生活中，唯一性代表了稀缺和不二。有一句俗語很形象地說明了這一點：八畝田一根蒜。數學中，也有唯一性這種說法，但這些唯一性背後的數學邏輯，往往為人所忽視。數學中的唯一性大多出現在相關的幾何概念之中，一般是由位置的唯一性而產生相關圖形唯一，數量關係確定。

01--數學中唯一性的相關概念

細數起來，初中幾何入門從直線、相交線、平行線、垂線、中點、角平分線等這些基本概念開始，我們陸續接觸到與唯一性的概念。

• 兩點確定一條直線
• 過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
• 過已知點有且只有一條直線與這條直線垂直
• 兩條直線相交有且有一個交點
• 過不共線的三點的圓有且只有一個

02--這些唯一性背後的數學邏輯

• 兩點確定一條直線

俗稱直線公理，直線公理在教科書上是開門見山第一條。所謂公理，才是不證自明的，大家都公認的事實。直線公理是歐式幾何公理體系的基石，整個歐式幾何體系就是建立在23個定義,5個公設,5個公理的基礎之上的。

• 過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

俗稱平行公理，歐幾里得第五公設，是《幾何原本》中的第五條的公設，不證自明。由此還得出出另外一條推論：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

如圖1，平行公理的說明：已知點A為直線a外一點，直線l過點A且l//a。設直線l1過點A且l1//a,按平行公理，直線l與直線l1必然重合，即過點A與直線a平行的只有一條。

• 在同一個平面內，過已知點有且只有一條直線與這條直線垂直

俗稱垂直定理，這條定理可以用歐氏幾何的公理來進行證明。證明要分兩種情況：已知點在直線上；已知點在直線外。

如圖2，當點A在直線a上時，直線l過點A且l⊥a，求證：直線l是唯一的。

證明：假設另有一條直線l1過點A，且l1⊥a，則∠2=90°；由l⊥a得，∠1=90°；l1在∠1的內部，則∠1>∠2，這與∠1=∠2=90°矛盾，因而直線l唯一。

如圖3，當點A在直線a外時，直線l過點A且l⊥a，求證：直線l是唯一

證明：假設l1過點A且l1⊥a，則∠1=90°；由l⊥a得，∠2=90°，因而∠1=∠2=90°，所以l1//l，這與平行公理矛盾(

過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行)，假設不成立，故直線l唯一。

綜上所述，在同一個平面內，過已知點有且只有一條直線與這條直線垂直。

• 兩條直線相交有且有一個交點

如圖4，設直線a，b相交於點A，求證：點A是唯一的。

證明：假設直線a，b相交於另外一點B，則直線a，b同時經過點A和點B，即點A，點B確定兩條直線a，b。這與直線公理矛盾(兩點確定一條直線)，故兩條直線相交有且只有一個交點。

• 過不共線的三點的圓有且只有一個

如圖5，△ABC，⊙O過點A，B，C，求證：⊙O唯一。

分析：欲證⊙O唯一，即證圓心O唯一，半徑是定值。圓心O必須滿足條件：到點A，B，C的距離相等。為此，作兩邊的中垂線，兩條中垂線的交點即為圓心。

證明：作兩邊BC，AC的中垂線a，b，相交於點O。

點O在中垂線a上，由中垂線的性質，OB=OC；

點O在中垂線b上，由中垂線的性質，OA=OC；

所以OA=OB=OC，即點O到A，B，C三點的距離相等。

因而點A，B，C在以O為圓心，OA為半徑的圓上，

因為兩條中垂線的交點O唯一，OA是定值，因此⊙O唯一。

值得再多說一句的是，這個證明過程還順帶推出另外一個結論：三角形三邊的中垂線必然相交於同一點，該點即為三角形的外心。

為什麼呢？因為已證點O唯一，因此過點O與AB邊垂直的直線c唯一(垂直定理，前面已證)，由垂徑定理垂線c平分邊AB，因此直線c是邊AB的中垂線。所以三邊的中垂線必相交於一點O。

03--唯一性的應用之最(小)值

• 兩點之間，線段最短

兩點確定一條直線，聯結這兩點的所有線中，線段最短。所有線，包括折線，曲線等，如圖6，折線長>AB，曲線長>AB，即AB最短。

• 垂線段最短

過已知直線外一點，作已知直線的垂線有且只有一條。這一點與已知直線上所有點的連線中，垂線段最短。如圖7，點A與直線a的任意點所連線段AB，AC，AD，AE，AF，AG，AH，。。。，中，垂線段AD是唯一的且是最短的。

• 三角形兩邊的關係與三條線段組成三角形的條件

利用兩點之間，線段最短，可以推導出：

三角形任意兩邊之和大於第三邊，兩條較短的線段之和大於第三條線段，則三條線段可以組成三角形。

• 將軍飲馬問題

如圖8，點A，B在直線l的同側，在直線l上作一點P，使得點P到點A，B的距離之和最小，即PA+PB最小。

作點A關於直線l的對稱點A'，連A'B交直線l於點P，點P即為所求。在直線l上另取一點P1，點P1到點A，B的距離之和=折線AP1B=折線A'P1B=A'P1+BP1，點P到點A，B的距離之和=折線APB=A'P+PB=A'B。在△A'P1B中，由兩邊之和大於第三邊得，A'P1+BP1>A'B=點P到點A，B的距離之和，即點P到點A，B的距離之和最小。

04--結語

唯一性以直線公理，平行公理為基礎，推導出一系列與之相關的概念，並在應用中與求相關量的最(小)值相聯繫。其證明方法，常常採用反證法，求相關量的最小值，常常將問題轉化為三角形三邊的關係來解決。