面壁者y05
如果把球放在一個平面上，那麼球與平面的接觸的面積是不是無限小？
理論上球體和平接觸區域為一個點，而點是無法計算面積的，認為其是無限小並沒有什麼問題！
但事實上這種理想的狀態是不存在的，因為理論上的剛體在現實生活中沒有任意物體可以替代，即使最最堅硬的金剛石，依然是有變形的餘地的，因此一個非理想硬度的球面接觸一個非理想硬度的平面，那麼兩者都有形變的過程，而接觸面將是一個類似的拋物面，因為只有理想硬度的球體在會在平面上留下球面凹痕，而非理想硬度的球體則由於自身也會一定程度的形變，只能留下一個拋物面！
而這個痕跡的大小可以來表示平面的硬度大小，一般測試硬度方式有布氏（HB）、洛氏（HR）和維氏（HV）！
布氏硬度測試一般以10mm及2.5mm的鋼球測測試頭，壓痕比較大
洛氏硬度測試一般以錐角為120°的金剛石圓錐或直徑為1.588毫米的鋼球為壓頭。
維氏硬度測試一般以兩相對夾角為136°的正稜形角錐
理想化的一個問題到了現實世界，就成了測試硬度的一個方式，而且這個硬度測試方式應用還非常普遍！
星辰大海路上的種花家
如果是一個理想化的剛體球和一個理想化的剛體平面，球和平面接觸的地方就是一個點，一個點無面積可言。如果放到現實中，現實中不存在這樣的球和這樣的平面。把球放到一個面上，接觸的地方是一個曲面。
這樣的問題涉及到物理學中的“模型”。剛體是物理學中常用的一個理想化模型，真正的剛體是不存在的。用理想化的模型在處理一些問題時可以非常奏效，能夠將一些無關緊要的因素忽略掉，抓住關鍵因素直擊真相。
真正的球放到面上，在力的作用下球和麵都會發生形變。既然如此，幹啥還要引出“剛體”這個模型？有物理學家詼諧的形容過，模型就是奧地利的火車時刻表，奧地利的火車經常晚點，乘客憤怒的問列車長“你們還要時刻表幹啥？”列車長回答“有了時刻表你們才能知道火車晚點呀”。
剛體球和剛體面接觸會有無限小的接觸面積，或者能夠產生無窮大的壓強。甚至晃動一根很長的剛體棍子，棍子的另一端能夠違背相對論超光速運動。而晃動真實的棍子，棍子的晃動信號只能以機械波的速度向前傳送。理想化的模型永遠不能實現，依靠理想化的模型“推翻”原有的物理知識只能是想當然。但是模型作為簡化問題處理的一個重要方法，會一直使用下去。
刁博
相信很多人小時候都思考過這個問題——球與地面的接觸面積到底有多大？
為了防止一些誤解，我再複述一下題主的補充說明：
球是絕對堅硬的這句話的意思，其實就是要求球不會有形變。
這種物質當然不存在（如果存在就會違反相對論），但我們仍然可以討論。
球可以不形變，但地面可以形變啊。
為什麼一定會有形變呢？我們考慮如果地面一開始不形變，那接觸面積就是零。
零通常會導致問題。
接觸面面積為零，意味著壓強無窮大。這顯然不是真實材料可以承受的壓強，所以材料一定會形變。
我們通常觀測不到物質的形變，是因為他們能承受的壓強本身就很大，所以只需要很小的接觸面就可以支撐物體。但「很小的接觸面」並不等於零。我們在思考問題的時候，一定要注意這個問題。
再說說為什麼不會有絕對堅硬的物體：很簡單，如果存在絕對堅硬的物體，那我如果有一個很長的杆子，我在一頭推一下，那另一頭就會立刻運動一下。這樣，信息傳遞的速度就超光速了。這與狹義相對論相悖，所以在相對論的體系下，是不允許絕對堅硬的物體存在的。
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章彥博
這個是當然的。
如果球面與平面是相切的，那麼球面與平面相交在一個點。而一個點是沒有面積的，所以面積不是無限小，而是嚴格等於零。
那麼問題來了，一個球放在平面上，所以面積等於零，那麼壓強就等於無限大——因為壓強等於壓力除以面積。而無限大的東西是不合理的，因此，這個說法似乎存在物理上的矛盾。
因此，我們要搞清楚你問的到底是物理問題還是數學問題。
如果是數學問題，那麼球與平面的接觸的面積是無限小。
如果是物理問題，那麼球與平面的接觸的面積不可能等於零，至少應該是一個有限值，因為要考慮到壓強不發散——因此，這個球體必須是會變形的。
著名的科學段子手畢導曾經論證過薯片掉到地上為什麼還可以繼續吃。原因也很簡單，因為薯片是一個曲面，如果與地面相切，那麼切線是一條曲線，而曲線的面積也等於零，所以薯片其實不會變髒。這個就是數學論證。
但如果考慮物理論證，薯片掉地上肯定會有形變，接觸面積一定不是零，因此有一部分接觸面積是變髒了——不能繼續吃了。
因此，在你的提問中，你提出“球是絕對堅硬的”，這個假設其實不是一個合理的假設，而是一個數學假設。討論現實問題我們最好不要使用數學假設。
我想，這個問題是很簡單的。一定要搞清楚物理與數學的區別。
軒中科技評論
無限小和0是兩個概念！另外，球在平面上，通常理解為求球與平面相切時的位置。而不是理解為球在平面的上方！
這裡，題乾的“接觸”也極不數學化，你要說：球與平面相切，切點的面積為0，不會有任何問題！
證明如下：假設平面與球有公共點，那麼這樣的點既在平面上又在球上，那就是平面與球的交線圓上（可解析法證之），設球的方程為x²＋y²＋z²＝R²，作平面z＝h，則，
x²＋y²＝（R²－h²），h→R，（x，y）→P（0，0），即lim（x，y，h）＝（0，0，h），（h→R），S（P）＝0.
有人可能想到，這個不是顯然的嗎？需要證明嗎？
問題來了，在n維單形中，這些還是幾何或物理直觀嗎？不證明行嗎？
林根數學
從兩種方面考慮：理想狀態下，接觸面是一個點，面積等於0；而現實狀態下，接觸面積不為零，具體面積要視物體的材質而定。
- 在數學裡面，這是一個完美的球體，所以接觸面積就是一個點，但是一個點是沒有面積的
- 而物理就不同了，在題主的這個問題裡，我們不能忽略形變，因此接觸面積不可能為零，否則物體給予的壓強就變成無窮大了。
這邊就想到一個更有趣的例子，我以前寫過一篇關於托里拆利小號的文章：
我們先想象一下函數 y=1/x 的圖像，然後將x≥1 的部分繞著 x 軸轉一圈，圖像在下面（這個很好想象的）
圖像長得像一個小號
之後，我們隊這個小號的內表面積和內容積做一個計算
我們發現，它的內容積是π，但是內表面積居然是無窮大。
- 打個比方，就是我們給這個小號裡面塗油漆，因為表面積無窮，因為我們永遠塗不全；但是我們給小號灌水，因為容積有限，很快就滿了。
當然了這種現象也只在數學中存在，因為我們完全忽略了現實狀態下的厚度。
賽先生科普
不是無限小！
首先要明白數學和物理上的概念並不都是一致的，甚至會是矛盾的。比如說，無限分割的問題，在數學概念上，物體是可以無限分割的，也就是說沒有最小的長度單位，你永遠找不到一個比0大的最小的數！
但在物理上和現實中物體是不可以用無限分割的，而且也有最小的長度單位，它就是普朗克長度。對於我們來說，任何小於普朗克的長度都沒有意義，這並不是信口開河，而是有相關證據的（想了解的可以去搜索“普朗克長度”簡單瞭解）！
同時，假設接觸面積是無限小，根據壓強等於壓力除以面積，得出來壓強就是無限大，這在物理上也是說不通的！
還有，愛因斯坦的宇宙時空觀告訴我們，我們所在的宇宙時空結構並不是平坦的，是具有彈性的，是有凹陷的，所以理論上也不可能存在絕對的平面，無論如何都會有一定的曲率！
所以，球與平面接觸面積是無限小隻適用數學概念上，在物理和現實中都不可能實現！數學可以在很多方面讓物理學有更好地發展，但數學概念並不是全部適用於物理！
說白了，數學是人類認知宇宙的一個工具，而物理才才能更好更準確地描述宇宙的本質！
宇宙探索
無窮小量的定義是：
無窮小量即以數0為極限的變量，無限接近於0。無窮小
無窮小這個概念我認為是翻譯上的問題，會給開始學習微積分的同學很大的困惑。但是，對數學的學習首先要吃透數學概念。
無窮小量即以數0為極限的變量，無限接近於0。理解無窮小隻要想通一個問題就可以了。0.99999...（無限循環）這個數等不等於1？數學證明有很多種，比如說0.3333....... = 1/3 那麼0.3333...... * 3 = 1/3 * 3 = 1。是不是和之前的知識連接有問題？1 - 0.99 = 0.01； 1 - 0.9999 = 0.0001；只要0.999...有位數，那麼1 - 0.999... = 0.00...1，那麼這個數怎麼會等於0呢？
迴歸定義，自然清明。無窮小量的極限為0，無限接近於0。這樣的話，dt = 1 - 0.999....就是最應該知道的無窮小量。
既然無窮小的極限為0，根據定義lim 無窮小量 = 0。
迴歸問題
如果把球放在一個平面上，那麼球與平面的接觸的面積是不是無限小？球是絕對堅硬的。我們假設平面也是絕對堅硬，我想你想問的是這種情況。
先看二維
圓的曲線與X軸的任意一個交點到底是一個點還是無窮小呢？答案自然只是一個固定的點。
迴歸到球，我們可以以上圖的任何一個交點，將圓旋轉360度，可以得到一個三維的球形。在絕對堅硬的情況下，球與地面自然也只是在一個點上存在接觸。
結論
如果把球放在一個平面上（絕對堅硬），那麼球（絕對堅硬）與平面的接觸的面積不是無限小。
逃學博士
對於這個問題要一分為二的看。哪兩個方面呢？理論上的和實際上的。我猜測題主問的是理論上的，因為他說球比較堅硬，但是說法有點不夠準確。
理論上，如果球是剛體，而接觸面也是剛體的話，接觸點就是無窮小。當然這是理想化的模型，現實生活中找不到。我們可以想象在茫茫的宇宙空間，一個剛體球和一個平面接觸，它們之間沒有任何壓力，僅僅是接觸，此時接觸面積就無限小。
事實上，當一個球放在平面上，由於重力作用的影響，球和平面都會發生形變，他們直接接觸的面積就不會為無限小。只是如果球和平面都比較堅硬的話，它們之間的微小形變不易察覺罷了。對於這個微小形變我們可以通過放大法來觀察。
以上是我個人觀點，希望能夠幫到你。也希望朋友們批評指正，共同進步。
中學物理教師平哥
不會
如果是理想情況，球體絕對圓，平面絕對平，物體強度絕對大，完全剛性，不發生形變，球和平面接觸的就是一個極小的點。
由於物體有重量，接觸點的壓強是無限大。只有物質絕對硬的時候才能維持這個接觸點。
由於物體會發生形變，接觸點會擴大成面，壓強減小。當壓強和物體的強度相等時，球和平面處於受力均衡狀態，接觸面不再擴大。
球在平面保持靜止。
