（一）。人類數學中最大未解之謎——素數的定理！
素數，指大於1的自然數中，除了1和本身外，不能被其他自然數整除的數，如：2，3，5，7，11……，通常用“p”表示。
素數的分佈規律至歐幾里德以來就是個迷。今天，我們來認識下，素數的重要分佈規律——素數定理。這是目前發現的，最重要的且被證明限制素數分佈的定理之一。
歐幾里德在大約公元前300年，就漂亮地證明了素數的無限性，從此人們開始了尋找素數公式的歷程。
大數學家歐拉在給丹尼爾·伯努利的一封信中寫道："素數的計算公式，在我們這輩子可能找不到了。不過，我還是想用一個式子來表達它，但並不能表示出所有素數。n^2-n+41，n等於1到40"。
歐拉給出的這個多項式，在n=41時失效了，後來哥德巴赫給歐拉的信中提到："一個整係數多項式，是不可能對所有整數取到素數的，但有些多項式可以得到很多素數。"
後來歐拉漂亮地證明了哥德巴赫的這個猜想，歐拉對數論的貢獻相當多，數論四大定理之一就有個——歐拉定理，而歐拉的素數乘積式，是開啟黎曼猜想的金鑰匙。
歐拉乘積式
對素數的研究，歐拉過後，直到高斯才有了進展，大約在1792年，15歲的高斯就發現，素數在自然數中的分佈密度，趨近於類似於對數積分的函數。
同時期的數學家勒讓德(A.M.Legendre)也提出了等價的猜想，但他們都無法對其證明，至此，這個問題成了數學界的頂級難題，甚至在數學界流傳著：如果誰證明了這個猜想，那麼他將會得到永生。
證我者，得永生！
直到一百多後的1896年，這個猜想才被兩位年輕的數學家阿達馬和德·拉·瓦萊布桑獨立證明，他們的證明都是根據黎曼的思路走的，其中運用到了高深的整函數理論，至此，這個猜想正式升級為定理——素數定理（PNT）。
素數定理
值得一提的，他們兩人一個活了96歲，一個活了98歲。
素數定理還有個初等表達式：
素數定理初等表達式
該定理可以推出很多有趣的結論，比如：
N是素數的概率～1/lnN；
第N個素數～NlnN； 這個素數定理所要表達的中心意思為：，當自然整數很大時，用這個素數定理求得的數量越來越接近於在自然整數中所存有的實際素數的含有量。
這兩個推論和PNT互為充要條件。
雖然我們有了PNT，但是PNT給出的絕對誤差實在是糟糕透了，比如第10000個素數104729，而PNT給出的是92103，這是數學家不能接受的，我們想要的是準確的素數公式。
直到黎曼在1859年才給出了π(x)的準確表達式：
黎曼關於素數計數函數π(x)的表達式
但是該表達式基於一個猜想為前提，即大名鼎鼎的黎曼猜想，至今乃是數學界待解決的重要猜想。
（二）。它會無情的走向它的反面。
雖然我們有了PNT，但是PNT給出的絕對誤差實在是糟糕透了，比如第10000個素數104729，而PNT給出的是92103，這是數學家不能接受的，我們想要的是準確的素數公式。但僅僅如此嗎。 你只要畫一個四象線的圖形，在這個四象限圖形垂直的兩條垂直線之外，在第一象限內任意一點處經過0點作一條直線，再向第三象限內延長。
如果把四限限橫線等於自然整數中所含有的素數量，把作成的直線等於高斯素數定理所求的含有素數量，那麼，當高斯素數定理所求在自然數整數中的素數含有量接近實際含有量相符時，也就是說，接近四像限中的零點時，表明了素數定理的正確性，那麼再計算下去呢，根據對頂角相等的性質，得出一個定論，總能誤差一樣多，如果再計算下去呢，它將失去原有的意義。
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