勾股定理被称为是"千古第一定理"它的姊妹定理--勾股定理的逆定理也毫不逊色，两者结合起来可谓"珠联璧合"，相得益彰，现在介绍两类与勾股定理的逆定理相关的两个模型及其应用。深化理解这两个模型，有助于开启解题思路简化运算。

一"双剑合璧"型

基本图形与结论：如图1，在四边形ABCD中，∠B=90°.AB，BC，CD，AD均给出具体数值，先在Rt∆ABC中由图1勾股定理求出AC的长，若满足AC²+CD²=AD²，则由勾股定理的逆定理可得到△ACD是直角三角形，即所谓的"共边用勾逆"，这幅图看上去像是两把利剑合在一起，故谓"双剑合璧"

1．（2019秋•雁塔区校级期中）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°．

（1）求BD的长；

（2）求∠ADC的度数．

【分析】（1）首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长；

（2）根据等腰直角三角形的性质求出∠ADB＝45°，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，即可求出答案．

【解答】：（1）在Rt△BAD中，

∵AB＝AD＝2，

∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，

∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝45°+90°＝135°．

2．（2019秋•简阳市期末）我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．

（1）求出空地ABCD的面积．

（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出∠DBC＝90°，进而得出答案；（2）利用（1）中所求得出所需费用．

【解答】：（1）连接BD，

（2）所需费用为36×200＝7200（元）．

变式．（2019秋•灌云县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？

【解答】：连结AC，在Rt△ACD中，

∵AC²＝CD²+AD²＝3²+4²＝25，∴AC＝5，

∵AC²+BC²＝5²+12²＝169，AB²＝13²＝169，

∴AC²+BC²＝AB²，∴∠ACB＝90°，

该区域面积＝S△ACB﹣S△ACD＝30﹣6＝24平方米，

铺满这块空地共需花费＝24×30＝720元．

二. "费马点"型

基本图形与结论：如图4，P点是等边△ABC（此特殊几何图形还可以为等腰直角三角形或正方形）内一点，PC，PB，PA均给出具体数值，且常是一组勾股数，以BP为一边，构造等边△BPE，连接AE（或将△BPC绕点B逆时针方向旋转60°得到△BEA.等腰直角三角形或正方形一般是旋转90°），即可由"手拉手"模型得到△BEA≌△BPC.再由"勾逆"得到Rt△AEP。本图形中的P点类似于"费马点"。

以上结论可为计算角度提供依据，帮助理清思路和简化运算。

3．背景资料：

在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为"费马点"．

如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．

解决问题：

（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝_____；

基本运用：

（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；

能力提升：

（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．

【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用"边角边"证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．

（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BPP′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BP＝PP′，等边三角形三个角都是60°求出∠BPP′＝∠BP′P＝60°，然后求出C、P、A′、P′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到PA+PB+PC＝A′C．

【解答】：（1）∵△ACP′≌△ABP，

∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，

由题意知旋转角∠PA P′＝60°，

∴△AP P′为等边三角形，P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，

易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，

∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；

故答案为：150°；

（2）EF²＝BE²+FC²，理由如下：

如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，

由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAF＝∠E′AF，易证△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，

∵∠CAB＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，

∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′P′B如图所示；

∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，

∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，

∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，

∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，

∴△BPP′是等边三角形，

∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，

∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，

∴∠COP+∠BPP′＝∠BP′A′+∠BP′P＝120°+60°＝180°，

∴C、P、A′、P′四点共线，

变式（1）（操作发现）

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝_____．

（2）（问题解决）

如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝√3，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；

（3）（灵活运用）

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝√5，BP＝√2，PC＝1，求∠BPC的度数．

【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；

（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝√3/2，P′M＝3/2，根据勾股定理即可求出答案；

（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝1/2（180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；

【解答】：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；

（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，

将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，

∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝√3，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，

∴PP′＝√3，∠BP′P＝60°，