05.22 基本图形分析法：角平分线和平行线的组合图形（三）

【分析方法导引】

当几何问题中出现角平分线和平行线的组合关系式，就可以想到要应用等腰三角形的基本图形进行证明。然后就应用将角的边的平行线与角平分线及角的另一边相交或将角平分线与角的一边及另一边的反响延长线相交的方法找到等腰三角形的基本图形。再应用角平分线、平行线、等腰三角形中任何另两个性质成立就可以推得第三个性质成立的方法来完成分析。

例11 如图3-33，已知：平行四边四ABCD中，AB>AD，∠A、∠D的角平分线相交于E,∠B、∠C的角平分线相交于F。求证：EF=AB-AD。

分析：本题的条件中出现了AE是∠A的角平分线，且四边形ABCD是平行四边形，DC∥AB，所以就是一个角平分线和平行线的组合问题，这样就可以想到要应用等腰三角形的基本图形进行证明。由于DC∥AB出现的是一条边AB的平行线，所以这条平行线应与角的另一边以及角平分线相交构成等腰三角形，而现在的图形中DC尚未与角平分线AE相交，所以应首先将它们延长到相交，于是延长AE交DC于G（如图3-34），这样由∠BAG=∠DAG和DC∥AB、∠DGA=∠BAG，DA=DG。这样要证明的结论就转化为EF=AB-AD=DC-DG=GC（其中后两个等号已成立）。

又因为在证明了△DAG是等腰三角形以后，由于条件中还出现DE是∠D的角平分线，这样就出现具有重要线段的等腰三角形的基本图形（如图3-35），应用这个基本图形的性质可得E是AG的中点，EG=1/2AG。以上的分析是对于∠A、∠D这两条角平分线的条件来进行的，那么对于∠B、∠D这两条角平分线来讲也可以用同样的方法来进行分析，于是延长CF交AB于H，可得AH=AB-BC=AB-AD=GC，FH=FC=1/2CH。

现由AH=GC和AH∥GC，可得四边形AHCG是平行四边形，GA∥CH，GA=GH，再由E、F分别是GA、CH的中点，EG=1/2AG=1/2CH=CF，可得四边形EFGC也是平行四边形，所以EF=GC就可以证明。

在上述分析过程中，如果在得到DA=DG和AE=EG=1/2AG后，考虑图形中出现的AE和CF是位于平行四边形ABCD中的中心对称部分的两条对应线段，那就可以想到要应用中心对称型全等三角形来进行证明，而根据平行四边形中的中心对称部分就可以找到这一对全等三角形是△ADE和△CBF（如图3-36），在这两个三角形中，应用平行四边形的性质和已经给出的四条角平分线的条件，可以得到AD=CB，∠DAE=∠BCF，∠EDA=∠FBC，所以这两个三角形全等可以证明，那么AE就等于CF，就可得EG=FC。

由于现在的问题是要证EF=GC，那么在四边形EFCG中，就出现了两组对边相等，所以这个四边形必定是平行四边形，但要证明这个四边形是平行四边形时，EF=GC这个性质是不能用的，所以只能证明EG和FC不但相等，而且平行。由于EC和FC可以看作是被DC所截，而且我们已经证明∠DGE=∠DAE=∠BCF=∠DCF，所以EG∥FC，四边形EFCG是平行四边形，从而也就可以完成分析。

例12 如图3-37，已知：平行四边形ABCD中，AD=2AB，将AB向两方分别延长至E、F，使AE=AB=BF。求证CE⊥DF。

分析：本题条件中出现了BC=AD=2AB，且由AE=AB可得BE=2AB，所以就有BC=BE，这样就出现了两条具有公共端点的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形。又因为条件中给出四边形ABCD是平行四边形，CD∥BE，是等腰三角形一条腰的平行线，这样就出现了等腰三角形与腰的平行线的组合关系，就必定出现了角的平分线。于是由BE=BC，可得∠E=∠BCE，由DC∥EB，可得∠DCE=∠E，从而就可得到∠BCE=∠DCE。

根据同样的道理，由BF=AB，AF=2AB=AD和DC∥AF出发进行分析，也可以得到∠ADF=∠CDF。

由条件AD∥BC，这一组平行线可以看作是被DC所截，那么∠ADC+∠DCB=180°，从而可推得∠DCE+∠CDF=90°，分析就可以完成（如图3-38）。

在上述分析中，在得到了EC、FD分别是∠DCB和∠CDA的角平分线以后，由于AD∥BC，所以又出现了一次角平分线和平行线的组合关系，这样也就必定可以再得到一个等腰三角形的基本图形（如图3-39）。由于DA∥CB可以看作是∠DCB的一条边的平行线，所以它一定与角的另一边以及角平分线相交构成等腰三角形，这样就可找到等腰三角形应是△DHC，也就是由∠BCE=∠DCE和DA∥CB，∠DHC=∠BCE，可推得∠DHC=∠DCH，DH=DC。而在等腰△DHC中，出现了FD是顶角的角平分线，因此它必定和底边垂直，分析也就可以完成。