如果要投票評選最優美的數學公式，歐拉公式 一定榜上有名，甚至很可能是位居榜首。它是長這個樣子滴：
在今日頭條裡隨便搜索“歐拉公式”，出來的都是下面這個畫風
人們對這個公式推崇備至的原因就是所謂的“五元會聚”，即，它把數學裡面最常用的5個常數：自然底數e，虛數單位i，圓周率π，以及兩個最基礎的數量單位0和1（有人從哲學的角度認為這代表了“無”和“有”），以巧妙的方式連接在一個公式中。因此很多人從哲學乃至神學的角度對它進行詮釋，認為它蘊含了宇宙最終極的真理和奧秘，甚至是上帝創造出來的，因而對它頂禮膜拜。
歐拉（Euler，1707-1783）
不得不說，筆者當年上中學的時候第一次見到這個公式，也是五體投地，激動地要向黑板下跪。但隨著大學後學了越來越多的數學知識，漸漸瞭解了這個公式的來龍去脈，也就沒有當初那激動了。其實，對這個公式最淡定的恰恰就是數學家們自己，因為他們心裡清楚這個公式是被人工構造出來的，因此一點兒也不神秘。
今天這篇文章，就是從現代數學的觀點來窺探一下這個公式的來龍去脈，揭開它的神秘面紗，來看一看為什麼說它一點兒也不神秘。
1.傳統證明
其實，上面那個等式只是歐拉公式的一個特例，真正的歐拉公式是下面這個式子：
其中x是一個實數。當x=π時，帶進式子裡就得到：
於是就得到了大名鼎鼎的
因此我們需要先證明最上面的那個歐拉公式。先來說一下大多數科普文章裡出現的證明方法，使用的是泰勒公式。首先寫出eˣ的泰勒展開式，或更確切地說，麥克勞林展開式：
為了做對比，我們再寫出sinx和cosx的
麥克勞林展開式：
我們把eˣ裡面的x替換成ix，再利用i²=-1，i³=-i，i⁴=1，便有
再把含有i的式子都提出來，並與sinx和cosx的麥克勞林展開式做對比，就變成
這樣就得到了歐拉公式
上面這個證明可以說是非常地簡潔與漂亮。但是很遺憾，從數學發展歷史的角度來看，這個證明並不是很完善，因為在歐拉那個年代，還沒有關於極限的精確定義，無窮級數的理論還很不成熟。當時的數學家也不會考慮收斂域這個問題。eˣ的泰勒公式裡面x是實數，能不能隨隨便便地就換成複數，換成複數以後是否還是收斂的，以及e的複數次方又是什麼含義，這些問題在當時都沒有搞清楚。所以歐拉只是天才般的憑藉自己的靈感寫下了這個式子，但是它的嚴格證明則是等後來關於複數和無窮級數的理論發展完善之後才有的。
歐拉的傳世名著《無窮分析引論》，正是在這部書裡提出了歐拉公式
接下來我們從現代數學的觀點來看一下這個公式的由來。
2.複變函數
要做的第一件事情就是把函數從實數推廣到複數，即考慮定義域與值域都是複數的函數，這樣的函數我們稱為複變函數。簡單的來寫，就是
這裡x，y都是自變量，u，v都是因變量，因此我們寫成更清楚的形式：
這裡u(x,y)和v(x,y)都是關於x和y 的二元實值函數，因此在複變函數裡面我們普遍的做法就是將其看成兩個實變函數。從而可以定義複變函數的極限，導數與積分。
當然，理論上u(x,y)和v(x,y)可是任意兩個實函數，它們之間彼此可以沒有任何關係。是這樣的話研究起來沒有太大的意義，我們希望它還是有某種關係的。最主要的是我們希望讓函數是可微的，這樣研究起來才有意義，於是我們就有以下一個非常重要的結論。
3.柯西-黎曼條件
我們知道，一個實值函數在某一點可微，是需要滿足一定條件的。同樣道理，一個複變函數要想在某一點可微，也需要滿足的一些條件，而且更加嚴格。它不僅要求在這一點u(x,y)和v(x,y)都是可微的，還需要滿足一個附加條件，即在這一點需要滿足
這個條件是如此之重要，被稱為柯西-黎曼條件。一個公式裡面同時出現兩位數學大神的名字，也是不多見。
這個條件是個充要條件，意思是說如果函數可微則一定滿足這個條件；反過來，如果滿足這個條件，則函數一定可微。證明起來也比較容易，只需要利用可微性的定義：自變量的差值減去因變量差值的常數倍是一個因變量差值的高階無窮小。同學們可以很輕鬆地利用這個定義，把柯西-黎曼條件自己推導出來。
大神合體（左為柯西，右為黎曼）
這裡想順便多說一句，一方面柯西-黎曼條件的出現使我們可以研究的函數的範圍大大縮小了，因為只有很少一部分函數滿足柯西-黎曼條件。另一方面，福兮禍之所倚，禍兮福之所伏。正因為有了柯西-黎曼條件，我們才可以以之為基礎推導出更多的性質來。從這個角度講，柯西-黎曼條件是大大的有用。
3.復指數冪函數
有了上述準備知識，我們就可以來研究復指數冪函數了，即指數為複數的指數函數。更通俗的講，eˣ裡當x是複數的時候，應該怎麼計算。
我們先回顧一下實值函數值的情景，對於普通的實值函數f(x)=eˣ，它滿足下面兩個條件
數學上有這樣一個規律，當你把一個簡單的概念往更高的範圍推廣時，一定要保持在原有範圍內的性質不能發生變化。於是我希望來定義一種e的複數次冪的計算方法，使得定義出來的這個方法仍然滿足下面兩條性質：
其中z，z₁，z₂ 都是複數。
首先假設
這裡利用的是第二條性質，其中A(y)和B(y)就是我們一樣尋找的函數，用我們前面的符號表示就是：
接下來我們需要讓它滿足第一條，即在任意一點可微，於是需要滿足柯西-黎曼條件，我們分別來求一下四個偏導數：
在求偏導的過程中千萬要注意，我們是使用了(eˣ)'=eˣ這個結論，這個結論是極端重要的，我們下面還會談到。
比較一下柯西-黎曼條件，就有
也就是說，我們需要自己找兩個函數A(y) 和B(y)，使他們滿足上面兩個式子，小夥伴們不妨先自己想一想，什麼樣的函數可以呢。
相信聰明的小夥伴們一定很快就能想出來了，在我們學過的函數里面確實有兩個可以滿足它：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx。因此我們就可以直接讓
當然肯定有小夥伴要問，有沒有其它的函數也滿足這兩個條件。答案是在可微的條件下，沒有其它函數了。這就是所謂的解析函數唯一性定理，它告訴我們，在保持函數解析的情況下，只有這一種可能的結果，因此我們只能這樣定義。於是我們就來定義復指數冪的運算法則
這樣一來就是我們熟悉的歐拉公式了。因此與其說它是一個公式，倒不如是說它是一個定義。不是說為什麼左邊等於右邊，而是說左邊這個東西我們一開始不會算，然後我們就直接讓它等於右面這個東西。這樣一來，這個公式的神秘性就大大降低了。
sinx和cosx這種互相求導得到對方的性質，是電磁波理論的重要基礎
4.關於e
當然還有很多小夥伴們肯定會不服氣：好吧，我承認這個是定義出來的，但是這樣定義是因為它要遵循一定的條件，而這個條件也有點太巧合了吧，這裡面是不是包含著某種神秘性的東西呢。
其實也不是，我再來進一步解構一下。
本文提供了兩種證明方法，第1種證明方法是利用的泰勒展開式，而我們在學習高數的時候肯定自己親手計算過eˣ的泰勒展式，他之所以長那個樣子，原因就是因為(eˣ)'=eˣ，而且它求任意次導都還保持不變。同樣的，對於第2種柯西-黎曼條件的方法，我在文中也特地強調過，在求偏導的過程中，它所依賴的條件也是(eˣ)'=eˣ，所以說(eˣ)'=eˣ這個式子才是整個問題的關鍵。
那我們就來看一下(eˣ)'=eˣ又是怎麼來的，它裡面是否又包含著某些神秘性的東西呢？答案也是否定的，它一點兒也不神秘。
我們希望尋找一個函數，使得求完導保持不變。根據導數的定義來推導發現，冪函數，三角函數，對數函數都不符合，唯一有可能滿足的只有指數函數，所以我們來考慮f(x)=aˣ，根據導數的定義有
所以只需要讓後面那個帶h的分式極限值是1就可以了，那麼我把a選成幾呢？我們通過函數圖像來試一試，當a分別取成2，2.5和3的時候，來看一下這個函數
從下到上分別是a=2，2.5和3的圖像，可以看出來它依次增高。而2.5在零處的極限值是小於1的，3在零處的極限值是大於1的，因此在2.5和3之間就存在某個數，使得a等於這個數的時候，極限的恰好為1。那這個數是幾呢？對不起，不知道。我們只好拿一個字母來代表它，那索性就用e好了(傳說中的歐拉是想以自己姓名Euler的首字母來表示它)。所以我們會有(eˣ)'=eˣ。至於後來我們知道e=2.71828...，那是後面的故事了。
當然還有另外一個來源，就是在計算複利公式中
不過這個式子與本文並無直接關係，因此就不再多著筆墨了。
因此在eˣ求導式子中，人工定義的痕跡更為明顯。不是說為什它求完導之後還保持不變，而是說有一個東西求完導保持不變的東西，那我們把它稱為e。這個道理，就好比說紅玫瑰是紅色的，難道這麼巧嘛，當然不是，而是因為我們把紅色的玫瑰叫成紅玫瑰。這樣一來，就更沒有什麼神秘性可言了。
5.結語
從上面的分析過程可以看出，雖然是有諸多線索，但歐拉公式仍然是被人工定義出來的。這樣一來，也就沒有絲毫神秘性可言了。換句話說，這個公式你可以說它美妙，說它精巧，但是它並不神秘。其實，這種事情在其他地方我們也經常幹。比如我們知道在一個大氣壓下，正好是100攝氏度的時候水沸騰，那麼巧的嗎？當然不是。而是水從液體到氣體中間總有這樣一個臨界溫度，我們就把這個溫度定義為100度。從固體到液體也有這樣一個臨界溫度，我們定義為零度，這之間分成100份，一份就是一度。表面上看起來和諧且美妙，但實際背後是人工操作的結果。
參考文獻
[1] 《複變函數》（第四版），餘家榮，北京，高等教育出版社
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