在我們的現代生活中，數學幾乎是一切行業的基石，也是許多人求學生涯中的最大夢魘。然而數學作為一門由人類“發明“出來的學科，在其發展的過程中，其實遇到很多次危機，所謂的危機，就是指那些對於當時的數學理論構成顛覆性挑戰的問題，例如曾讓畢達哥拉斯對自己學生痛下毒手的無理數存在，或者是更晚近的負數存在，和本文想介紹的無限。
這些問題都嚴重地挑戰了當時的數學理論，也令當時的數學家痛苦不已，因為以當時的數學工具與觀念，這些問題是頭野獸，把他們的數學理論啃食地殘破不堪，而數學家們又無力解決，最後往往只能“解決“提出問題的人。所幸在當代，這些問題早已有和諧地融入數學理論，共同構築了我們的現代社會。而今天我們就要來看看，在數學歷史上最重要的危機之一，無限的存在。
說到無限，這可能是很多人從小就隱隱約約能體會到的概念，
我們或許會在某個與同學遊戲的瞬間察覺到，數數是一個停不下來的遊戲，因為我們總可以永無止盡地在現有的數字上加1，貌似永遠找不到一個最大的數字，這或許是大家接觸無限的共同經驗。而對於我們的先民，他們對無限也是起源於類似的情境，只是他們面對的是廣袤的星空，他們數的是星星。十七世紀的法國數學家帕斯卡就曾說：『當面對周遭太空的潛無限，還有和永恆時間相比，我的生命又是多麼短暫，這時，敬畏和恐慌便油然而生。』夜空黝黑一片，滿布明亮天體，這是古代生活的非凡特徵。這帶來故事靈感，提供導航作法，也誘人崇拜。這讓人類覺得，自己在廣大宇宙間有個地位，而且是種謙遜的地位。
在繁星點點的暗夜之中，我們顯然只是毫不起眼的一點，黑暗不斷擴展，說不定還永不止息。它要怎樣終止？再一次，宇宙邊際的觀念，比宇宙無邊際的觀點更難掌握。這種邊際之外是哪種世界，還有它會是在哪裡？
這類對於大自然觀察地的直覺，後來經過人們的思維加工而逐步形成數學中的潛無限和實無限概念，這主要是亞里斯多德的貢獻。他首先提出潛無限和實無限之辯。
他認為無限是一個理想中存在的概念(潛無限)，以人類的理性推理，無限應該存在，但在現實生活的觀察中，我們不可能觀察到真正以無限形式存在的個體(實無限)，也就是說，無限只是一個概念。自亞里斯多德起，逐步在哲學家和數學家中分裂而成潛無限派和實無限派。
例如， 亞里斯多德 (Aristotle， 公元前384—公元前 322)、 高斯 (K.F. Gauss， 1777-1855)、 克羅內克 (L. Kronecker， 1823-1891)、 布勞威爾 (L.E.J. Brouwer， 1881-1966) 以及現代直覺主義者等都屬於潛無限派; 萊布尼茲 (G.W. Leibniz， 1646-1716)、羅素 (B. Russell，1872-1970)、 希爾伯特(D. Hilbert， 1862-1943) 以及現代柏拉圖主義者等
都屬於實無限派。無限概念在我國戰國時代即已出現， 古 代美學家莊周 (約公元前369—公元前286， 一說公元前369—公元前289) 在 《莊子》一書中曾提出: “一尺之棰， 日取其半， 萬世不竭。” 三國時代的劉徽在利用“割圓術”計算圓面積時， 曾經說過:“割之彌細， 所失彌少， 割之又割， 以至不可割， 則與圓無所失矣。” 這都是潛無限論。
而《莊子》一書中所說的“至大無外謂之大一， 至小無內謂之小一。 ” 這乃是實無限論。 其中“大一”即是無限大， “小一”即是無限小。
雖然對於無限的概念是起於數學，但是西方的思想家們並未在數學上深耕(東方也只限於哲學上的探討)，而是很快便把思辨的戰場轉移到神學之上。因為無限使當時的人們聯想到了上帝，認為無限會動搖時間的存在，也會動搖基督教神學中所認為的全知上帝的存在。
他們假定，上帝應該是無限的(背後代表著全知全能的意思)，但又擔心一旦無限被數學家在紙上搞清楚了，上帝也連帶著被說清楚了，這是一種對於上帝的褻瀆。可以說，綜觀整個文藝復興時期，科學家與哲學家就圍繞著，該不該去搞清楚無限，討論了好幾百年，這當中就牽涉到許多人類歷史上最聰明的腦袋如伽利略和笛卡兒等人。
笛卡兒甚至被無限困擾到不行，最後不得不依靠一些文字的技巧，試圖在論述中用不定(indefinite)來取代無限(infinite)，藉此避開直接討論無限本身，甚至最後主張
人類不應該去研究無限，無限是個完完全全的神學問題，或著說是上帝的私事。
伽利略算是第一個對於無限有進一步理解的人，他透過一個簡單的數學示範，歸納出一些無限的性質。他指出，假設我們列出所有正整數，那個這個數列必定是無限長的，倘若我們把這個數列中的每個數都平方，我們可以得到一個新數列，新數列的長度必定與原數列相等，但是奇妙的是，新數列中的每個數，必定會存在於原數列，
因為原數列包含所有正整數，因此原數列一定比新數列長。這是無限最有名的悖論之一，伽利略並未直接回答這個悖論，卻歸納出結論：『我們不能講，某無限數是大於或小於或等於另外一個無限數。』伽利略無疑是人類歷史上最聰明的腦袋之一，他的這個數學示範，說服了後來數百年的數學家，讓他們認為無限是一個無法比較的概念。
儘管在伽利略之後，雖然人類仍無法準確地把握無限的概念，但還是許多後起之秀把人類的知識領域往前大大推進。16世紀和17世紀是實無限的黃金時代， 於17世紀後半期由牛頓 (I. Newton， 1642- 1727) 和萊布尼茲 (G.W. Leibniz， 1646- 1716) 創建了微積分，微分學的基本概念，“導數，是兩個無限小之商，積分學的基本概念， “積分”，則是無限多個無限小之和。
因而， 微積分也被稱為“無限小分析”。 這時所說的無限是一種實無限。然而，被譽為數學王子的高斯 (K.F. Gauss， 1777-1855) 是堅決地反對實無限論的。他說:“
無限量不能當作實體，這在數學的框架中是從來都不允許的。無限只能算是一種敘述方式，當人們談到極限時，是指某些比值可以任意近地趨近於無限，而另一些則是允許沒有界限的增加。”
此後從18世紀末到19世紀末這之間約一百年的時間內， 數學便是在這個基調下發展中，而當中主要是潛無限為主導作用。法國的數學家柯西(A.L.Cauchy， 1789-1857) 藉由創立極限論，為整個微積分體系奠定了理論基礎， 這背後正是潛無限的思想。
由柯西所建立的微積分體系，可說是排除了統治長達三個世紀之久的實無限論。雖然經過幾百年來數學家的努力，人類慢慢地能夠看清無限的些許輪廓，但對於無限的本質還是處於一個相當粗淺的認識，直到後來一個人的出現，才打破了這個局面，他就是著名的數學家，喬治．康託。實無限論者喬治•康託 (Georg Cantor， 1845-1918) 是數學史上最富有想像力的數學家之一，他所創立的無限集合理論， 在數學界引起了激烈的爭論， 甚至是嚴厲的譴責，最後也導致其不幸的下場。
然而， 也有許多卓越的數學家深為康託的思想所啟發， 德國著名的數學家希爾伯特在1926年的公開演講中曾經說過: “沒有任何人能把我們從康託所創造的樂園中驅除出去”。對於康託的思想成果，希爾伯特更進一步讚譽為“數學思想的最驚人的產物， 在純粹理性的範疇中人類活動的最美的表現之一“。
康託認為數學要取得進展， 必須肯定實無限的合理性。 他寫道:“任一潛無限都必然導致超限，離開了後者，潛無限是無法想像的。”康託以一種新的數學論述(不可列無窮小數)指出，無限不僅是不可列的，而且還是不能克服的，他還發現，無限是可以無止境遞升的，世界上不存在可以所有無限的最大無限。
從這個發現康託開始研究無限集合， 並且利用集合中元素之間的一一對應， 定義了無限基數， 利用自然數的的序數，引出無限序數，從而形成無限數論，成為後世對無限概念的理解基石。當然這種顛覆性的思想在一開始並未收到同行的認同，甚至是他的至交好友都為此與他絕交，這讓康託在身心上都受到嚴重的打擊，最後罹患嚴重的精神疾病，這位一代數學天才，最後竟然是在精神病院中孤獨去世。
無限是現代數學的基石，但也是千百年來數學家的夢魘。或許人類知識的進展就是如此，需要一代代絕頂聰明的腦袋前仆後繼，才可讓我們這些後人清閒地乘涼於他們種下的大樹之下。
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