二次函數最值問題的重要性毋庸置疑，其貫穿了整個中學數學，是中學數學的重要內容之一，也是學好中學數學必須攻克的極為重要的問題之一。二次函數在閉區間上的最值問題是二次函數最值問題的典型代表，其問題類型通常包括不含參數和含參數二次函數在閉區間上的最值問題、二次函數在閉區間上的最值逆向性問題以及可轉化為二次函數在閉區間上最值的問題，在此類問題的解決過程中，涉及數形結合、分類討論等重要數學思想與方法。
中考中多涉及到含參數二次函數在閉區間上的最值問題，很多學生不習慣數形結合及分類討論思想的運用，極易導致解題失誤或錯誤。
經典考題
類型1 求解自變量在不同區間裡二次函數最值
1．（2019•大興區一模）已知二次函數y＝x²﹣2x+3，當自變量x滿足﹣1≤x≤2時，函數y的最大值是______．
【解析】先根據二次函數的已知條件，得出二次函數的圖象開口向上，再根據變量x在﹣2≤x≤1的範圍內變化，再分別進行討論，即可得出函數y的最大值．
∵二次函數y＝x²﹣2x+3＝（x﹣1）²+2，
∴該拋物線的對稱軸為x＝1，且a＝1＞0，
∴當x＝1時，函數有最小值2，
當x＝﹣1時，二次函數有最大值為：（﹣1﹣1）²+2＝6，故答案為6．
2．（2019•新華區校級自主招生）已知函數y＝x²﹣2x+3在閉區間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值範圍是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
【解析】：∵二次函數y＝x²﹣2x+3＝（x﹣1）²+2，
∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝1，頂點座標為（1，2），與y軸的交點為（0，3）.其大致圖象如圖所示：由對稱性可知，當y＝3時，x＝0或x＝2，
∵二次函數y＝x²﹣2x+3在閉區間[0，m]上有最大值3，最小值2，
∴1≤m≤2．故選：C．
3．（2019•鄭州模擬）二次函數y＝x²﹣4x+a在﹣2≤x≤3的範圍內有最小值﹣3，則a＝ ．
【解析】：y＝x²﹣4x+a＝（x﹣2）²+a﹣4，
當x＝2時，函數有最小值a﹣4，
∵二次函數y＝x²﹣4x+a在﹣2≤x≤3的範圍內有最小值﹣3，
﹣2≤x≤3，y隨x的增大而增大，
∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案為1．
4．（2019•邯鄲模擬）對於題目"二次函數y＝3/4（x﹣m）²+m，當2m﹣3≤x≤2m時，y的最小值是1，求m的值．"甲的結果是m＝1，乙的結果是m＝﹣2，則（ ）
A．甲的結果正確
B．乙的結果正確
C．甲、乙的結果合在一起才正確
D．甲、乙的結果合在一起也不正確
【解析】根據對稱軸的位置，分三種情況討論求解即可求得答案，然後判斷即可．
二次函數的對稱軸為直線x＝m，
①m＜2m﹣3時，即m＞3，y的最小值是當x＝2m﹣3時的函數值，
此時3/4（2m﹣3﹣m）²+m＝1，
因為方程無解，故m值不存在；
②當2m﹣3≤m≤2m時，即0≤m≤3時，二次函數有最小值1，
此時，m＝1，
③當m＞2m時，即m＜0，y的最小值是當x＝2m時的函數值，
此時，3/4（2m﹣m）²+m＝1，
解得m＝﹣2或m＝2/3，
∵m＜0，∴m＝﹣2,所以甲、乙的結果合在一起正確，故選：C．
類型2 二次函數區間最值解決實際問題
利用二次函數解決實際問題，最常見的為利潤問題和費用最低等問題，首先根據題中常見的等量關係建立二次函數模型，然後利用二次函數確定最值，注意要考慮自變量在實際問題中的取值範圍。如利潤問題，可歸納為以下一般步驟：
（1）找出利潤與售價之間的函數解析式（注意自變量的取值範圍）；
（2）將二次函數的解析式表達成頂點式；
（3）結合自變量的取值範圍求得最值，即求得最大利潤。
5．（2019秋•福州期末）為了測量某沙漠地區的溫度變化情況，從某時刻開始記錄了12個小時的溫度，記時間為t（單位：h），溫度為y（單位：℃）．當4≤t≤8時，y與t的函數關係是y＝﹣t²+10t+11，則4≤t≤8時該地區的最高溫度是（ ）
A．11℃ B．27℃ C．35℃ D．36℃
【解析】首先確定二次函數的最大值，然後結合自變量的取值範圍確定答案即可．∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）²+36，
∴當t＝5時有最大值36℃，
∴4≤t≤8時該地區的最高溫度是36℃，故選：D．
6．（2020•鄭州一模）使用家用燃氣灶燒開同一壺水所需的燃氣量y（單位：m³）與旋鈕的旋轉角度x（單位：度）（0°＜x≤90°）近似滿足函數關係y＝ax²+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某種家用節能燃氣灶燒開同一壺水的旋鈕的旋轉角度x與燃氣量y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節省燃氣的旋鈕的旋轉角度約為（ ）
A．33° B．36° C．42° D．49°
【解析】由圖象可知，物線開口向上，該函數的對稱軸x＞(18+54)/2且x＜54，∴36＜x＜54，即對稱軸位於直線x＝36與直線x＝54之間且靠近直線x＝36，故選：C．
7.（2020•青羊區模擬）某廠按用戶需求生產一種產品，成本每件20萬元，規定每件售價不低於成本，且不高於40萬元．經市場調查，每年的銷售量y（件）與每件售價x（萬元）滿足一次函數關係，部分數據如下表：
（1）求y與x之間的函數表達式；
（2）設商品每年的總利潤為W（萬元），求W與x之間的函數表達式（利潤＝收入﹣成本）；
（3）試說明（2）中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，並指出售價為多少萬元時獲得最大利澗，最大利潤是多少？
【分析】（1）根據題意可以設出y與x之間的函數表達式，然後根據表格中的數據即可求得y與x之間的函數表達式；
（2）根據題意可以寫出W與x之間的函數表達式；
（3）根據（2）中的函數解析式，將其化為頂點式，然後根據成本每千克20元，規定每千克售價不低於成本，且不高於40元，即可得到利潤W隨售價x的變化而變化的情況，以及售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少．
【解析】：（1）設y與x之間的函數解析式為y＝kx+b（k≠0），
將x=25,y=50; x=30,y=40,代入得25k+b=50, 30k+b=40,
解得，k=-2,b=100.
即y與x之間的函數表達式是y＝﹣2x+100；
（2）由題意可得，
W＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x²+140x﹣2000，
即W與x之間的函數表達式是W＝﹣2x²+140x﹣2000；
（3）∵W＝﹣2x²+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）²+450，20≤x≤40，
∴當20≤x≤35時，W隨x的增大而增大，當35≤x≤40時，W隨x的增大而減小，
當x＝35時，W取得最大值，此時W＝450，
答：當20≤x≤35時，W隨x的增大而增大，當35≤x≤40時，W隨x的增大而減小，售價為35元時獲得最大利潤，最大利潤是450元．
8．（2019秋•萊山區期末）某食品廠生產一種半成品食材，成本為2元/千克，每天的產量P（百千克）與銷售價格x（元/千克）滿足函數關係式p＝1/2x+8．從市場反饋的信息發現，該食材每天的市場需求量q（百千克）與銷售價格x（元/千克）滿足一次函數關係，部分數據如表：
已知按物價部門規定銷售價格x不低於2元/千克且不高於10元/千克
（1）直接寫出q與x的函數關係式，並註明自變量x的取值範圍
（2）當每天的產量小於或等於市場需求量時，這種食材能全部售出；當每天的產量大於市場需求量時，只能售出市場需求的量，而剩餘的食材由於保質期短作廢棄處理
①當每天的食材能全部售出時，求x的取值範圍；
②求廠家每天獲得的利潤y（百元）與銷售價格x的函數關係式；
（3）在（2）的條件下，當x為多少時，y有最大值，並求出最大利潤
【分析】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然後結合實際選擇最優方案.
【解答】：（1）由表格的數據，設q與x的函數關係式為：q＝kx+b
根據表格的數據得2k+b=12,4k+b=10,，解得k=-1,b=14，
故q與x的函數關係式為：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10
（2）①當每天的半成品食材能全部售出時，有p≤q
即1/2x+8≤﹣x+14，解得x≤4
又2≤x≤10，所以此時2≤x≤4
②由①可知，當2≤x≤4時，
方法總結
二次函數在自變量的給定範圍內，對應的圖象是拋物線上的一段．那麼最高點的縱座標即為函數的最大值，最低點的縱座標即為函數的最小值。
解決二次函數最值問題，若遇見對稱軸和取值範圍都給定，可分為對稱軸在取值範圍內和不在取值範圍內兩種情形。
若對稱軸在取值範圍內，頂點為最值點，（開口向上為最小值，開口向下為最大值），離對稱軸較遠的一個端點為另一個最值點（前者是最大值則後者是最小值，否則為最大值）。
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