因為畢達哥拉斯證明了畢達哥拉斯定理，這是人類歷史上第一次發現一條非常重要的數學規律。
畢達哥拉斯和中國古代的學者的根本區別在於，他堅持數學論證必須從“假設”出發，然後通過演繹推導出結論，而不是通過度量和實驗得到結論，通過窮舉找到規律。
畢達哥拉斯的思想不僅奠定了後世數學研究的方法論，還創造了一種為科學而科學的研究態度。也就是說，科學研究的目的是建造更大的科學大廈，而不一定要去解決實際問題。在這樣的思想指導下，古希臘科學的體系得以形成。
中學數學深度研究
勾三股四弦五隻是一個特例，直角三角形的三個邊恰好都是整數，可以算是發現。
但是要成為定理，必須要推廣到一般情形，勾的平方加上股的平方必定等於弦的平方。
據說《周髀算經》中明確記載了石一言後人陳子敘述的勾股定理公式：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日”。[來源請求]
趙爽在《周髀算經注》中將勾股定理表述為“勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦”。
老饅頭簸箕
一般與特殊的關係
