本文主要內容:連續函數f(x)滿足∫(0,1)f(tx)dt=x^2+f(x)-(1/x)∫(0,x)f(t)dt,求f(x).
解:式中的∫(0,1)表示的積分上下限,其中前者0為下限,1為上限,後面以此類推。本題的關鍵首先是要對∫(0,1)f(tx)dt變形,因為其中含有既能看待常數又能看待變量的x,設tx=u,則
t=u/x,此時以u對應的上下限為(0,x),即:
∫(0,1)f(tx)dt=∫(0,x)f(u)d(u/x)
=(1/x)∫(0,x)f(u)du.
代入方程,兩邊同時乘以x,得到:
∫(0,x)f(u)du=x^3+xf(x)-∫(0,x)f(t)dt,即:
2∫(0,x)f(u)du=x^3+xf(x),兩邊求導得:
2f(x)=3x^2+f(x)+xf'(x),即:
f'(x)-(1/x)f(x)=-3x.
下面利用一階非齊次線性微分方程的通解公式,得:
f(x)
=e^[∫(1/x)dx]*{∫(-3x)e^[-∫(1/x)dx]dx+C}
=e^(lnx)*{∫(-3x)e^[ln(1/x)]dx+C}
=x*{∫(-3x)*(1/x)dx+C}
=x*(-3x+C)=-3x^2+Cx。
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