古希臘人對數學的發展起到了奠定、錨定的作用，深遠的影響了後續數學的發展。在定義、公理和公設的基礎上通過一系列嚴格演繹證明發展了一門學科，訓練了一批又一批的專業人才。歐幾里得正是在前人工作的基礎上，完成《幾何原本》一書，該書內容豐富、結構嚴謹、論證透徹，稱其為整個人類文明史上的里程碑也不過分。時至今日，《幾何原本》仍被認為是幾何學的入門書籍，被廣泛用於中學的數學教材中。
始於公理
歐幾里得《幾何原本》一書是從一系列定義、公設和共同概念開始的，這些共同概念後來被稱為公理。最初只有5條公理，頭三條是用於作圖的，分別：
- 連接兩點可以作一直線。
- 直線的兩端可以任意延長。
- 可以做一圓，具有給定的中心和給定的半徑。
第4條公設是說所有的直角都相等。
第5條是歐幾里得賴以建立其全部平行線的理論的，該公設指出：
如果一條直線落在另外兩條直線上，且在割線一側所成之兩內角之和小於二直角，那麼，只要在小於兩直角的這兩個內角所在的割線那一側延長這兩條直線，它們就會相交。
歐幾里得試圖根據這些定義公理和公社，以絕對嚴謹的方式建立起幾何學知識的整個大廈。在他以前也有人設想過同樣的計劃。但似乎只有歐幾里得做到了，把幾何學原理聯繫到一起，把歐一克瑟斯的許多定理有次序的安排起來，把鐵塔斯的許多定理加以完善化，對前人未經嚴謹證明了許多東西，給以無可爭辯的闡明。
下面是《幾何原本》的內容簡介，跳過閱讀不影響理解全文。
幾何原本的內容
第1卷內容：關於直線和由直線構成的平面圖形的幾何學。
第2卷建立了許多人所共知的代數恆等式。由於沒有代數符號，幾乎依靠幾何學方法證明它們。這部分內容收入了很多畢達哥拉斯學派的內容。
第3卷討論圓的性質，其中有許多在哲人派試圖解決求圓面積問題時就已經發現了。
第4卷，繼續討論圓的幾何學，特別提到了某些圓內切和圓外切的直線圖形方面的問題。
第5卷詳細探討了關於比例的理論，並且把它推廣到各種量，此外還證明了它既可以應用到可通約的量，也可以用到不可通約的量。一般公認該卷大部分內容是歐伊克色斯和鐵塔斯的工作，只是歐幾里得把他們編排的更合乎邏輯次序。
第6卷把第5卷中，已經建立起來的關於比例的一般理論，應用到平面圖形上去。
第7、8、9卷與算術理論有關。第7卷討論了素數的性質，第8卷主要研究有關連比例數的定理。第9卷繼續討論第8卷中的問題，並且發展了素數的理論，歐幾里得本人給出素數的個數是無限的一個證明。
第10卷討論無理數，通常認為這一卷是歐幾里得的傑作。該卷內容大都屬於鐵塔斯的工作，歐幾里得把整個內容按邏輯順序編排起來。
第11卷至第13卷專門討論立體幾何學。第11卷把平面直線和平面角的幾何學推廣到平面和平面所構成的角上。還討論了包括平行六面體、圓錐體、球體等立體圖形的性質。第12卷中使用了窮竭法，用於圓、圓錐體等問題的證明。第13卷說明了如何做出5種球內包的正立方體，即四面體、立方體，八面體，十二面體和二十面體。而且建立了立方體的邊與外接球的半徑之間的聯繫。
作為第13卷的補充，第14捲包括8個命題。一般認為，該卷是公元前二世紀喜西克里斯的貢獻。第15卷可能是大馬士革的工作。
歐幾里得給予幾何學研究的推動力，在整個公元前三世紀，主要是由阿基米德和阿普羅尼亞斯保持下來的。但是，關於數論的研究卻無人問津，直到將近400年後，尼克馬爾斯的出現，才有了對這門學科感興趣的人，幾何學一直吸引著人們重視數學，在不到100年中，他已經上升到甚至比歐幾里得所達到的更高的高峰。
非歐幾何的建立
歐幾里得通過一些定義、公理和公設，建立起了幾何學結構。但其第4公設和第5公設，無論在古代還是現代，都經常受到攻擊。歐幾里得的平行公理並不像其他的公理那樣直觀和不證自明。數學家對這種缺乏無可辨別說服力的公理，顯然是無法完全接納的。甚至歐幾里得本人也不怎麼喜歡它，他在證明完不需要平行公理的所有定理以後，才會使用這條公理。
著名的平行公設，從托勒密起，一直有人嘗試證明它、修正它，均未獲得成功。對於平行公理，人們基本上有兩條路。
首先有人想到第一個辦法：平行公理是不是一條可以由其他公理推導出來的定理？若果真如此，那麼可以把這條公理從歐幾里得的公理系統中剔除。一批又一批數學家的嘗試和失敗，使人們意識到，使用其他公理來證明平行公理是徒勞的。因此又有人考慮另一條路：是否能夠用一條直觀上更容易接受的公理來代替這條公理？2000多年來，平行公理問題被看成是幾何原理中的家醜，耗廢了無數數學家的精力。
一個重大的歷史轉機是1826年2月11日晚，由俄國數學家羅巴切夫斯基教授主講《論幾何的基礎》。他向聽眾證明，歐幾里得平行公理是獨立的，不可能由歐幾里得的其他公理給予證明，因此建立在別的公理選擇基礎上的其他幾何學，在邏輯上是可能的。當然，在他意料之內，演講並未得到熱烈的響應。但這並不妨礙1826年2月11日，作為非歐幾何的誕生日，已經不可磨滅的載入數學的光輝史冊。
在隨後的幾年裡，羅巴切夫斯基致力於完善自己的非歐幾何理論，並發表多篇論文，可惜論文並未被人注意和重視。1840年，羅巴切夫斯基用德文寫的《平行線理論的幾何研究》正式出版，該書落到數學王子高斯手中，得到高度的讚賞，似乎事情得到了轉機。事實上高斯早在羅巴切夫斯基以前就發現非歐幾何的真理，但他屈服於康德哲學和傳統的壓力，未能公開對歐幾里得幾何提出挑戰，甚至不能對羅巴切夫斯基理論給予公開的支持。而匈牙利的鮑耶幾乎獨立的與羅巴切夫斯基同時在非歐幾何研究中取得類似結果。可惜鮑耶本人，過於計較優先權的歸屬，導致半途而廢。
數學王子——高斯
在數學發展史上，非歐幾何的建立具有劃時代的意義，羅巴切夫斯基平行公理來代替更直觀的歐幾里得平行公理，標誌著人類對空間形式的認知發生了飛躍，由直觀的空間上升到抽象的空間，從而從根本上動搖了認為幾何公理能夠憑它直觀的自明性而成立的傳統觀念。隨著科學的發展，非歐幾何日益顯出無比強大的生命力，其中最為重要的就是黎曼幾何，為後來的廣義相對論建立提供堅實的數學基礎。
歐幾里得幾何的價值
- 歐幾里得可謂是採眾家之長，將前人較零散的成果系統成書。歐幾里得公理化的思路對數學的影響可謂是深遠，起到錨定的作用。雖然《幾何原本》中也收錄了大量的命題，很明顯這不同於《九章算術》問題收集記錄，《幾何原本》更系統化。
- 《幾何原本》豐富全面的內容，使得古人成果得以傳播、保存。世界範圍內，沒有哪一本數學書籍是跨越千年，還能有那麼多人去學習、研究，甚至影響到其他的非數學領域。
- 更利於一代代數學人才的學習、傳承、成長，使得數學的教育更具連續性，更利於數學的研究更集中。古今中外，數學的教育中歐氏幾何成為不可缺少的內容。
- 《幾何原本》在內容上，給人實際的課題內容，就比如《非歐幾何》的誕生。
- 《幾何原本》在思想上，給人以啟發，比如由羅素悖論引起的數學危機，人們同樣考慮的是公理化的問題。
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