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1666年10月，牛頓在它的第一篇微積分論文《流數簡論》中解決了如何根據物體的速度求解物體的位移這一問題，並討論瞭如何根據這種運算求解曲線圍成的面積，首次提出了微積分基本定理。
德國數學家萊布尼茨在研究微分三角形時發現曲線的面積依賴於無限小區間上的縱座標值和，1677年，萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理：給定一個曲線，其縱座標為y，如果存在一條曲線z，使得dz/dx=y，則曲線y下的面積∫ydx=∫dz=z。
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萊布尼茨和牛頓各自獨立地創造了微積分，儘管牛頓發現微積分要比萊布尼茨早若干年，但他很晚才出版自己的著作。
牛頓所處的時代背景及其哲學思想 “牛頓( Isaac Newton ,1642 - 1727) 1642 年生於英格蘭。1661 年,入英國劍橋大學,1665 年,倫敦流行鼠疫,牛頓回到鄉間,終日思考各種問題,運用他的智慧和數年來獲得的知識,發明了流數術(微積分) 、萬有引力和光的分析。 ”
1665 年5 月20 日,牛頓的手稿中開始有“流數術”的記載。《流數的介紹》和《用運動解決問題》等論文中介紹了流數(微分) 和積分,以及解流數方程的方法與積分表。1669 年,牛頓在他的朋友中散發了題為《運用無窮多項方程的分析學》的小冊子,在這裡,牛頓不僅給出了求一個變量對於另一個變量的瞬時變化率的普遍方法,而且證明了面積可以由求變化率的逆過程得到。 因為面積也是用無窮小面積的和來表示從而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到(更精確地說,和的極限能夠由反微分得到) ,這個事實就是我們現在所講的微積分基本定理。這裡“, 牛頓使用的是無窮小方法,把變量的無限小增量叫做“瞬”,瞬是無窮小量,是不可分量, 或是微元, 牛頓通過捨棄“瞬”求得變化率。 ”
1671 年牛頓將他關於微積分研究的成果整理成《流數法和無窮級數》(1736) ,在這裡,他認為變量是連續運動產生的,他把變量叫做流,變量的變化率叫做流數。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問題:已知兩個流之間的關係,求它們流數之間的關係,以及它的逆問題。
《流數法和無窮級數》是一部較完整的微積分著作。書的後半部分通過20 個問題廣泛地介紹了流數法各無窮級數的應用。1676 年,牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704) ,在這裡,牛頓的微積分思想發生了重大變化,他放棄了微元或無窮小量,而採用了最初比和最後比的方法。
1687 年牛頓發表了它的劃時代的科學名著《自然哲學的數學原理》,流數術(即微積分) 是其三大發現之一。正如愛因斯坦所說的:“牛頓啊你所發現的道路在你的那個時代是一位具有最高思維能力和創造能力的人所發現的唯一道路,你所創造的概念即使在今天仍然指導著我們的物理學思想”。
牛頓生活的時代正是英國發生變化的時代,當時英國發生了國內戰爭,資產階級和貴族的階級妥協,使英國資產階級革命明顯的帶上了不徹底性。當時的英國資產階級正在為現存的剝削階級的一切上層建築做永恆存在的論證,因此絕對化的思想成為佔統治地位的主導思想,它也影響到當時的自然科學家們把形而上學的思想方法絕對化。 牛頓的思想也受到了英國資產階級革命不徹底性的影響,因而牛頓也往往不能從自然界本身或事物的本身來尋找最初的原因,而藉助於外來的推動力。 牛頓在30 歲以前發現了微積分,並建立了經典力學體系,而他的後半生在自然科學的研究上幾乎一事無成。 這是由於在資本主義產生和形成的時期,資產階級曾經向宗教神學發起衝擊,幫助科學從神學中解放出來。但是當資產階級的地位鞏固以後,階級鬥爭逐漸激化之時,資產階級就逐漸衰退,他們就抓住各種各樣的宗教信念作為奴役人民的思想武器。 牛頓受其影響很大,其前半生由於自發的唯物主義的思想傾向,使他獲得了巨大成就,而後半生則完全沉迷於神學的研究。 牛頓繼承了培根的經驗主義傳統,特別重視實驗和歸納推理的作用,他曾斷言,自然科學只能從經驗事實出發解釋世界。 這在當時對打擊經院哲學的崇尚空談、妄稱神意來歪曲自然界是起過積極作用的。但是“, 牛頓卻拘泥於經驗事實,片面強調歸納的重要性。只有大量的感性材料,一切停留在事物的現象上,單獨依靠歸納的方法是得不出系統的普遍性的理性認識來的。 在分析和綜合、演繹和歸納的問題上,形而上學使牛頓陷入了矛盾。”
萊布尼茲所處的時代背景及其哲學思想 “萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz ,1646 - 1716)生於德國。 1672 年赴巴黎,在那裡接觸到惠更斯等一些數學名流,引其進入了數學領域,開始微積分的創造性工作。” 1684 年萊布尼茨發表了數學史上第一篇正式的微積分文獻《一種求極限值和切線的新方法》。 這篇文獻是他自1673 年以來的微積分研究的概括與成果,其中定義了微分,廣泛地採用了微分符號dx、dy ,還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則。同時包括了微分法在求切線、極大、極小值及拐點方面的應用。 兩年後,又發表了一篇積分學論文《深奧的幾何與不 變量及其無限的分析》,其中首次使用積分符號“∫”,初步論述了積分(或求積) 問題與微分求切線問題的互逆問題。即今天大家熟知的牛頓- 萊布尼茨公式∫ba f ( x) dx = f ( b) - f ( a) ,為我們勾畫了微積分學的基本雛形和發展藍圖。
“牛頓建立微積分是從運動學的觀點出發,而萊布尼茲則從幾何學的角度去考慮,所創設的微積分符號遠遠優於牛頓符號,並有效地促進了微積分學的發展。” 牛頓發現微積分(1665 - 1666 年) 比萊布尼茨至少早了9 年,然而萊布尼茨公開發表它的微積分文章比牛頓早3 年。 據萊布尼茨本人提供的證據說明他是在1674 年形成了微分的思想與方法。如果說,牛頓建立微積分主要是從運動學的觀點出發,而萊布尼茲則是從哲學的和幾何學的角度去考慮,特別是和巴羅的“微分三角形”有密切關係,萊布尼茲稱它為“特徵三角形”。 巴羅的微分三角形對萊布尼茲有著重要啟發,對微分三角形的研究,使他意識到求切線和求積問題是一對互逆的問題。萊布尼茲第一個表達出微分和積分之間的互逆關係。 萊布尼茲的許多研究成果和思想的發展,都包含在從1673 年起寫的但從未發表過的成百頁的筆記中。
1673 年左右,他看到求曲線的切線的正問題和反問題的重要性,他完全相信反方法等價於通過求和來求面積和體積。1684 年,萊布尼茲發表第一篇微分學論文《一種求極大、極小和切線的新方法,它也適用於分式或無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計算》,對他以往的研究作了初步整理,敘述了微分學的基本原理,認為函數的無限小增量是自變量無限小變 化的結果,且把這個函數的增量叫做微分,用字母d表示。
1675 - 1676 年間,他從求曲邊形面積出發得到積分的概念, 給出微積分基本定理∫baf ( x) dx = f ( b)- f ( a) 。1686 年萊布尼茲發表積分學論文《潛在的幾何與分析不可分和無限》。
1693 年,他給出了上述定理的一個證明。以上這些都發表在《教師學報》上。將微分和積分統一起來,是微積分理論得以建立的一個重要標誌。萊布尼茲出生在德國路德派諸侯與天主教諸侯之間的對立而引起的“三十年戰爭”結束前。 為了改變宗教紛爭的局面,萊布尼茲立志要發現一種新的天主教和路德教都能適合的關於實體的學說,以成為兩派教會得以聯合的哲學基礎。雖然萊布尼茲的意圖是不可能實現的,但他後來卻因此提出了一種與笛卡爾不同的實體學說———單子論。
“單子論是萊布尼茲哲學的核心內容。萊布尼茲認為一切事物都由單子這種精神的實體構成的,這種‘單子’既非物質的而又具有一定的質,它是精神性的,萊布尼茲就把它比之於靈魂。只有精神的單子才是真實的存在的實體,從單子是不可分的,即沒有部分的“單純”實體這一點出發,萊布尼茲就推論出它的一系列特徵:單子沒有部分,它就不能以自然的方式通過各部分的組合而產生,或通過各部分的分解而消滅,因此它的生滅只能出於上帝的突然創造或毀滅;單子沒有部分,就不能設想有什麼東西可以進入其內部來造成變化,這樣,單子就成了各自獨立或徹底孤立的東西,各單子之間不能有任何真正的相互作用或影響。 單子之間沒有量的差異, 而只有質的不同。” 總之,萊布尼茲的基本觀點是唯心主義的,也是形而上學的。他把宇宙的秩序都歸因於上帝的預先決定。他肯定許多必然真理並非來自經驗,他認為不但認識的對象都是由精神性的“單子”所構成。 而且認識的主體也只能作為精神實體的心靈這種“單子”。他把一切發展變化都歸因於上帝的“前定”,實際也就否定了真正的發展,這是他的觀點的消極的一面。但另一方面,萊布尼茲的哲學也有積極方面,它的哲學中含有豐富的辯證法思想,他肯定實體本身就具有力,因而是能動的,實質上肯定了物質與運動不可分的思想,他試圖解決“不可分的點”和“連續性”的矛盾問題,接觸到了個別與全體、間斷性與連續性的對立統一問題,對促進理性和經驗的辯證結合做出了一定的貢獻。
牛頓、萊布尼茲創立微積分之比較 牛頓和萊布尼茲用各自不同的方法,創立了微積分學。如果說牛頓接近最後的結論要比萊布尼茲早一些,那麼萊布尼茲發表自己的結論要早於牛頓。雖然牛頓的微積分應用遠遠超過萊布尼茲的工作,刺激並決定了幾乎整個十八世紀分析的方向,但是萊布尼茲成功地建立起更加方便的符號體系和計算方法。 兩位微積分的奠基人,一位具有英國式的處事謹慎,治學嚴謹的風度,一位具有德國人的哲理思辨心態,熱情大膽。由於陰陽差錯的時代背景, 過分追求嚴謹的牛頓遲遲未將自己的發現發表,讓萊布尼茨搶了一個發表的頭籌。 牛頓和萊布尼茲的哲學觀點的不同導致了他們創立微積分的方法不同。牛頓堅持唯物論的經驗論,特別重視實驗和歸納推理。他在研究經典力學規律和萬有引力定律時,遇到了一些無法解決的數學問題,而這些數學問題用歐幾里德幾何學和16 世紀的代數學是無法解決的,因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法———流數法。
“牛頓的研究採用了最初比和最後比的方法。他認為流數是初生量的最初比或消失量的最後比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值,消失量的最後比就是量在消失的瞬間的比值。” 這個解釋太模糊了,算不上精確的數學概念,只不過是一種直觀的描述。 最初比和最後比的物理原型是初速度與末速度的數學抽象,在物體作位置移動的過程中的每一瞬間具有的速度是自明的,牛頓就是從這個客觀事實出發提出了最初比和最後比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點。 萊布尼茲的微積分創造始於研究“切線問題”和“求積問題”,他從微分三角形認識到:求曲線的切線依賴於縱座標之差與橫座標之差的比值;求曲邊圖形的面積則依賴於在橫座標的無限小區間上的縱座標之和或無限薄的矩形之和。 萊布尼茲認識到求和與求差運算是可逆的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定理,並發展成為高階微分。萊布尼茲的無窮小是分階的,這源於他哲學中的單子論思想。“萊布尼茲在單子論中指出:不同的單子其知覺 的清晰程度是不一樣的,並從一種知覺向另一種知覺過渡和變化,發展就是由單子構成的事物,由低級向高級的不同等級的序列。 ” 可以說,萊布尼茲的無窮小的分階正是和它的客觀唯心論的哲學體系中那個不同層次的單子系統是相對應的。萊布尼茲在微積分的研究過程中,連續性原則成為其工作的基石,而連續性原則是紮根於他哲學中無限的本質的思想。
牛頓和萊布尼茲創立微積分的相同點有:從不同的角度創立了一門新的數學學科,使微積分具有廣泛的用途並能應用於一般函數;用代數的方法從過去的幾何形式中解脫出來;都研究了微分與反微分之間的互逆關係。 牛頓和萊布尼茲創立微積分的不同點主要有:牛頓繼承了培根的經驗論,對歸納特別青睞。牛頓的微積分明顯帶著從力學脫胎而來的物理模型的痕跡,以機械運動的數學模型出現,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最後比等概念都來自機械運動,是機械運動瞬間狀態的數學抽象。 他建立微積分的目的是為了解決特殊問題,強調的是能推廣的具體結果。而萊布尼茲強調能夠應用於特殊問題的一般方法和算法,以便統一處理各種問題。萊布尼茲在符號的選擇上花費了大量的時間,發明了一套富有提示性的符號系統。 他把sum(和) 的第一個字母S 拉長表示積分,用dx 表示x 的微分,這套簡明易懂又便於使用的符號一直沿用至今。 牛頓認為微積分是純幾何的自然延伸,關心的是微積分在物理學中的應用。經驗、具體和謹慎是他的工作特點,這種拘束的做法,使他沒有能盡情發揮。 而萊布尼茲關心的是廣泛意義下的微積分,力求創造建立微積分的完善體系。他富於想象,喜歡推廣,大膽而且有思辯性,所以毫不猶豫地宣佈了新學科的誕生。 牛頓和萊布尼茲都是他們時代的科學巨人。 微積分之所以能成為獨立的學科並給整個自然科學帶來革命性的影響,主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作。
從牛頓和萊布尼茲創立微積分的過程中可以看出:當巨人的哲學的沉思變成科學的結論時,對科學發展的影響是深遠的。
