5.純數學成就GOAT：黎曼
黎曼
如果只論純數學學術成就，不涉及其他指標標準，只以純數學成就論，黎曼是毫無疑問的全數學史第一人！
黎曼幾何和黎曼複分析兩項創世成就，任何一項成就單獨拿出來，都是足以與微積分、群論媲美的蓋世神作！
黎曼並不在意證明定理，他甚至不在意證明的嚴格性，他只做自由自在的創造，而他的每一個數學創造，無不洞悉數學最本質的秘密，既能建立起宏大的理論基礎，也能解決極端困難的具體計算難題，黎曼從不在邊邊角角上多做停留，他總是直奔目標，他直接打通了各個數學分支的聯繫和隱秘的關係！
流形：現代幾何學基礎。
黎曼曲面：分析、幾何、代數大一統的基本自然數學構造。
黎曼度量：用計算構造取代公理化構造，統一微分幾何、歐氏幾何、羅氏非歐幾何、橢圓幾何。
黎曼洛赫定理：聯繫幾何拓撲與分析。
解析數論：聯繫分析與數論。
雙有理變換：聯繫幾何、分析與代數。
……
在黎曼理論剛誕生的時候，是如此的奇怪，如此的晦澀難懂，他引入的新概念新計算構造是如此的複雜離奇，和當時的數學完全不同，如果不是他結論的美麗宏大，估計就要被束之高閣了。但隨著時間的流逝，數學界驚奇的發現，現代數學的進展，黎曼幾乎早已預見，現代數學的發展，都在黎曼理論的基石上，黎曼理論才是正確打開現代數學和理論物理的正確方式。黎曼的理論，轟鳴至今，越來越深刻的成為今天數學的基石。
黎曼奇特的數學創造猶如天外飛仙，是如此的深奧與絢爛，他參破了數學的本質，在他的眼裡，不同學科分支其實只是不同形式表現的同一個事物。
黎曼是現代數學的開山祖師，是現代數學的起點，幾乎一切現代數學或多或少都可以追溯到黎曼這裡，現代數學依然在黎曼數學思想的光輝照耀下前行，隨著時間的流逝，黎曼在數學中的印記越來越深刻！
黎曼一生著作極少，但每次一出手，都是數學史上最頂端的成果，猶如小李飛刀，從不落空！幾乎每一篇都開創了一個全新的數學領域，這偉大的創造力足以碾壓歷史，震撼百代！
為什麼不是牛頓？如果除去物理和其他所有指標標準，只論數學成就，黎曼一篇解析數論的論文就能秒殺爵爺除微積分外所有成就！別說爵爺最多隻能佔微積分一半開創之功，即使整個微積分都是爵爺開創的，黎曼幾何或黎曼複分析任意一項都能與微積分開創不分上下！很多業餘粉以為微積分開創是數學史最偉大的成就，其實這是一個普遍的誤區，微積分開創當然是無與倫比的偉大創世成就，但只是最偉大的數學成就之一，有之一！和微積分開創具有同等地位和意義的創世成就還有好幾個！比如群論，抽象代數，拓撲學，集合論，分析基礎，當然，黎曼幾何與黎曼複分析同樣是與微積分開創一個檔次的創世成就。有粉絲說微積分誕生後，才有了現在的數學，微積分統治一切，其實挺可笑的。先不論牛頓微積分的邏輯基礎和獨立性的問題，微積分當然是一切數學的基礎，但柯西魏爾斯特拉斯嚴格化的分析學才是今天分析學的現代版本，牛頓萊布尼茨某種意義上已經被柯西魏爾斯特拉斯超越了！但集合論不是一切數學的基礎？沒有集合論今天的數學能存在？群論不是數學的基礎？沒有群論能有現代數學嗎？抽象代數，拓撲學不是數學基礎？同樣的，黎曼幾何，黎曼複分析不是現代數學基礎？這些數學成就和微積分具有同等的地位和意義，都是一個檔次的成就，都是決定性統治數學全域的基礎數學構造。不要以為群論，抽象代數只是代數學，不要以為黎曼幾何只是幾何學，黎曼複分析只是複變函數論。即使將微積分開創的功勞全部給牛頓，爵爺的絕對數學成就都被黎曼兩項創世成就碾壓！何況爵爺最多隻有半個微積分。在純數學上，牛頓成就和黎曼差距太大，不具備可比性。牛頓的純數學成就，很難在數學史上進入TOP5，甚至TOP10都進不了。
為什麼不是歐拉？在分析幾何代數數論四大分支中，幾何與數論上黎曼強於歐拉，分析上歐拉黎曼並列都是分析學史上TOP1的人選，歐拉只有代數上強於黎曼，還是建立在黎曼代數成就為零的基礎上！黎曼在幾何，分析，數論三大分支都是數學史TOP1的當然人選，歐拉達不到這個高度，即使是歐拉最強的分析，不論其歷史意義，只說數學，歐拉具體的分析學成就開創性意義也不如黎曼複分析！歐拉代數成就也偏弱，無法與他在分析數論的成就相提並論。只論數學成就，歐拉和黎曼差距還蠻大的，如果加上成就的質量，歐拉缺乏創世級別的成就，兩位大神已經不是一個檔次的數學家。
為什麼不是高斯？高斯的偉大無與倫比，但只論數學成就無法與黎曼相提並論。黎曼在高斯最強的幾何和數論中，都佔有很大優勢，黎曼幾何比高斯強一檔，數論上黎曼足以與高斯並列數論史TOP1不分高下！在分析上，黎曼比高斯強很多！高斯只有代數上碾壓代數成就空白的黎曼，但高斯代數的成就無法與他在幾何和數論的成就相提並論！高斯最大的問題也是缺乏黎曼幾何，黎曼複分析一類的統治數學全域的創世成就！需知道，黎曼僅憑藉複分析幾篇文章的歷史總引用，已經超越高斯一輩子150篇論文所有引用的總和！只論數學成就，高斯比黎曼差距很大，不是一個檔次的數學家。黎曼讓一隻手，都能跟王子拼個三千回合不分上下。
為什麼不是龐加萊？龐加萊是純數學成就最接近黎曼的大神！他是全才，所有分支均有重要成就，尤其是龐加萊開創了現代拓撲學這項創世成就，這讓他超越了歐拉高斯，具備了和黎曼叫板的資本。但是，在幾何、分析、數論三大分支上，龐加萊成就地位是全面不如黎曼的！僅有代數強於黎曼，而代數同樣是龐加萊的弱項，無法與他在拓撲學和分析學的成就相提並論！總體看來，龐加萊純數學成就，比黎曼還是弱一檔！
為什麼不是柯西？柯西分析基礎嚴格化的創世成就，足以與黎曼幾何，黎曼複分析的任何一項媲美！但柯西幾何數論根本不上檔次，無法與黎曼抗衡。
為什麼不是魏爾斯特拉斯？和柯西一樣，幾何，數論被黎曼碾壓，分析兩人旗鼓相當，代數強於黎曼。兩人差距很大。
為什麼不是希爾伯特？幾何，分析，數論，希爾伯特全面不如黎曼，大帝拿什麼挑戰黎曼？
為什麼不是諾特？諾特代數學史第一人，但幾何，分析，數論被黎曼碾壓，不在一個世界的數學家。
為什麼不是格羅滕迪克？教皇的代數幾何實現了數學大一統的新模式，但是同樣的，幾何，分析，數論，黎曼全面強於教皇！不要忘了，現代代數幾何的雛形是黎曼開創的！
為什麼不是拉格朗日？黎曼幾何，分析，數論全面碾壓拉格朗日，只論數學成就，兩人不是一個檔次的數學家。
為什麼不是伽羅瓦？幾何，分析，數論全面壓制，在數學上黎曼比伽羅瓦強很多，雖然伽羅瓦有群論一個創世成就，但黎曼則有黎曼幾何、黎曼複分析兩個創世成就！就數學論數學，伽羅瓦在純數學成就上無法與黎曼比肩，事實上，伽羅瓦的純數學成就還不如歐拉高斯龐加萊三大全才，遑論黎曼。
為什麼不是阿貝爾？和伽羅瓦相同，除代數強於黎曼之外，幾何，分析，數論被黎曼完全壓制！
其他數學大師的純數學成就，和這些大神都還有差距，就不用再拿出來和黎曼比了。
只論數學成就，黎曼是數學史上獨一檔的學者，他和其他數學大神不是一個次元的。
就數學論數學，把所謂史上四大數學家阿基米德、牛頓、歐拉、高斯的所有數學成就打包加起來，或許還能有與黎曼一戰的資格。
單挑？不存在的。
黎曼在四大數學分支中，幾何學、分析學、數論三大分支都是全歷史TOP1的當然人選，其中幾何學是GOAT，分析、數論都是GOAT最強力人選之一。在黎曼工作的任何領域，他都是終極大BOSS！這在數學史上沒有任何一個數學家能夠達到這個高度！
幾何學黎曼是一枝獨秀的，只有龐加萊，歐幾里得可以接近。
牛頓、萊布尼茨、歐拉、柯西、魏爾斯特拉斯、康托爾是黎曼分析TOP1的競爭者，不分高下，但幾何、數論和黎曼不是一個次元的。
高斯是數論TOP1的黎曼的競爭者，數論上兩人旗鼓相當，但幾何，分析被黎曼完全壓制。
諾特、伽羅瓦、阿貝爾、教皇等大神代數上碾壓黎曼，但在幾何、分析、數論上打包加起來都被黎曼碾壓。
只談純數學成就，黎曼大神是睥睨眾生的存在！
黎曼全時空無解！
需知道黎曼39歲去世，研究數學只有15年，論文十幾篇，放在中國的大學，估計也就是個副教授。
黎曼的數學在19世紀完全是個異類，和傳統的分析基礎嚴格化，函數論，數論，解析幾何，射影幾何，甚至群論抽象代數這些逐漸被接受成為主流的數學完全不同。
黎曼的數學充滿了主觀直覺和臆測感，連個好好的證明都懶得給出，隨意的飆一句“這是顯而易見的”就直接給出結論。
黎曼的研究讓當時的數學家都很懵逼，偉大的魏爾斯特拉斯抨擊黎曼曲面只是毫無意義的幾何幻想物，抨擊黎曼濫用狄利克雷原理不嚴格，物理學家也認為，黎曼幾何的物理空間理論很扯淡，歐氏幾何才是真實的空間。在19世紀當時數學界和物理學界討論黎曼幾何的水準是很低的。當時幾何學的中心是射影幾何。
黎曼的理論一直飽受爭議，甚至一度岌岌可危。
如果不是黎曼的許多結論太漂亮，深深吸引了一批追隨者，估計黎曼的數學就要涼涼了。需知道，在黎曼生前最受肯定的是阿貝爾函數論的論文和黎曼積分的工作。黎曼積分不算黎曼最頂尖的工作。而阿貝爾函數理論的最重要的創造黎曼曲面被批的一無是處，濫用狄利克雷原理讓那些漂亮到極點的結論變得不可信了！而黎曼幾何誕生後很長時間只有德國和意大利英國寥寥一些學者在發展，黎曼猜想在誕生後二三十年都是冷門，黎曼這些數學史上最偉大的創造都是很冷的。
對於爭議，黎曼只是淡淡的說了句，我仍然是正確的。
他真的是正確的。
當數學家們研究黎曼猜想最簡單的一個定理的一部分取得突破時，當時最重要的素數猜想被證明了，黎曼函數統治了解析數論，黎曼猜想成為數論中心。
當希爾伯特修正狄利克雷原理證明在一定條件下可以取到最小值，黎曼複分析完美復活並取代了魏爾斯特拉斯複分析，進而開創了整個現代數學，統治了20世紀的數學。
當愛因斯坦相對論誕生，黎曼幾何的正確性猶如神啟，統治了20世紀的幾何和物理。
你完全無法想象，現當代數學和物理缺少了黎曼的理論，那是全盤崩潰的！
那時數學界才忽然發現，黎曼早就直接告訴了他們答案，只是他們沒看懂而已。
或許是上帝不想人類太早破解數學的終極奧秘，早早召黎曼迴天堂喝茶打牌了。
黎曼的問題是在於很難科普，他是現代數學的開創者，是站在近代數學與現代數學分水嶺的人物，他的數學都涉及到現代數學最基礎也有最高深艱難的部分，如果說高斯以前的數學既有現代數學基礎和高深的部分也還有很多初等分析初等幾何解析幾何初等數論的部分參雜，到黎曼的數學基本都是現代數學語言了，你懂了就是真懂了，你不懂，可能也就永遠都不懂了，職業數學家和非職業數學家基本是劃上了天塹鴻溝了！
現在很多罈子的對黎曼的科普文有很多誤區，尤其對業餘數學迷來說，主要有三點誤導。
第一點誤導，將橢圓幾何和黎曼幾何混淆，將非歐幾何和黎曼幾何等同，將黎曼幾何歸類為非歐幾何，即使國外很多科普文也一樣。當然，如果說不同於歐幾里得幾何的幾何都叫非歐幾何，那也說得過去。但這是不確切的，不能準確定義黎曼幾何。如果非要用19世紀的語境名詞給黎曼幾何定義，那也是開掛版微分幾何更合適而不是非歐幾何。關於這一點，我在這個系列前一篇文章裡有簡要說明，有興趣的朋友可以看看，
第二點誤導，很多數學迷以為黎曼猜想是黎曼最偉大的成就。當然，黎曼這篇八頁紙的論文是屬於開掛的神作，這恐怕是數論史上最深邃也是最偉大的論文了，這也是黎曼單核能力的個人秀，遠遠超越時代的遠見和驚為天人的直覺，讓160年來數學界的所有偉大數學家體會到了什麼叫做智商碾壓。就憑這一篇論文，對整個數論和整個數學的推動和成就，黎曼就足以和高斯並列數論史GOAT！但要釐清的是，黎曼猜想不是黎曼最偉大的成就，黎曼素數分佈的偉大論文只是黎曼複分析的順手牽羊，這篇數論神作只是黎曼複分析的一個直接的應用推廣！黎曼複分析才是和黎曼幾何並列的黎曼最偉大的成就，才是現代數學的創世成就！
第三點誤導，很多朋友以為黎曼主要是一個幾何學家。其實，黎曼主要是一個分析學家。他可能對物理更感興趣！當然，黎曼幾何的創世成就無與倫比，就憑兩篇幾何論文，黎曼就是幾何學史上的GOAT！事實上，黎曼確實是偏幾何思維的數學家，即使在他偉大的複分析的工作中，也是以幾何形象直觀思維出現的，黎曼曲面這個現代數學最基礎最重要的數學構造就是直接以幾何形象出現，這是黎曼複分析最偉大最基礎的數學構造工具！但總的說來，黎曼主要是一個分析學家，從論文數量看，黎曼的複分析實分析微分方程的論文數量有十來篇，遠遠多於黎曼幾何2篇論文。即使是黎曼幾何的兩篇論文，其最重要的黎曼度量的數學構造也是以二次微分形式出現，黎曼幾何更像是黎曼為了給幾何找到分析的應用而創立的。並且，黎曼很可能對物理的興趣要大於數學，在黎曼全集裡，物理學的論文接近三分之一，並且黎曼幾何兩篇論文的動機也是物理問題，幾何基礎假設的演講論文的目的是尋找空間的自洽性和對未來物理空間的應用的預測，巴黎之作的直接目的則是解決熱傳導的一個問題。就連黎曼自己都說他最重要的研究是希望用一種數學理論把電磁力和引力統一起來。一直以來，黎曼興趣在物理，成就出數學，這樣的說法是有一定道理的。比起幾何學家，黎曼其實主要是一個分析學家，或者說恐怕他更願意被定義成一個數學物理學家。
黎曼的另外一個問題是缺乏公眾影響力，論知名度在科普的宣傳在眾多數學愛好者所接觸到的信息，黎曼幾乎是數學史上諸神中最不為人知的，別說和牛頓歐拉高斯比，即使和伽羅瓦拉格朗日柯西希爾伯特等大師比起來，黎曼也都是默默無聞的。
提起黎曼，很多朋友尤其業餘數學愛好者根本不知道黎曼究竟做過一些什麼數學成就，或許知道有黎曼猜想，或許也知道黎曼幾何，但對於黎曼的總體成就基本是雲裡霧裡看不清楚一團空虛。
但如果你對現代數學有所瞭解，你就會知道黎曼的偉大無與倫比，沒有任何人能接近他！
現在回頭去看，數學史的星空群星璀璨，但黎曼不是這片星空的星辰，他是唯一的那輪皓月！
閱讀更多 蘇憐水 的文章
