排序算法概述

1. 冒泡排序

2. 選擇排序

3. 插入排序

4. 希爾排序

5. 歸併排序

6. 快速排序

7. 堆排序

8. 計數排序

9. 桶排序

10. 基數排序

排序算法概述

數列排序是算法領域中一個使用頻率很高的算法類型；數據結構和算法(Java)中，包含下列不同類型的排序算法，本文逐一予以介紹。

不同排序算法的對比，直接上圖：

不同排序算法的對比圖

圖中概念說明：

• n: 數據規模
• k: “桶”的個數
• In-place: 佔用常數內存，不佔用額外內存
• Out-place: 佔用額外內存
• 穩定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之後a仍然在b的前面；
• 不穩定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之後a可能會出現在b的後面；
• 內排序：所有排序操作都在內存中完成；
• 外排序：由於數據太大，因此把數據放在磁盤中，而排序通過磁盤和內存的數據傳輸才能進行；
• 時間複雜度： 一個算法執行所耗費的時間。
• 空間複雜度：運行完一個程序所需內存的大小。

比較排序&非比較排序

• 比較排序：常見的快速排序、歸併排序、堆排序、冒泡排序；在排序的最終結果裡，元素之間的次序依賴於它們之間的比較。每個數都必須和其他數進行比較，才能確定自己的位置。
• 非比較排序：計數排序、基數排序、桶排序。非比較排序只要確定每個元素之前的已有的元素個數即可，所有一次遍歷即可解決。算法時間複雜度O(n)。
• 插入排序：直接插入排序、希爾排序；

基數排序 & 計數排序 & 桶排序

這三種排序算法都利用了桶的概念，但對桶的使用方法上有明顯差異：

• 基數排序：根據鍵值的每位數字來分配桶
• 計數排序：每個桶只存儲單一鍵值
• 桶排序：每個桶存儲一定範圍的數值

1、冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序是一種簡單的排序算法。這個算法的名字由來是因為越小的元素會經由交換慢慢“浮”到數列的頂端。

1.1 算法工作原理：

• ij兩層循環，一次j內側循環過程，實現將最大元素逐漸交換（先比較）到數列尾部；與此同時實現，較小元素不斷向前冒泡。
• i外側循環完後，從數列尾部向前的所有位置均存儲了(0-i)區間內的最大值，實現數列全部排序。

冒泡排序

1.2 算法實現：

<code>public static int[] bubbleSort(int[] array) {
   if (array.length == 0)
       return array;
   for (int i = 0; i < array.length; i++)
       for (int j = 0; j < array.length - 1 - i; j++)
           if (array[j + 1] < array[j]) {//不斷比較交換，實現最大值沉底（到數列尾部）
               int temp = array[j + 1];
               array[j + 1] = array[j];
               array[j] = temp;
           }
   return array;
}/<code>

2、選擇排序（Selection Sort）

選擇排序(Selection-sort)是一種簡單直觀的排序算法。也是O(n2)的時間複雜度，依次把後面剩餘區間內遍歷到的最小值交換到數列前面。

2.1 算法工作原理：

• ij兩層循環，一次j內側循環，將比較記錄下來的最小數交換到i位置（數列頭部）。
• i外側循環完後，從數列頭部向後的所有位置依次均存儲了數列剩餘區間的最小值，最終實現數列全部排序。

選擇排序

2.2 算法實現：

<code>public static int[] selectionSort(int[] array) {
   if (array.length == 0)
       return array;
   for (int i = 0; i < array.length; i++) {
       int minIndex = i;
       for (int j = i; j < array.length; j++) {
           if (array[j] < array[minIndex]) 
               minIndex = j; //保存最小數的index
       }
       int temp = array[minIndex];
       array[minIndex] = array[i]; 

       array[i] = temp;
   }
   return array;
}/<code>

3、插入排序（Insertion Sort）

插入排序，則通過不斷構建+1的有序序列，對於未排序的後面數據，在已排序序列中從後向前掃描，找到相應位置並動態插入。

3.1 算法工作原理：

• 0-i 已為有序數列，i+1數列元素為待插入的元素。
• 從i->0向前比較找到i+1待插入元素的位置index，並依次向後挪出空位置。

插入排序

3.2 算法實現：

<code>public static int[] insertionSort(int[] array) {
   if (array.length == 0)
       return array;
   int current;
   for (int i = 0; i < array.length - 1; i++) {
       current = array[i + 1]; //待插入的元素
       int preIndex = i;
       while (preIndex >= 0 && current < array[preIndex]) { //已排序數列段中，找到待插入元素的index位置並向後挪位
           array[preIndex + 1] = array[preIndex];
           preIndex--;
       }
       array[preIndex + 1] = current; //插入元素
   }
   return array;
}/<code>

4、希爾排序（Shell Sort）

希爾排序(Shell's Sort)是插入排序的一種又稱“縮小增量排序”（Diminishing Increment Sort），是直接插入排序算法的一種更高效的改進版本。希爾排序是非穩定排序算法。該方法因D.L.Shell於1959年提出而得名。

希爾排序是把記錄按下標的一定增量分組，對每組使用直接插入排序算法排序；隨著增量逐漸減少，每組包含的關鍵詞越來越多，當增量減至1時，整個文件恰被分成一組，算法便終止。

4.1 算法工作原理：

我們來看下希爾排序的基本步驟，在此我們選擇增量gap=length/2，縮小增量繼續以gap = gap/2的方式，這種增量選擇我們可以用一個序列來表示，{n/2,(n/2)/2...1}，稱為增量序列。希爾排序的增量序列的選擇與證明是個數學難題，我們選擇的這個增量序列是比較常用的，也是希爾建議的增量，稱為希爾增量，但其實這個增量序列不是最優的。

具體算法描述：

• 先取一個正整數d1
• 然後取d2

4.2 算法實現：

<code>public static int[] ShellSort(int[] array) {
   int len = array.length;
   int temp, gap = len / 2; //增量默認值，可定義為length/2
   while (gap > 0) {
       for (int i = gap; i < len; i++) { //這個循環裡其實就是一個插入排序            
           temp = array[i];
           int preIndex = i - gap;
           while (preIndex >= 0 && array[preIndex] > temp) {
               array[preIndex + gap] = array[preIndex];
               preIndex -= gap;
           }
           array[preIndex + gap] = temp;
       }
       gap /= 2;//增量每次減半
   }
   return array;
}/<code>

5、歸併排序（Merge Sort）

歸併排序（MERGE-SORT）是建立在歸併操作上的一種有效的排序算法。該算法是採用分治法（Divide and Conquer）的一個非常典型的應用。

將已有序的子序列合併，得到完全有序的序列；即先使每個子序列有序，再使子序列段間有序。若將兩個有序表合併成一個有序表，稱為二路歸併。歸併排序是一種穩定的排序方法。

5.1 算法工作原理：

• 把長度為n的輸入序列分成兩個長度為n/2的子序列；
• 對這兩個子序列分別採用歸併排序；
• 將兩個排序好的子序列合併成一個最終的排序序列。

2-路歸併排序

5.2 算法實現：

<code>public static int[] MergeSort(int[] array) {
   if (array.length < 2) return array;
   int mid = array.length / 2;
   int[] left = Arrays.copyOfRange(array, 0, mid);
   int[] right = Arrays.copyOfRange(array, mid, array.length);
   return merge(MergeSort(left), MergeSort(right));
}
/**
* 將兩段排序好的數組結合成一個排序數組
*/
public static int[] merge(int[] left, int[] right) {
   int[] result = new int[left.length + right.length];
   for (int index = 0, i = 0, j = 0; index < result.length; index++) {
       if (i >= left.length)
           result[index] = right[j++];
       else if (j >= right.length)
           result[index] = left[i++];
       else if (left[i] > right[j])
           result[index] = right[j++];
       else
           result[index] = left[i++];
   }
   return result;
}/<code>

6、快速排序（Quick Sort）

快速排序（Quicksort）是對冒泡排序的一種改進，快速排序由C. A. R. Hoare在1960年提出。

基本思想是：通過一趟排序將要排序的數據分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有數據都比另外一部分的所有數據都要小，然後再按此方法對這兩部分數據分別進行快速排序，整個排序過程可以遞歸進行，以此達到整個數據變成有序序列。

6.1 算法工作原理：

快速排序使用分治法來把一個串（list）分為兩個子串（sub-lists）。具體算法描述如下：

• 從數列中挑出一個元素，稱為 “基準”（pivot）；
• 重新排序數列，所有元素比基準值小的擺放在基準前面，所有元素比基準值大的擺在基準的後面（相同的數可以到任一邊）。在這個分區退出之後，該基準就處於數列的中間位置。這個稱為分區（partition）操作；
• 遞歸地（recursive）把小於基準值元素的子數列和大於基準值元素的子數列排序。

快速排序

6.2 算法實現

<code>public static int[] QuickSort(int[] array, int start, int end) {
   if (array.length < 1 || start < 0 || end >= array.length || start > end) return null;
   int smallIndex = partition(array, start, end);
   if (smallIndex > start)
       QuickSort(array, start, smallIndex - 1);
   if (smallIndex < end)
       QuickSort(array, smallIndex + 1, end);
   return array;
}

public static int partition(int[] array, int start, int end) {
   int pivot = (int) (start + Math.random() * (end - start + 1));
   int smallIndex = start - 1;
   swap(array, pivot, end);
   for (int i = start; i <= end; i++)
       if (array[i] <= array[end]) {
           smallIndex++;
           if (i > smallIndex)
               swap(array, i, smallIndex);
       }
   return smallIndex;
}

/**
* 交換數組內兩個元素（根據下標index）
*/
public static void swap(int[] array, int i, int j) {
   int temp = array[i];
   array[i] = array[j];
   array[j] = temp;
}/<code>

7、堆排序（Heap Sort）

堆排序（英語：Heapsort）是指利用堆這種數據結構所設計的一種排序算法。堆是一個近似完全二叉樹的結構，並同時滿足堆積的性質：即子結點的鍵值或索引總是小於（或者大於）它的父節點。

7.1 算法工作原理：

• 將初始待排序關鍵字序列(R1,R2….Rn)構建成大頂堆，此堆為初始的無序區；
• 將堆頂元素R[1]與最後一個元素R[n]交換，此時得到新的無序區(R1,R2,……Rn-1)和新的有序區(Rn),且滿足R[1,2…n-1]<=R[n]；
• 由於交換後新的堆頂R[1]可能違反堆的性質，因此需要對當前無序區(R1,R2,……Rn-1)調整為新堆，然後再次將R[1]與無序區最後一個元素交換，得到新的無序區(R1,R2….Rn-2)和新的有序區(Rn-1,Rn)。不斷重複此過程直到有序區的元素個數為n-1，則整個排序過程完成。

堆排序

7.2 算法實現

注意：這裡用到了完全二叉樹的部分性質。

<code>static int len;
/**
* 選擇排序-堆排序
*
* @param array 待排序數組
* @return 已排序數組
*/
public static int[] HeapSort(int[] array) {
   len = array.length;
   if (len < 1) return array;
   //1.構建一個最大堆
   buildMaxHeap(array);
   //2.循環將堆首位（最大值）與末位交換，然後在重新調整最大堆
   while (len > 0) {
       swap(array, 0, len - 1);
       len--;
       adjustHeap(array, 0);
   }
   return array;
}
/**
* 建立最大堆
*/
public static void buildMaxHeap(int[] array) {
   //從最後一個非葉子節點開始向上構造最大堆
   for (int i = (len - 1) / 2; i >= 0; i--) {
       adjustHeap(array, i);
   }
}
/**
* 調整使之成為最大堆
*/ 

public static void adjustHeap(int[] array, int i) {
   int maxIndex = i;
   //如果有左子樹，且左子樹大於父節點，則將最大指針指向左子樹
   if (i * 2 < len && array[i * 2] > array[maxIndex])
       maxIndex = i * 2;
   //如果有右子樹，且右子樹大於父節點，則將最大指針指向右子樹
   if (i * 2 + 1 < len && array[i * 2 + 1] > array[maxIndex])
       maxIndex = i * 2 + 1;
   //如果父節點不是最大值，則將父節點與最大值交換，並且遞歸調整與父節點交換的位置。
   if (maxIndex != i) {
       swap(array, maxIndex, i);
       adjustHeap(array, maxIndex);
   }
}/<code>

8、計數排序（Counting Sort）

計數排序的核心在於將輸入的數據值轉化為鍵存儲在額外開闢的數組空間中。 作為一種線性時間複雜度的排序，計數排序要求輸入的數據必須是有確定範圍的整數。

計數排序(Counting sort)是一種穩定的排序算法。計數排序使用一個額外的數組C，其中第i個元素是待排序數組A中值等於i的元素的個數。然後根據數組C來將A中的元素排到正確的位置。它只能對整數進行排序。

8.1 算法工作原理：

• 找出待排序的數組中最大和最小的元素；
• 統計數組中每個值為i的元素出現的次數，存入數組C的第i項；
• 對所有的計數累加（從C中的第一個元素開始，每一項和前一項相加）；
• 反向填充目標數組：將每個元素i放在新數組的第C(i)項，每放一個元素就將C(i)減去1。

計數排序

8.2 代碼實現

<code>public static int[] CountingSort(int[] array) {
   if (array.length == 0) return array;
   int bias, min = array[0], max = array[0];
   for (int i = 1; i < array.length; i++) {
       if (array[i] > max)
           max = array[i];
       if (array[i] < min)
           min = array[i];
   }
   bias = 0 - min;
   int[] bucket = new int[max - min + 1];
   Arrays.fill(bucket, 0);
   for (int i = 0; i < array.length; i++) {
       bucket[array[i] + bias]++;
   }
   int index = 0, i = 0;
   while (index < array.length) {
       if (bucket[i] != 0) {
           array[index] = i - bias;
           bucket[i]--;
           index++;
       } else
           i++;
   }
   return array;
}/<code>

9、桶排序（Bucket Sort）

桶排序是計數排序的升級版。它利用了函數的映射關係，高效與否的關鍵就在於這個映射函數的確定。

桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假設輸入數據服從均勻分佈，將數據分到有限數量的桶裡，每個桶再分別排序（有可能再使用別的排序算法或是以遞歸方式繼續使用桶排序進行排。

9.1 算法工作原理

• 人為設置一個BucketSize，作為每個桶所能放置多少個不同數值（例如當BucketSize==5時，該桶可以存放｛1,2,3,4,5｝這幾種數字，但是容量不限，即可以存放100個3）；
• 遍歷輸入數據，並且把數據一個一個放到對應的桶裡去；
• 對每個不是空的桶進行排序，可以使用其它排序方法，也可以遞歸使用桶排序；
• 從不是空的桶裡把排好序的數據拼接起來。

注意，如果遞歸使用桶排序為各個桶排序，則當桶數量為1時要手動減小BucketSize增加下一循環桶的數量，否則會陷入死循環，導致內存溢出。

桶排序

9.2 代碼實現

<code>public static ArrayList<integer> BucketSort(ArrayList<integer> array, int bucketSize) {
   if (array == null || array.size() < 2)
       return array;
   int max = array.get(0), min = array.get(0);
   // 找到最大值最小值
   for (int i = 0; i < array.size(); i++) {
       if (array.get(i) > max)
           max = array.get(i);
       if (array.get(i) < min)
           min = array.get(i);
   }
   int bucketCount = (max - min) / bucketSize + 1;
   ArrayList<arraylist>> bucketArr = new ArrayList<>(bucketCount);
   ArrayList<integer> resultArr = new ArrayList<>();
   for (int i = 0; i < bucketCount; i++) {
       bucketArr.add(new ArrayList<integer>());
   }
   for (int i = 0; i < array.size(); i++) {
       bucketArr.get((array.get(i) - min) / bucketSize).add(array.get(i));
   }
   for (int i = 0; i < bucketCount; i++) {
       if (bucketCount == 1)
           bucketSize--;
       ArrayList<integer> temp = BucketSort(bucketArr.get(i), bucketSize);
       for (int j = 0; j < temp.size(); j++)
           resultArr.add(temp.get(j));
   }
   return resultArr;
}/<integer>/<integer>/<integer>/<arraylist>/<integer>/<integer>/<code>

10、基數排序（Radix Sort）

基數排序也是非比較的排序算法，對每一位進行排序，從最低位開始排序，複雜度為O(kn),為數組長度，k為數組中的數的最大的位數；

基數排序是按照低位先排序，然後收集；再按照高位排序，然後再收集；依次類推，直到最高位。有時候有些屬性是有優先級順序的，先按低優先級排序，再按高優先級排序。最後的次序就是高優先級高的在前，高優先級相同的低優先級高的在前。基數排序基於分別排序，分別收集，所以是穩定的。

10.1 算法工作原理

• 取得數組中的最大數，並取得位數；
• arr為原始數組，從最低位開始取每個位組成radix數組；
• 對radix進行計數排序（利用計數排序適用於小範圍數的特點）；

基數排序

10.2 代碼實現

<code>public static int[] RadixSort(int[] array) {
   if (array == null || array.length < 2)
       return array;
   // 1.先算出最大數的位數；
   int max = array[0];
   for (int i = 1; i < array.length; i++) {
       max = Math.max(max, array[i]);
   }
   int maxDigit = 0;
   while (max != 0) {
       max /= 10;
       maxDigit++;
   }
   int mod = 10, div = 1;
   ArrayList<arraylist>> bucketList = new ArrayList<arraylist>>();
   for (int i = 0; i < 10; i++)
       bucketList.add(new ArrayList<integer>());
   for (int i = 0; i < maxDigit; i++, mod *= 10, div *= 10) {
       for (int j = 0; j < array.length; j++) {
           int num = (array[j] % mod) / div;
           bucketList.get(num).add(array[j]);
       }
       int index = 0;
       for (int j = 0; j < bucketList.size(); j++) {
           for (int k = 0; k < bucketList.get(j).size(); k++)
               array[index++] = bucketList.get(j).get(k);
           bucketList.get(j).clear();
       }
   }
   return array;
}/<integer>/<arraylist>/<arraylist>/<code>

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