不知不覺中，我們又迎來了一年一度的“π日”（以及白色情人節）。2011年，國際數學協會正式宣佈，將每年的3月14日設為國際數學節。小學數學教材告訴我們，π的小數部分是一個無限不循環小數，不能簡單地用分數完全表示。所以值此π日之際，讓我們重溫小學的數學知識，揭開π的神秘面紗。
某不存在的網站上慶祝π日的Doodle，2018年3月14日。值得一提的是圖片上展示的是名廚Dominique Ansel為π日特別設計的蘋果派。向下滑動瀏覽詳細菜譜
（P.S.：小編當年親測過此菜譜，如果有小夥伴想在家嘗試，小編只能說……其實沒有蘋果的蘋果派還是蠻好吃滴）
1 π的前世今生
π就是人們常說的圓周率，是一個數學常數，定義為圓的周長和其直徑的比值。早在遠古時期，人類就發現圓的周長與其直徑之間有著不可告人的秘密♂。有出土文物顯示，早在古巴比倫時期，當時的幾何學家已經將圓周率的值推算到25/8。
最早的有記錄的嚴謹算法可以追溯到公元前250年，古希臘數學家阿基米德通過正多邊形算法得到了π的下界與上界分別為223/71與22/7，即3.140845< π <3.142857。
《沉思的阿基米德》
藝術家
年份
類型
收藏地
Domenico Fetti
約1620年
布面油畫
Gemäldegalerie Alte Meister，德累斯頓
阿基米德求圓周率的思路是首先構造圓內接多邊形和對應的外切多邊形。當邊數足夠大時，兩個多邊形的周長便趨近於圓周長的下界與上界。
思考題：如何證明22/7>π？
提示：
點擊空白處偷看答案
在此之後，數學家先後通過割圓術、無窮級數等方法計算π的值。1706年，英國天文學家約翰·梅欽已經可以利用格雷果裡-萊布尼茨級數產生的公式計算到π的第100位小數。同樣在這一年，威廉·瓊斯在《新數學導論》中第一個將π作為圓周率的專屬符號，但真正讓各國數學家接受這一設定的還要歸功於萊昂哈德·歐拉。1736年，歐拉在其《力學》一書中開始使用符號“π”，此後數學家們紛紛效仿。
《萊昂哈德·歐拉（1707-1783）》
藝術家
年份
類型
收藏地
Jakob Emanuel Handmann
約1756年
油彩
Deutsches Museum, 慕尼黑
萊昂哈德·歐拉，近代數學先驅，有史以來最偉大的數學家之一。法國數學家拉普拉斯曾這樣評價歐拉的貢獻：“讀讀歐拉，他是所有人的老師。”
特別地，π的值為3.1415926535897......，不僅是一個無理數（也就是說π是無限不循環小數），同時也是一個超越數（所謂“超越數”，是指不滿足任何整係數多項式方程的實數的數）。
“超越數”一詞出自歐拉1748年的評論：“它們超越代數方法所及的範圍之外。”但直到1844年，其存在性才被法國數學家劉維爾證明。
是的，小編介紹超越數就是為了發這張表情……所以看到的同學不轉發評論點贊嗎？
2 割圓術：優雅地計算π
說到π的計算，就不得不提大名鼎鼎的“割圓術”。約公元265年，數學家劉徽創立了割圓術，用正3072邊形計算出π的數值為3.1416。之後祖沖之在公元480年利用割圓術計算正12288邊形的邊長，得到圓周率約等於355/113（即密率）。在之後的八百年內，這都是準確度最高的π估計值。
祖沖之（429～500），字文遠，南北朝劉宋數學家。祖沖之給出了兩個分數值的圓周率：22/7（“約率”）與355/113（“密率”），後者將圓周率精確到小數點後第7位，這一紀錄直到一千多年後才由阿拉伯數學家阿爾·卡西打破。
割圓術的原理如今看來十分簡單，利用簡單的小學數學就可以論證。簡而言之，就是將圓分割成多邊形，分割來越細，多邊形的邊數越多，多邊形的面積就和圓的面積越接近。
當然如果我們站在劉徽和祖沖之的時代思考，這裡還有一個知識點亟待解決，即圓的面積與周長間的關係。同樣利用小學數學，我們得到 N邊形的面積 = N邊形的半周長 × N邊形外接圓半徑。
"N邊形的面積 = N邊形的半周長 × N邊形外接圓半徑"的證明
當N極大時，其面積也就極為接近於圓，也就是 圓的面積 = (圓的周長/2) × 半徑。這樣也就成功地將圓的面積與周長聯繫了起來。利用Wolfram Cloud，我們可以很直觀地演示割圓術的運算過程。（你問為啥不直接用Mathematica？遠程辦公的小編表示不卸載遊戲的情況下硬盤沒有足夠的空間安裝大型軟件）
知識點:割圓術的迭代算法
前文中只是粗略的介紹了割圓術的原理，在實際操作中還會遇到一些技術上的小問題。這裡簡單介紹割圓術的迭代算法，有興趣的同學可以用計算機模擬（有時間的同學可以試試像祖沖之一樣筆算）。
如上圖以O為圓心作圓O，然後構造正多邊形。原則上，多邊形可以為任意邊。不失一般性，此處正六邊形。從圓心O作某一條邊的垂直平分線OB，連接AB即為圓O的內接正十二邊形的一條邊。OB與正六邊形的邊相交於點C。設 |OC| = H，|CB| = h，|OA| = R ，正六邊形的邊長 = M，正十二邊形的邊長 = |AB| = m。於是有
為了簡便計算，令 |OA| = R =1，則有
於是我們得到了邊長的迭代公式
前面已經論證過“N邊形的面積 = N邊形的半周長 × N邊形外接圓半徑”，又由定義得知圓周率是“圓的周長和其直徑的比值”，故正N邊形的面積（S），邊長（m），外接圓半徑（R）之間有
同樣令 R =1，我們有
結合上面的迭代公式，顯然可以得到
這裡m和π的下標N表示結果是在正N邊形的前提下求得的。顯然，隨著邊數N的增大，求得的π的值也趨近於π的真實值。
3 無窮級數：更優雅地計算π
利用割圓法計算圓周率雖然思路比較簡單，但在計算上還是比較繁瑣，尤其是過去的數學家不像小編這樣可以藉助Mathematica計算。至今利用多邊形計算π最準確的結果是奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格在1630年得到的。為此格林伯格利用正10的40次方（也就是1後面40個0）邊形，計算得到π的第38位小數。為此，新的思路也就應運而生。
弗朗索瓦·韋達（左）、約翰·沃利斯（中）、戈特弗裡德·萊布尼茨（右）。接下來介紹的方法就來自這三位大神。
韋達的無窮乘積
圖片來源：twitter@fetedayy
套娃警告：此處無法“禁止套娃”～
韋達給出的其實並不是無窮級數，而是無窮乘積。一般認為，韋達的這項工作是歐洲最早的有關無窮項圓周率的公式。雖然小編暫時沒有考證到韋達最初是如何完成這項證明的，不過利用我們中學的數學知識基本可以完成證明。證明思路就是倍角公式。
等式兩邊同時除以x，有
這裡需要藉助一點大學的內容，利用極限
我們有
取 x = π/2，我們很容易得到
沃利斯乘積
沃利斯乘積，又稱沃利斯公式，由英國數學家約翰·沃利斯於1655年發現。要嚴格證明這個等式步驟有些繁瑣（也就是說各位讀者老爺懶的看），所以我們藉助歐拉（沒錯，又是他！）處理巴塞爾問題時使用的技巧來證明這一等式。（這裡值得一提的是，歐拉當年“求解”巴塞爾問題的方法現在看來也是不完備的。）
首先考慮正弦函數的麥克勞林展開：
兩邊同除以x，得
考慮到方程 sin (x) / x = 0 的根位於 x = …，-2π，-π，π，2π，…處，所以有
令 x = π/2，
公式得證。
格雷果裡-萊布尼茨公式
上面提到的兩個方法之所以比較有名，主要是因為提出的時間比較早。在實際計算過程中，人們更傾向於使用上面這個公式。它是由萊布尼茨於1674年發現，被稱為格雷果裡-萊布尼茨公式。不過有的小夥伴已經發現，這其實就是arctan函數的麥克勞林展開。由於太過於出名，相信大家已經爛熟於心，所以這裡就不過多介紹公式的證明了。當x取1時，arctan函數恰好等於π/4，所以比起以往的算法更為簡單。
不過特別提醒想要親自計算的同學，雖然格雷果裡-萊布尼茨公式看起來計算簡潔，但其收斂速度非常慢，因此現在基本不會用此公式來計算圓周率。這裡推薦一個印度傳奇數學家拉馬努金給出的公式
斯里尼瓦瑟·拉馬努金，20世紀印度傳奇數學家。他一生未受過正規的高等數學教育，但具有極為敏銳的直覺。拉瑪努金經常直接給出公式而不作證明，但而在他的理論在事後往往被證明是對的。數學家哈代評論拉馬努金的公式，有些他起先不能理解，但“它們肯定是真的，因為如果不是的話，沒人能有足夠的想像力來發明他們。”
彩蛋時間：一個不優雅的反面典型
在寫作這篇文案的過程中，小編忽然想起了當年曾在人人網上看到過一篇文章介紹圓周率的文章，小編的一個朋友（無中生友警告）一度深信不疑。
文章小編沒有搜到，不過倒是在發現有歪國人討論的不亦樂乎～
令 p = ∞，確實會使 π = 4。但上圖的證明顯然是錯誤的。考慮到圓的周長本質上是導數的積分，這幅圖的問題就在於，一致收斂函數的導數未必收斂。當然這個問題也可以從測度的角度來考慮，但無論是哪個角度，都不太可能在一篇文章裡解釋清楚。（更何況文章寫辣麼長，肯定沒人願意讀）所以就讓我們期待明年的3月14，繼續我們的π日說π吧～（前提當然是各位讀者老爺們千萬不要取關啊～～～）
看完今天的科普，肯定會有同學覺得意猶未盡。那麼問題來了，有沒有這麼一本書，可以在還原科學定理產生歷史的同時，深入淺出地介紹其背後蘊含的科學道理呢？
央視“加油向未來”節目科學顧問曹則賢老師傾情鉅獻，收錄數理史上數十例絕妙證明，涉及一百八十多位名家。因材施教，激勵少年讀者循著先哲開闢的道路前行。
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