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函數一詞最早出現於清朝數學家李善蘭的譯作《代數學》一書中。從字面意思來看，函數就是一個數中包含著另一個數。

（李善蘭出生於1811年，是中國近代數學先驅）

初中階段，我們就開始接觸函數這個概念了，教科書上是這樣說的：在某一變化過程中，存在兩個變量，如果其中一個量y總存在唯一對應的值隨著x值的改變而改變，那麼y就被稱之為x的函數。其中x被稱之為自變量，另一個量y則被稱之為因變量。

高中階段，函數的概念又更加深刻了，出現了集合和映射的概念，將只能是數的變量拓展到了包含任意元素的集合。高中函數的定義是這樣的：假設AB兩個集合是非空集，按照某種對應關係（又稱之為映射）f，對於集合A中的任意元素a，集合B中總是存在唯一對應的元素b，那麼就稱f:A→B為集合A到集合B的一個函數。在這裡，變量的取值範圍分別稱之為定義域和值域。

其實，函數就是描述變量的一種手段。這個世界因為存在因果律，才使得我們可以用函數這種概念去描述變量之間的關係。不管是連續的量還是離散的量，只要是變量都可以用函數來描述。比如隨機變量就存在分佈函數。正因為如此，函數在生活中才變得如此的重要。

我們在中學階段學習的都是初等函數，初等函數是由五大基本初等函數和常數在有限次的有理運算和複合操作後演繹而成的，它們是：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。有時還會引入常數函數這個概念。除了初等函數，還有非初等函數，比如狄利克雷函數和黎曼函數等。

如果按照取值範圍，又可以分為實變函數與複變函數。如果函數中只含有一個自變量，就稱之為一元函數；有兩個及以上自變量的，就稱之為多元函數。關於函數的性質就更多了，主要有奇偶性、單調性、週期性、連續性、凹凸性、有界性等。

總結起來，函數就是集合與集合之間一種確定的對應關係。

科學探索菌

大家好，我是一名數學老師，函數大多數學生，都只是知道甚至會背定義但是大多數人並不知道函數的本質。特別是在高中階段，一進入函數部分的學習會有一大批學生掉隊。下面我們來理解下函數的本質到底是什麼。

其實，見到函數的定義，大多人都會蒙圈，這是什麼鬼？我們首先來看下高中函數的定義

其實函數並沒有大家想象的那麼複雜，我們換個角度來思考，首先我們理解下什麼是關係

這種關係特殊在哪裡了？

我們自己判斷下下面哪個是任意對唯一的關係

回頭我們再仔細讀一遍定義便會恍然大悟，函數就是數與數之間的一種任意對唯一的對應關係，這就是函數的本質

下面可以自己判斷下這道題

看完之後大家是否能夠準確理解什麼函數呢？自己如果有看不懂的地方可以關注頭條號數學滅火邏輯，有視頻講解幫你清晰理解函數的本質。

歡迎大家留言發表你的看法。

數學滅火邏輯

函數的本質，就是對應關係。

更廣泛的對應關係，稱為映射。映射分為單射、滿射，及合而為一的雙射，也稱一一對應。

函數，作為映射的特例，是數與數的對應關係；映射，不必拘泥於數！

函數，很多分類，林林總總，無法歸總。

按性質分，有單調函數，凹凸函數，奇偶函數，週期函數，可導函數，可積函數，正則函數，…；

按變量分，有實變函數，複變函數，泛函，…；

按人名分，黎曼函數，柯西函數，狄裡克雷函數。

高等數學將基本初等函數歸為五類：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。

數學分析將基本初等函數歸為六類：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數、常數函數。

初等函數是由基本初等函數經過有限次的四則運算和複合運算所得到的函數。

沒有函數，就沒有現代數學！

高數小棧

函數的來源

如果給你一個函數 y = 5x, 這到底是什麼意思呢？其實生活中你就可以總結出來，大米￥5塊一斤，我買一斤得付5塊錢，兩斤付10塊（2 * 5），以此類推。那麼，

付的錢 = 5 * 米的斤數

當我們不確定我們要買多少斤的時候，我們用一個字母x去代替這個模糊的數，表達如下：

付的錢 = 5 * x 那麼x是什麼呢？他依然是數，準確的說是數的集合。 如果我們只關注等式右邊的5 * x， 那這是“代數”的思考範疇。

但是當我們把付的錢看成是y或者f(x)的時候，y = 5x就是函數了。這是函數發展的一個縮影。

函數到底是什麼呢？

首先要弄得因變量和自變量，還是上面的例子，米的斤數x我們可以隨便買，但是當x變化的時候，所付的錢數y就得跟著變化。那麼，x就自變量（自己變化的量），y就是因變量（因為外界的變化而變化的量）。

這樣去理解：男生追女生的時候說：“我會為了你而改變”。雖然大部分的男生只是隨口說說，根本不會去這麼幹。但是這句話裡面，男生和女生的關係是什麼呢？女生就是自變量，男生是因為女生才改變的，所以男生是因變量。

函數y = f(x)最最本質的定義時，任意一個自變量x都對應一個因變量y。“一一對應”有時候會給學習函數帶來很多的困惑。

任意一個自變量x都對應一個因變量y。記住這句話就夠了。

例子：y = x 是函數，為什麼？因為x取任意一個數的時候，都能找到一個y對應。x = 1, y也等於1；

y = x ^ 2是函數，為什麼？因為x取任意一個數的時候，都能找到一個y對應。 x = 1, y = 1; x = -1, y = 1。 我們只能說y是x的函數，但是反過來呢，y = 1是不是可以對應兩個x = 1或者-1。那麼x就不是y的函數。

x^2 + y^2 = 1， 這個圖形畫出來是個圓。那麼x，y之間有函數關係嗎。答案是沒有。為什麼？以為當x取任意一個有效值的時候，y都有兩個值對應，比如x = 0, y = 1或者-1；反之亦然。那麼我們就說x，y沒有函數關係。

怎麼去理解呢？舉個不恰當的例子 - 古時候的“一夫多妻”，一個丈夫可以有多個妻子，但是妻子只能有一個丈夫。那麼，妻子就是x，丈夫就是y。

函數曾經拯救了數學

曾今就有人爭論說，到底正整數（1，2，3，4, 5...）和正偶數（2,4,6,8,10...）那個數多呢？

你的答案是什麼呢？直覺上來說正整數的個數要多於正偶數。因為正整數里還有奇數的存在。

但是有的人就會說，正偶數看做y，正整數看做x，那麼他們的關係是：y = 2x；也就是說正整數中任意一個數字通過乘以2都可以在正偶數里找到。1 - 2， 2- 4， 3 -6；

那麼，由於函數的對應關係，可以總結出不管正整數有多少個，正偶數都可以相應的匹配多少個。那就是說，正整數的個數和正偶數的個數相等。

是不是繞進去了。沒關係。函數就是個對應關係。任意一個自變量x都對應一個因變量y。上面這道題本身就是有問題的，怎麼去數無窮的個數呢？都告訴你無窮了，有限定的個數還叫無窮嗎？

這就是“有窮思想”和“無窮思想”的區別？以後有機會講講微積分。

“逃學博士”，天天有料，喜歡就關注我。

逃學博士

函數的本是一種對應關係。

其表現形式是圖像、函數解析式、表格。

舉個例子來說， y = 2x,是不是函數，是，而且是標準的正比例函數。

有人說學函數有什麼用，生活中又用不到。

其實這個說法是錯的，生活中是可以用到函數的，一次函數，二次函數指數函數都是可以用在實際生活中的。

而在數學研究跟一些經濟模型的研究中，函數也特別重要的。

用生活中的例子去解釋一下上面的這個正比例：土豆兩塊錢一斤，x表示斤數，y表示我們要付的錢，x=1，y=2，x=2，y=4……

你可以看到，每給一個x都有唯一的一個y與之對應。

即不同斤數的土豆就要付對應的錢數。

因為在實際生活中我們買土豆，斤數是我們自己定的，也就是說一個隨機的量，是可以變的，在數學中叫做自變量，錢數是隨著土豆的斤數而變動的，數學中叫做因變量。

這就成了一個函數關係，直觀來看是一個關係式，反饋了自變量跟應變量之間的一個數量關係。

隨著學習的深入，會學到二次函數，指數函數，冪函數，對數函數，三角函數……

但是，它們的本質都是一種對應關係，反應自變量跟因變量的對應關係。

王千夜

函數的本質就是:

結繩記事:

一件事對應一個疙瘩。

一夫一妻:

一個男人對應一個女人，出軌就對應多了，便會函數不穩定。

收電費:

每家對應一定電費，不多不少，剛剛好。

被雷劈:

一記善雷，劈一方惡霸，函數是正義的化身。

數學不是高大上，函數更不是抽象，他是生活的一種精髓，只是被聰明的人類提高到如此地步。

函數本質就是生活的一一對應，就是天道法則，不求多，不愈寡，剛剛好，也許才是真的好。

小竹子數學

為了解釋函數的本質是什麼？有必要知道函數的發展史，通過了解函數的發展歷程，我們可以從表面本質徹底的認識函數！

第一個歷程，幾何觀念下的函數

1.伽利略是最早透露出函數概念的，只不過當時用的不是函數這個名詞，他指出：用文字和比例的語言表達兩個量的關係。僅此而已。

2.隨後解析幾何出現，直角座標系的發明者笛卡爾在解析幾何中注意到：“兩個變量之間的關係也一個變量，總是依靠另一個變量而存在”。很遺憾的是，當時大部分函數都被當做曲線來研究，並沒有意識到需要提煉出函數這一概念！

3.時間到了1673年，萊布尼茨首次使用“function”表示“冪”，後來陸續用function表示曲線上點的座標或者與曲線有關的量，這個時候“function”的詞義應該不被翻譯成函數，應該翻譯成“功能”（個人觀點），但是無論如何，1673年是數學歷史上第一次見到“function”一詞，是歷史性的突破！直到現在，依然都是使用它！

第二個歷程，代數觀念下的函數

1.1718年，伯努力在萊布尼茨的基礎上，對函數再次進行了定義：“強調函數需要用公式來表示”，到這兒可以看出比較接近我們現代函數了。

2.1756年，偉大數學家歐拉給出定義，一個變量的函數是由這個變量和一些數（即常數），以任何方式組成的解析表達式。可以看出這個概念中解析式對於函數的重要意義被體現出來，比伯努利的定義更普遍，更具有廣泛意義。

第三個歷程，對應關係下的函數

不要著急，很接近本質了！

1.1821年，柯西指出一個函數需要有兩個變量，一個是自變量，一個是因變量。此時此刻，函數模型非常類似我們初中學的函數概念！

對於柯西這個大佬不用過多介紹，高中生只是知道一個“柯西不等式”，高考還不一定用的上，但是到了大學，柯西才正式登上舞臺，會被虐的體無完膚！你有類似的經歷麼？反正我當年對他是又愛又恨！

2.1837年，狄利克雷（Dirichlet）指出：對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那麼y叫做x的函數，自此誕生了函數的經典定義。

3.康托爾建立了集合論，美國數學家維布倫用集合和對應的概念給出了近代函數的概念，同時，打破了變量是數的侷限性，變量可以是數，也可以是其他對象。

第四個歷程，集合論下的函數

1930年，新的代現代函數定義為：

現代函數的本質，重點強調“映射”“法則”“對應”“變換”。哪個詞都可以，有了這個概念，不僅可以做簡單的函數對應，也可以做複合函數的對應。

簡單函數：x對應y

複合函數：x對應y，y對應z，如下圖，就構成了複合函數！

中文的“函數”

函數這個詞本身是舶來品，“function”這個詞在英文中就是功能的意思，那麼是誰把它翻譯成函數的呢？

答案是清代的數學家李善蘭。是他首次將“function”譯為“函數”

看完了函數的發展歷程，可以看出函數的發展是不斷得到嚴謹化，精確化的過程，逐漸地通過表面現象抽離出函數的本質，這與我們學習函數的過程是一樣的！從初中那種單純的自變量，因變量的關係，到高中在對應法則下，用映射定義出的函數！在到大學多元，多對應的複變函數等等！

以上是我的回答，歡迎大家討論，發表自己觀點。

數學你新哥

一直喜歡數學，但是離開太久，已經無法使用專業術語。簡單說說我的理解。

函數的本質，是標記事物的運動軌跡。

一個事物的運動軌跡，之所以作為我們的研究對象，主要是為明確該事物將於何時出現於何地的問題，對應到數學上就是取值與函數值之間的對應關係。有句歌詞叫做，無論何時，無論何地，心中一樣親。

比如金大俠小說中大理段譽的凌波微步，就可以做成平面函數乃至立體函數。又如籃球的投籃，足球的射門，芭蕾舞演員的腳尖等等，也都可以做成函數來玩。現在的技術條件太好了，我們可以錄像重放，來確定時間與空間的函數關係。

光說武術體育舞蹈容易讓人誤解。同樣在經濟領域，如商品價格與其市場佔有率的關係，也是一種有研究價值運動軌跡。在健康領域，癌症發病率與年齡的關係，同樣是一種有研究價值的運動軌跡。學習生活比較規律的大學生，一天或一週出沒於宿舍食堂教學樓圖書館實驗樓運動場，也是有研究價值的運動軌跡。

運動軌跡在空間的某一點（就是函數值），垂直投影到（假設三個）數軸上的點，就是取值。例如函數，y=X1+X2+X3

我主張，學一個東西最好的辦法就是當做玩，而且要玩壞它，能做到玩壞了的程度，基本就是骨灰級玩家了。這時候就可以不用專業術語說話了，用普通（的人）話就好。

這當然是我理想化了，哈哈😄

柒道友

函數的本質是集合和集合之間的一種關係。

對於任意元素 x, y，用 (x, y)={{x}, {x, y}} 表示它們組成的序對（{x, y} 是無序對）。

對於任意兩個集合 X，Y，定義卡氏積：

X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }

稱 任何一個 卡氏積的子集 f ⊆ X × Y 為 X 到 Y 的一個二元關係。

如果 關係 f 滿足：對於任意 X 中的元素 x，在 Y 中最多隻有一元素 y 和 x 有關係，即，

(x, y₁) ∈ f ∧ (x, y₂) ∈ f ⇒ y₁ = y₂

則稱 f 為 函數關係，記為 f : X → Y，X 和 Y 分別被稱為 原陪域 和 陪域。

對於任意 A ⊆ X，稱所有 Y 中和 A 的元素有關係的元素組成的集合為 A 的像集，記為 f(A)，有，

f(A) = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ f }

對於任意 B ⊆ Y，稱所有 X 中和 B 的元素有關係的元素組成的集合為 A 的 原像集，記為 f⁻¹(B)，有，

f⁻¹(B) = { x ∈ X | ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ f }

特別當 A = {x} 是單點集時，{y} = f({x}) 簡寫為 y = f(x)，稱，y是x的像，x是y的一個原像。

令，dom f = f⁻¹(Y)，ran f = f(X)，分別成為 定義域 和 值域。

對於 函數關係 f: X → Y ，如果 dom f = X，則稱 f 為映射。

對於 映射 f: X → Y，

• 如果 ran f = Y，稱 f 是 滿射 或 到上的；
  

• 如果 對於任意 y ∈ ran f，y 的原像集 f⁻¹(y) 都是單點集，即，|f⁻¹(y)| = 1，則稱 f 是 單射 或 一一的；

既是單射又是滿射，稱 f 為 雙射、一一對應、一一到上的。

一般地，如果 映射 f : X → Y 的陪域 Y 是數域，則稱 f 為函數，再 根據 原陪域X 的不同（以下，A 是一般集合，R是實數域，C是複數域，K 是數域，V 和 W 是向量空間，L 和 P 是函數空間）：

• 稱 f: A → R 為集函數；

• 稱 f: R → R 為 實函數；

• 稱 f: C → C 為 複函數；

• 稱 f: V → K 為 多元函數；

• 稱 f: L → K 為 泛函數；

特別地：

• 稱 f: V → W 為 向量函數；

• 稱 f: L → P 為 算子；

我們經常說的函數特指實函數。

另外，稱自身到自身的映射 T : X → X，為變換，為雙射的變換稱為置換。

有些函數除了用序對的集合定義外還可以表示成解析式的形式，稱為函數的解析式表達。

常用的 初等函數，有（a, b, c 都是常數）：

• 常函數：y = c；

• 線性函數： z = ax + by；

• 冪函數：y = xᵃ；

• 指數函數：y = aˣ；

• 對數函數：y = ln x，y = logₐ x；

• 三角函數：y = sin x, y = cos x, y = tan x, ...；

• 反三角函數：y = arcsin x, ...；

• 雙曲函數：y = sinh x, y = cosh x, ...;

常用的 超越函數, 有：

• 伽瑪函數：
  

• 貝塔函數：

一些特殊函數：

• 指示函數（也稱 特徵函數）：

• 單位脈衝函數：

• 單位階躍函數：

如果函數的解析式寫為 f(x, y) = 0 的形式，則稱為 隱函數。

如果，函數y = f(x) 是雙射，x = f⁻¹(y) 依然是函數，稱為反函數。

對於實函數 f, g 可以定義 函數的四則運算：

(f + g)(x) = f(x) + g(x)、 (f - g)(x) = f(x) - g(x)、(fg)(x) = f(x)g(x)、(f/g)(x) = f(x)/g(x)

對於 函數 f: X → Y、g: Y → Z，可以定義函數複合運算 g ∘ f : X → Z，(g ∘ f )(x) = g(f(x))

實函數還具有如下性質：有界性、單調性、奇偶性、週期性、極限、連續性、一致連續性。

最後，函數被廣泛的使用在數學的各個領域，扮演者重要角色，也揹負不同的本質特性，例如：

• 《集合論》中的 等價；
  

• 《線性代數》中的 （多）線性映射；
  

• 《抽象代數》中的 同態和同構；

  
  

• 《拓撲學》中的 拓撲同胚和同輪；
  

• 《範疇論》中的 態射、自然變換、函子；

思考思考的動物

不請自來，我是數學漫談——專注數學教育，傳播數學文化，下面談談我的認識。

函數是我們接觸很早的一個概念，初中階段我們開始接觸函數的概念，從一次函數到反比例函數再到二次函數，到了高中階段我們學習指數函數、冪函數、三角函數、反三角函數。可以說在中學階段我們一直在和函數打交道。

大學階段的高等數學或數學分析，研究對象就是函數，還有複變函數、實變函數、泛函分析等等。總之一句話如果你一直學習數學的話，你會發現函數是陪伴你最長的概念。

那到底函數的本質是什麼？其實函數的概念並非生來就有，也並非一成不變的，對於函數的本質，不同的歷史階段有不同的認知。人們對函數的認知從最早的變量說、發展為對應說，再到後來的關係說，最後推廣到集合範疇。

變量說階段

古羅馬數學家丟番圖在《算術》中引入了變量的概念，這是函數概念的萌芽。

函數概念的真正發展是16世紀以後，尤其是微積分的創立，極大的促進了函數概念的產生、發展和完善。

17世紀伽利略的著作《兩門新科學》中包含了變量或函數的概念，不過他是用文字和比例的語言來表達的，沒有明確的提到函數的概念。

在此之後，解析幾何之父——笛卡爾在研究中發現了兩個變量之間存在相互依賴的關係，最先提出了“變量”的概念。

1665年，牛頓提出了“流數術”，他用“流量”一詞描述變量之間的依賴關係。

1673年，數學符號大師——萊布尼茨首次提出了“函數”這一術語，用函數描述隨著曲線上的點變化的量。不過最早英文中的“function”並不解釋為函數的意思，而是“功能”，除此之外，他還引進了"變量"、"常量"、“參變量”等概念，這些名詞一直沿用至今。

以上都是在幾何範圍內給出的變量之間的依存關係，牛頓和萊布尼茨雖然創立了微積分，但沒有給出函數的解析定義。17世紀末以前，人們還沒有從普遍意義上認識到函數的本質。

對應說階段

微積分的創立極大的促進了函數概念的發展，在前人的基礎上，1718年，約翰.貝努利對函數概念進行了明確定義，把常數和變量x按任何方式構成的量稱為"x的函數"。

18世紀中葉，歐拉給出了函數的符號f(x)，並提出了函數的解析表達式，他認為：“一個變量的函數是由這個變量和常數以任意方式組成的解析表達式”，他還規定了函數在給定的函數的“定義域”內由同一個解析表達式來表示，這標誌著函數概念由幾何形態轉向代數形態。這和我們初等函數的概念已經很接近了。

關係說階段

函數的概念還在不斷的完善和發展，1800年前後，數學分析的嚴密化對函數概念提出了更高的要求。

1822年，傅里葉發現有些函數可以用曲線表示，也可用一個式子或多個式子來表示，他的發現推動了函數概念又一次發展，結束了函數概念是否用唯一式子表示的爭論。

1823年，柯西從定義變量角度給出了函數的概念，並給出了變量和自變量的定義，他認為無窮級數是定義函數的有效方法，但函數不一定有解析表達式。

1837年，狄利克雷給出了函數的定義：“若多x的每一個值，有晚去確定的y 值與之對應，則不管對應方式如何，都成為y對x的函數”。狄利克雷給出的函數定義已經和我們現在教科書中的定義很吻合了。

集合論下的函數

康托爾創立了集合論，人們把函數的定義域由數推廣到集合上。

1887年，戴德金給出了系統S上的一個映射蘊含了一個規則，依此規則，S中的每一個元素都對應著一個確定的對象，S稱為映像。這是函數概念的擴充。

隨後，維布倫用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義：

他把函數的定義域、值域及對應法則進一步具體化。

1939年法國的布爾巴基學派給出完善的現代函數的定義：

結語

結合以上函數概念發展的歷程，我們不難看出，隨著科學的不斷進步，函數的概念也在不斷完善，目前中學和高等數學上的函數是基於實數範圍內的，可以理解為：對於任意一個非空集合的自變量x，通過對應法則f，都能找到唯一確定的y與之對應，那麼y是關於x的函數。但除了實數範圍內的函數，我們還有複變函數（複數範圍內的）、實變函數、泛函分析、點集拓撲等和函數有關的學科。

關鍵字: 純粹理性批判 數學 邏輯哲學論