N維數學

質數的個數是無限的嗎？還是說存在一個最大的質數，比它大的任何數字都可以表示為已有質數的乘積？

為了驗證這個命題，我們暫且假設質數的個數是有限的，並用字母N來代表已知最大的質數。現在，我們將所有質數相乘，最後再加1，數學式如下：

(1×2×3×5×7×11×13×…×N)+1

這個式子得出的結果當然比所謂的“最大質數”N大得多，但是這個數顯然不能被任何一個質數（最大到N為止）整除，因為它是用上面這個式子構建出來的。根據這個數學式，我們可以清晰地看到，無論用哪個質數去除它，最後必然得到餘數1。

因此，我們得到的這個數字要麼是個質數，要麼能被一個大於N的質數整除，無論哪個結果都必將推翻我們最初的假設：N是最大的質數。所以最大質數並不存在。

科學大爆炸OS

質數一直受數學家的關注與探索。在2000多年前，人們就在思考到底有沒有最大的素數？素數有多少個？

一、什麼是素數

質數又稱素數。一個大於1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數；否則稱為合數。

二、素數尋找算法

燈泡是由1000以內的素數構成！1000以內素數共有168個，它們分別是：

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997

那麼如何尋找素數呢？

在公元前2世紀希臘數學家埃拉託斯特尼（Eratosthenes），就已經提出了一個非常簡單而且有效的素數篩法，我們稱之為埃拉託斯特尼篩法（Sieve of Eratosthenes）。核心是：要得到自然數n以內的全部素數，必須把不大於根號n的所有素數的倍數剔除，剩下的就是素數。

一個埃拉託斯特尼篩法的例子

三、梅森素數

素數當中，有一類素數非常特別，形如2的p次方減1，17世紀法國數學家馬林·梅森對它進行了深入研究。梅森（Marin Mersenne）是一位法國神學家兼數學家，他在17世紀早期曾對這類數字展開過研究。為了紀念梅森的貢獻，學界把這種數稱之為梅森數，如果梅森數為素數，則稱之為梅森素數。

梅森素數是指那些可以被表示為2ⁿ-1的數，其中“n”為整數。它們以馬林·梅森的名字來命名。

舉例來說，3就是梅森素數，它可以記成2ⁿ-1的形式，即2²-1。不過，並不是所有能夠以這種形式表達的整數都是素數。譬如當n=4時，所得結果為2^4 -1=15，15不是素數，因為它可以被3和5整除。

2017年12月26日，數學界發生一件大事，美國一位普通的電氣工程師Jonathan Pace，在他成為GIMPS計劃志願者的第14個年頭，找到第50個梅森素數，即2的77232917 次方減1，這是目前為止人類發現的最大素數，共計

（2018年12月7日在美國佛羅里達州，一個叫PatrickLaroche的志願者發現了迄今為止我們能找到的最大質數——2^82,589,933-1，有24,862,048位）

2017年日本出版了一本暢銷書《2017最大的質數》，整本書只有寫一個數字“2的74207281次方減1”，光一個質數就印了719頁，足有2233萬位數，你可以想象一下，這數到底有多麼大。更莫名其妙的是，這本書居然賣得極好，就連出版商的嚇了一跳。

這麼大的天文數字，究竟是花多少時間算出來的？而下一個數字又何時會出現？這可能是我們看到新聞的疑問，但相信人們更好奇的是，人類為何要一直用超強電腦找“最大質數”，就算找到了又有甚麼意義，是吃飽太撐嗎？難不成每年都要出一本《最大的質數》？

俗話說“數學為科學之母”，人類研究數學的行為本身，起初都沒有目的性，純粹只是為求真理，但這些看似沒有用的理論與計算，很有可能在未來成為人類文化的重要科學工具。17世紀牛頓、萊布尼茲發明微積分時，相信也沒甚麼人覺得有用，但如今積分的數學原理，卻奠定了現今工程學的所有基礎，路上的橋墩與路面，都是千千萬萬的數學所構成。

但這些都不足以解釋為何人們要不斷找“更大的質數”，這些跟我們的生活有相關嗎？

事實上是有的，但就現階段來說，與“數學難題”有比較大的關係。近期學術界最大的新聞，便是在9月24日，英國麥可·阿蒂亞爵士宣稱他破解了“黎曼猜想”，這是個數學界159年以來未解的謎題，美國克雷數學研究所在2001年甚至不惜端出100萬美元獎金，來給解決這個難題的人。

由於數學的部分實在太難了，簡單來說，黎曼是個超級數學天才，他生平前找到了一個跟質數表達形式有密切關係的公式，只是他無法證明這是否正確。

為了解決這個名譽與獎金，無數的數學家投身進入研究，但也都無法證明它，既然無法證明它是對的，那我只要找到反例就行了，於是無數的科學家開始使用電腦與大型計算機，不斷算出新的質數來驗證“黎曼猜想”，也就是說，這些每年找“最大質數”的閒事，其實是科學發展上非常重要的一環。

2001年IBM甚至開啟了科學項目“ZetaGreat”大型計算機，計算了1兆個數字，發現全部都符合黎曼的預測，也就是說，黎曼猜想是對的，但沒有人可以證明，只能無限地運算更大的數字來推翻。

四、素數有無限個的證明

素數是無限的還是有限的？兩千年前的古希臘數學家歐幾里得證明了這個問題，被認為是經典之作。以後又出現十幾種證明方法。例如歐拉的證明。他是如何證明的呢？

證明:假設素數沒有無限個.設它們為P1.P2.P3.P4.……Pn.設素數集合為S，

不妨再設實數a=P1*P2*P3*P4*……*Pn+1，則a不屬於S，因此a為合數，且a不能被任何素數整除。又由於合數a必然能分解出質因子，設其為p，則p必然為素數，且p能整除a。這與a不能被任何素數整除矛盾。所以假設不成立，素數有無限個。

五、相關猜想

哥德巴赫猜想：是否每個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和？

孿生素數猜想：孿生素數就是差為2的素數對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數？

黎曼猜想：關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分佈的猜想，由數學家波恩哈德·黎曼（1826～1866）於1859年提出。德國數學家希爾伯特列出23個數學問題。其中第8問題中便有黎曼假設。素數在自然數中的分佈並沒有簡單的規律。黎曼發現素數出現的頻率與黎曼ζ函數緊密相關。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數ζ(s)非平凡零點（在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點的值）的實數部份是1/2。即所有非平凡零點都應該位於直線1/2 + ti（“臨界線”（critical line））上。t為一實數，而i為虛數的基本單位。

最後的最後，都翻到這麼後面了，再獎勵你一個知識點！

（狄利克雷定理：對於任意互質的正整數a,b, 有無數個形如an + b的質數。其中n是正整數）

參考文獻：

Aran Young， VOA數學，存在最大的素數麼？歐幾里得告訴你答案

中學數學深度研究

這個問題是歐幾里得最早提出並研究的，他給出了一個簡潔明瞭的論證方法，證明了質數的數量是無窮的，因此並不存在所謂的“最大質數”。

為了驗證這個問題，我們假設所有已知質數的數量是有限的，並用字母N來表示已知的最大質數，現在讓我們計算所有已知質數的乘積並加1，用以下算式表示：

（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1

這個數當然比我們所提出的最大質數N要大得多，但是，這個數顯然不可能被我們已知的任何質數（最大到N，也包括N）整除，因為從它的結構來看，用其他任何質數來除這個數都會留下餘數1。

因此，這個數字要麼本身就是個質數，要麼就必須能被比N還大的質數整除，但這兩種情況都與我們最開始的假設“N為已知的最大質數”相矛盾。

這種檢驗方法叫作歸謬法，也叫反證法，是數學家們最喜歡用的方法之一。

求真思哲

假設存在最大的質數，

記這個質數為M。

設N=2x3x5x7x..........xM+1，即N為從2至M的質數的乘積再加1，那麼N除以2餘1，除以3餘1......除以M餘1，即N不能為2至M中所有的質數所整除。

那麼，

若N為質數，則N必定大於M，與開始假設M為最大的質數相矛盾。

若N為合數，那麼因為它不能為2至M中所有的質數所分解，那麼必定存在一個質數P是N的質因數，且P>M，與開始假設M為最大的質數相矛盾。

所以，不存在最大的質數。

新鮮驚喜

畢達哥拉斯的證明

假設質數只有有限個，p是最大質數，則可以求出所有不大於P的質數的乘積S。令N=S+1，那麼N不能被不大於P的質數整除。這與假設矛盾。故質數必有無限個。

全都是考驗

世間的哲理是：沒有最大，只有無限！（七情六慾的）慾望也是如此！

國際歌

不存在最大的質數。自然數是無窮的，質數作為自然數的特殊節點，質數也必然是無窮的。

宇宙天體物理

這個問題上千年前已經解決了，世界上沒有最大的質數。其證明方法，簡潔明瞭，異軍突起，堪稱一絕。

牛小歪

不會存在。

快樂要永恆生命須怒放

不存在

關鍵字: 最大 存在 質數