5.纯数学成就GOAT：黎曼
黎曼
如果只论纯数学学术成就，不涉及其他指标标准，只以纯数学成就论，黎曼是毫无疑问的全数学史第一人！
黎曼几何和黎曼复分析两项创世成就，任何一项成就单独拿出来，都是足以与微积分、群论媲美的盖世神作！
黎曼并不在意证明定理，他甚至不在意证明的严格性，他只做自由自在的创造，而他的每一个数学创造，无不洞悉数学最本质的秘密，既能建立起宏大的理论基础，也能解决极端困难的具体计算难题，黎曼从不在边边角角上多做停留，他总是直奔目标，他直接打通了各个数学分支的联系和隐秘的关系！
流形：现代几何学基础。
黎曼曲面：分析、几何、代数大一统的基本自然数学构造。
黎曼度量：用计算构造取代公理化构造，统一微分几何、欧氏几何、罗氏非欧几何、椭圆几何。
黎曼洛赫定理：联系几何拓扑与分析。
解析数论：联系分析与数论。
双有理变换：联系几何、分析与代数。
……
在黎曼理论刚诞生的时候，是如此的奇怪，如此的晦涩难懂，他引入的新概念新计算构造是如此的复杂离奇，和当时的数学完全不同，如果不是他结论的美丽宏大，估计就要被束之高阁了。但随着时间的流逝，数学界惊奇的发现，现代数学的进展，黎曼几乎早已预见，现代数学的发展，都在黎曼理论的基石上，黎曼理论才是正确打开现代数学和理论物理的正确方式。黎曼的理论，轰鸣至今，越来越深刻的成为今天数学的基石。
黎曼奇特的数学创造犹如天外飞仙，是如此的深奥与绚烂，他参破了数学的本质，在他的眼里，不同学科分支其实只是不同形式表现的同一个事物。
黎曼是现代数学的开山祖师，是现代数学的起点，几乎一切现代数学或多或少都可以追溯到黎曼这里，现代数学依然在黎曼数学思想的光辉照耀下前行，随着时间的流逝，黎曼在数学中的印记越来越深刻！
黎曼一生著作极少，但每次一出手，都是数学史上最顶端的成果，犹如小李飞刀，从不落空！几乎每一篇都开创了一个全新的数学领域，这伟大的创造力足以碾压历史，震撼百代！
为什么不是牛顿？如果除去物理和其他所有指标标准，只论数学成就，黎曼一篇解析数论的论文就能秒杀爵爷除微积分外所有成就！别说爵爷最多只能占微积分一半开创之功，即使整个微积分都是爵爷开创的，黎曼几何或黎曼复分析任意一项都能与微积分开创不分上下！很多业余粉以为微积分开创是数学史最伟大的成就，其实这是一个普遍的误区，微积分开创当然是无与伦比的伟大创世成就，但只是最伟大的数学成就之一，有之一！和微积分开创具有同等地位和意义的创世成就还有好几个！比如群论，抽象代数，拓扑学，集合论，分析基础，当然，黎曼几何与黎曼复分析同样是与微积分开创一个档次的创世成就。有粉丝说微积分诞生后，才有了现在的数学，微积分统治一切，其实挺可笑的。先不论牛顿微积分的逻辑基础和独立性的问题，微积分当然是一切数学的基础，但柯西魏尔斯特拉斯严格化的分析学才是今天分析学的现代版本，牛顿莱布尼茨某种意义上已经被柯西魏尔斯特拉斯超越了！但集合论不是一切数学的基础？没有集合论今天的数学能存在？群论不是数学的基础？没有群论能有现代数学吗？抽象代数，拓扑学不是数学基础？同样的，黎曼几何，黎曼复分析不是现代数学基础？这些数学成就和微积分具有同等的地位和意义，都是一个档次的成就，都是决定性统治数学全域的基础数学构造。不要以为群论，抽象代数只是代数学，不要以为黎曼几何只是几何学，黎曼复分析只是复变函数论。即使将微积分开创的功劳全部给牛顿，爵爷的绝对数学成就都被黎曼两项创世成就碾压！何况爵爷最多只有半个微积分。在纯数学上，牛顿成就和黎曼差距太大，不具备可比性。牛顿的纯数学成就，很难在数学史上进入TOP5，甚至TOP10都进不了。
为什么不是欧拉？在分析几何代数数论四大分支中，几何与数论上黎曼强于欧拉，分析上欧拉黎曼并列都是分析学史上TOP1的人选，欧拉只有代数上强于黎曼，还是建立在黎曼代数成就为零的基础上！黎曼在几何，分析，数论三大分支都是数学史TOP1的当然人选，欧拉达不到这个高度，即使是欧拉最强的分析，不论其历史意义，只说数学，欧拉具体的分析学成就开创性意义也不如黎曼复分析！欧拉代数成就也偏弱，无法与他在分析数论的成就相提并论。只论数学成就，欧拉和黎曼差距还蛮大的，如果加上成就的质量，欧拉缺乏创世级别的成就，两位大神已经不是一个档次的数学家。
为什么不是高斯？高斯的伟大无与伦比，但只论数学成就无法与黎曼相提并论。黎曼在高斯最强的几何和数论中，都占有很大优势，黎曼几何比高斯强一档，数论上黎曼足以与高斯并列数论史TOP1不分高下！在分析上，黎曼比高斯强很多！高斯只有代数上碾压代数成就空白的黎曼，但高斯代数的成就无法与他在几何和数论的成就相提并论！高斯最大的问题也是缺乏黎曼几何，黎曼复分析一类的统治数学全域的创世成就！需知道，黎曼仅凭借复分析几篇文章的历史总引用，已经超越高斯一辈子150篇论文所有引用的总和！只论数学成就，高斯比黎曼差距很大，不是一个档次的数学家。黎曼让一只手，都能跟王子拼个三千回合不分上下。
为什么不是庞加莱？庞加莱是纯数学成就最接近黎曼的大神！他是全才，所有分支均有重要成就，尤其是庞加莱开创了现代拓扑学这项创世成就，这让他超越了欧拉高斯，具备了和黎曼叫板的资本。但是，在几何、分析、数论三大分支上，庞加莱成就地位是全面不如黎曼的！仅有代数强于黎曼，而代数同样是庞加莱的弱项，无法与他在拓扑学和分析学的成就相提并论！总体看来，庞加莱纯数学成就，比黎曼还是弱一档！
为什么不是柯西？柯西分析基础严格化的创世成就，足以与黎曼几何，黎曼复分析的任何一项媲美！但柯西几何数论根本不上档次，无法与黎曼抗衡。
为什么不是魏尔斯特拉斯？和柯西一样，几何，数论被黎曼碾压，分析两人旗鼓相当，代数强于黎曼。两人差距很大。
为什么不是希尔伯特？几何，分析，数论，希尔伯特全面不如黎曼，大帝拿什么挑战黎曼？
为什么不是诺特？诺特代数学史第一人，但几何，分析，数论被黎曼碾压，不在一个世界的数学家。
为什么不是格罗滕迪克？教皇的代数几何实现了数学大一统的新模式，但是同样的，几何，分析，数论，黎曼全面强于教皇！不要忘了，现代代数几何的雏形是黎曼开创的！
为什么不是拉格朗日？黎曼几何，分析，数论全面碾压拉格朗日，只论数学成就，两人不是一个档次的数学家。
为什么不是伽罗瓦？几何，分析，数论全面压制，在数学上黎曼比伽罗瓦强很多，虽然伽罗瓦有群论一个创世成就，但黎曼则有黎曼几何、黎曼复分析两个创世成就！就数学论数学，伽罗瓦在纯数学成就上无法与黎曼比肩，事实上，伽罗瓦的纯数学成就还不如欧拉高斯庞加莱三大全才，遑论黎曼。
为什么不是阿贝尔？和伽罗瓦相同，除代数强于黎曼之外，几何，分析，数论被黎曼完全压制！
其他数学大师的纯数学成就，和这些大神都还有差距，就不用再拿出来和黎曼比了。
只论数学成就，黎曼是数学史上独一档的学者，他和其他数学大神不是一个次元的。
就数学论数学，把所谓史上四大数学家阿基米德、牛顿、欧拉、高斯的所有数学成就打包加起来，或许还能有与黎曼一战的资格。
单挑？不存在的。
黎曼在四大数学分支中，几何学、分析学、数论三大分支都是全历史TOP1的当然人选，其中几何学是GOAT，分析、数论都是GOAT最强力人选之一。在黎曼工作的任何领域，他都是终极大BOSS！这在数学史上没有任何一个数学家能够达到这个高度！
几何学黎曼是一枝独秀的，只有庞加莱，欧几里得可以接近。
牛顿、莱布尼茨、欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯、康托尔是黎曼分析TOP1的竞争者，不分高下，但几何、数论和黎曼不是一个次元的。
高斯是数论TOP1的黎曼的竞争者，数论上两人旗鼓相当，但几何，分析被黎曼完全压制。
诺特、伽罗瓦、阿贝尔、教皇等大神代数上碾压黎曼，但在几何、分析、数论上打包加起来都被黎曼碾压。
只谈纯数学成就，黎曼大神是睥睨众生的存在！
黎曼全时空无解！
需知道黎曼39岁去世，研究数学只有15年，论文十几篇，放在中国的大学，估计也就是个副教授。
黎曼的数学在19世纪完全是个异类，和传统的分析基础严格化，函数论，数论，解析几何，射影几何，甚至群论抽象代数这些逐渐被接受成为主流的数学完全不同。
黎曼的数学充满了主观直觉和臆测感，连个好好的证明都懒得给出，随意的飙一句“这是显而易见的”就直接给出结论。
黎曼的研究让当时的数学家都很懵逼，伟大的魏尔斯特拉斯抨击黎曼曲面只是毫无意义的几何幻想物，抨击黎曼滥用狄利克雷原理不严格，物理学家也认为，黎曼几何的物理空间理论很扯淡，欧氏几何才是真实的空间。在19世纪当时数学界和物理学界讨论黎曼几何的水准是很低的。当时几何学的中心是射影几何。
黎曼的理论一直饱受争议，甚至一度岌岌可危。
如果不是黎曼的许多结论太漂亮，深深吸引了一批追随者，估计黎曼的数学就要凉凉了。需知道，在黎曼生前最受肯定的是阿贝尔函数论的论文和黎曼积分的工作。黎曼积分不算黎曼最顶尖的工作。而阿贝尔函数理论的最重要的创造黎曼曲面被批的一无是处，滥用狄利克雷原理让那些漂亮到极点的结论变得不可信了！而黎曼几何诞生后很长时间只有德国和意大利英国寥寥一些学者在发展，黎曼猜想在诞生后二三十年都是冷门，黎曼这些数学史上最伟大的创造都是很冷的。
对于争议，黎曼只是淡淡的说了句，我仍然是正确的。
他真的是正确的。
当数学家们研究黎曼猜想最简单的一个定理的一部分取得突破时，当时最重要的素数猜想被证明了，黎曼函数统治了解析数论，黎曼猜想成为数论中心。
当希尔伯特修正狄利克雷原理证明在一定条件下可以取到最小值，黎曼复分析完美复活并取代了魏尔斯特拉斯复分析，进而开创了整个现代数学，统治了20世纪的数学。
当爱因斯坦相对论诞生，黎曼几何的正确性犹如神启，统治了20世纪的几何和物理。
你完全无法想象，现当代数学和物理缺少了黎曼的理论，那是全盘崩溃的！
那时数学界才忽然发现，黎曼早就直接告诉了他们答案，只是他们没看懂而已。
或许是上帝不想人类太早破解数学的终极奥秘，早早召黎曼回天堂喝茶打牌了。
黎曼的问题是在于很难科普，他是现代数学的开创者，是站在近代数学与现代数学分水岭的人物，他的数学都涉及到现代数学最基础也有最高深艰难的部分，如果说高斯以前的数学既有现代数学基础和高深的部分也还有很多初等分析初等几何解析几何初等数论的部分参杂，到黎曼的数学基本都是现代数学语言了，你懂了就是真懂了，你不懂，可能也就永远都不懂了，职业数学家和非职业数学家基本是划上了天堑鸿沟了！
现在很多坛子的对黎曼的科普文有很多误区，尤其对业余数学迷来说，主要有三点误导。
第一点误导，将椭圆几何和黎曼几何混淆，将非欧几何和黎曼几何等同，将黎曼几何归类为非欧几何，即使国外很多科普文也一样。当然，如果说不同于欧几里得几何的几何都叫非欧几何，那也说得过去。但这是不确切的，不能准确定义黎曼几何。如果非要用19世纪的语境名词给黎曼几何定义，那也是开挂版微分几何更合适而不是非欧几何。关于这一点，我在这个系列前一篇文章里有简要说明，有兴趣的朋友可以看看，
第二点误导，很多数学迷以为黎曼猜想是黎曼最伟大的成就。当然，黎曼这篇八页纸的论文是属于开挂的神作，这恐怕是数论史上最深邃也是最伟大的论文了，这也是黎曼单核能力的个人秀，远远超越时代的远见和惊为天人的直觉，让160年来数学界的所有伟大数学家体会到了什么叫做智商碾压。就凭这一篇论文，对整个数论和整个数学的推动和成就，黎曼就足以和高斯并列数论史GOAT！但要厘清的是，黎曼猜想不是黎曼最伟大的成就，黎曼素数分布的伟大论文只是黎曼复分析的顺手牵羊，这篇数论神作只是黎曼复分析的一个直接的应用推广！黎曼复分析才是和黎曼几何并列的黎曼最伟大的成就，才是现代数学的创世成就！
第三点误导，很多朋友以为黎曼主要是一个几何学家。其实，黎曼主要是一个分析学家。他可能对物理更感兴趣！当然，黎曼几何的创世成就无与伦比，就凭两篇几何论文，黎曼就是几何学史上的GOAT！事实上，黎曼确实是偏几何思维的数学家，即使在他伟大的复分析的工作中，也是以几何形象直观思维出现的，黎曼曲面这个现代数学最基础最重要的数学构造就是直接以几何形象出现，这是黎曼复分析最伟大最基础的数学构造工具！但总的说来，黎曼主要是一个分析学家，从论文数量看，黎曼的复分析实分析微分方程的论文数量有十来篇，远远多于黎曼几何2篇论文。即使是黎曼几何的两篇论文，其最重要的黎曼度量的数学构造也是以二次微分形式出现，黎曼几何更像是黎曼为了给几何找到分析的应用而创立的。并且，黎曼很可能对物理的兴趣要大于数学，在黎曼全集里，物理学的论文接近三分之一，并且黎曼几何两篇论文的动机也是物理问题，几何基础假设的演讲论文的目的是寻找空间的自洽性和对未来物理空间的应用的预测，巴黎之作的直接目的则是解决热传导的一个问题。就连黎曼自己都说他最重要的研究是希望用一种数学理论把电磁力和引力统一起来。一直以来，黎曼兴趣在物理，成就出数学，这样的说法是有一定道理的。比起几何学家，黎曼其实主要是一个分析学家，或者说恐怕他更愿意被定义成一个数学物理学家。
黎曼的另外一个问题是缺乏公众影响力，论知名度在科普的宣传在众多数学爱好者所接触到的信息，黎曼几乎是数学史上诸神中最不为人知的，别说和牛顿欧拉高斯比，即使和伽罗瓦拉格朗日柯西希尔伯特等大师比起来，黎曼也都是默默无闻的。
提起黎曼，很多朋友尤其业余数学爱好者根本不知道黎曼究竟做过一些什么数学成就，或许知道有黎曼猜想，或许也知道黎曼几何，但对于黎曼的总体成就基本是云里雾里看不清楚一团空虚。
但如果你对现代数学有所了解，你就会知道黎曼的伟大无与伦比，没有任何人能接近他！
现在回头去看，数学史的星空群星璀璨，但黎曼不是这片星空的星辰，他是唯一的那轮皓月！
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