蘇俊 譯
江蘇省海安高級中學
導論
將量子計算的想法變成實用的技術是當前科技領域的一大挑戰，利用變化的電磁場來操控硅晶體管中的電子，是一個較為可能的實施方法。
在本題中，我們嘗試利用射頻反射法和單電子晶體管(以下簡稱SET)從硅基量子計算原型機讀出量子比特。
本文第一部分與第二部分討論無線電波在電纜中的傳輸，第三部分探究了無線電波的反射條件，第四部分介紹了SET，第五部分與第六部分介紹了射頻反射技術以及優化方法。
第一部分：同軸傳輸線的集總元件模型
同軸電纜的中間層為銅芯，半徑為a，磁導率可忽略；銅芯外面有一層銅質殼層，半徑為b。它們之間是相對介電常數為、相對磁導率為的電介質。當電磁波信號在電纜中傳播時被限制在銅芯與銅質外殼之間。
圖1 同軸電纜線示意圖：C:銅芯，I：介電絕緣層，S:金屬外殼，J:塑料包層
問題1.1：計算電磁波在同軸電纜中的傳播速度。
問題1.2：若長度為的銅芯所帶電量為，銅殼接地，試計算銅芯與銅殼層之間的電場分佈。
問題1.3：計算單位長度同軸電纜的電容(可以用長度為的電纜計算)。
問題1.4：計算同軸電纜單位長度的電感。電感與電容的同軸電纜可以等效成一個集總元件模型。銅芯具有電感，銅芯與銅質殼層構成電容器。集總元件模型如下圖所示：
圖2 同軸電纜集總元件模型的電路示意圖
問題1.5：(1)證明半無限長電纜的阻抗，(2)若電纜的阻抗，其中電介質，，試求的值。
第二部分：通過接地平面迴流的傳輸電纜
另一種等效的假想電纜模型如圖3所示。輸入信號在半徑為的細小導線內傳輸，在導線下方相距為的地方有一個接地導電平面，且。導線周圍填充著相對介電常數為、相對磁導率為的電介質，電流通過接地平面返回。
圖3 假想電纜示意圖：C:半徑為的細小導線，P:接地導電平面，與電纜相距為，。導線周圍由相對介電常數為、相對磁導率為的電介質填充
問題2.1：試求這種假想電纜的特徵阻抗。
第三部分：射頻反射技術基礎
電磁波在電纜中可以同時向兩個方向傳播，在每個傳播方向的特徵阻抗為(類似於歐姆定律)，其中為電壓，為電流。考慮兩個電纜的接口處，電路如圖4，兩個電纜的阻抗分別為與。
圖4 電纜接口示意圖：左側電纜阻抗為，右側電纜為。假設端口的尺寸遠小於信號的波長
當信號通過阻抗為的電纜傳輸到接口處，有一部分信號繼續傳播到右邊阻抗為的電纜，另外一部分信號被反射，沿著原路返回。
問題3.1：試計算信號反射率.
問題3.2：試求信號被反射過程中相位改變所滿足的條件。
第四部分：單電子晶體管
單電子晶體管(SET)由一個量子點(量子點是一個孤立導體，電子被局域在量子點中)和它附近的電極構成。柵極G通過柵電容與量子點連接，源極S與漏極D通過隧道結與量子點連接。根據量子力學，電子可以通過隧道結髮生量子隧穿效應。SET的電路示意圖如下：
圖5 單電子晶體管的電路示意圖：QD是量子點，S是源極，D是漏極，G是柵極
柵電容為，隧道結電容為，若，可以將看作量子點的總電容。在本題中假定源極和漏極電勢恆為，柵極電壓恆為。
問題4.1：若量子點有個電子，(1)試求量子點的電勢。(2)若將一個電子從源極或漏極轉移到量子點，計算所需要的附加能量。
如果電子會自發地隧穿到量子點，最終達到電子數，使得。達到平衡態的電子數及其相應的附加能量可以通過柵極電壓來控制。
問題4.2：通過調節柵電壓，計算的最大值max。
如果，那麼電子發生隧穿不需要額外的能量，此時SET處於易導通的ON態；如果，SET的導電性能會受到抑制，處於不易導通的OFF態。當然，處於量子點的電子也需要滿足一定的條件。首先，如果處在源極或漏極的電子熱動能太大，這些電子會自發跑到量子點，SET的ON與OFF態就沒有差別。其次，電子隧穿到量子點或者離開量子點限制了它們的能態壽命。這種隧穿效應可以用隧道結的有效電阻來模擬，其特徵隧穿時間等於通過隧道結對量子點充電或放電的特徵時間。
問題4.3：寫出電子由於熱運動而轉移到量子點的臨界溫度。
問題4.4：(1)利用隧道結的電容和有效電阻來估算量子點的隧穿時間。
(2)為了能有效區分量子點的ON與OFF態，試求有效電阻需要滿足的條件。
第五部分：利用射頻反射技術讀取SET的ON與OFF態
SET的ON與OFF態對量子電路的電勢很敏感，因而區分ON與OFF態，為讀取量子計算機的信息提供了一個有效的方法。SET的ON態可以用kΩ的電阻來模擬，而SET的OFF態則可以將SET看作絕緣體。我們可以通過測量信號通過源之後的反射來辨別SET所處的態，一個簡便的方法是利用射頻反射法來測量反射信號的強度和相位，從而確定反射率。若SET的ON與OFF態對信號反射率分別為與，它們的差值記作：
問題5.1：若圖6中的阻抗為，計算SET的導通態(ON)與絕緣態(OFF)反射率的差值。
圖6 阻抗Z0與SET連接後的電路圖
為了使兩態間反射率的差值更明顯，提高射頻反射技術的靈敏度，在電路中可以再接入一個電感器。由器件引起的固有電容pF，射頻反射傳輸信號的角頻率為。
圖7 調整後的SET電路
問題5.2：若兩個反射率的差值接近，試估算相應的電感；當MHz，估算電感，計算相應的。
第六部分：單導線量子點(SLQD)的電荷感應
對於可擴展的計算架構，連接到單個量子比特的導線數目需要最少化。在硅基計算機中，一個替代SET的方案是SLQD。SLQD在很多方面與SET類似，但是它沒有源極和漏極，只有柵極，柵極不僅可以控制量子點的電子能態，也可以進行射頻反射。
與SET類似，SLQD也有OFF態，此時表現為一個絕緣體。與SET不同的是，SLQD的ON態等效為一個電容，電容值為Cq。為了使得SLQD的反射率差值ΔΓ最大，設計如圖8電路。由電路確定的寄生電容為pF，但是我們可以改變和頻率來最大化。這裡電纜的特徵阻抗為Ω。
圖8 SLQD的讀取電路連接到電纜
問題6.1：對於給定的與，，若要使得，試求與。
理論上最優化的一般都比較大，在技術上不太可行。因而，我們通過增加其他電子元件來提高射頻反射讀取電路的靈敏度。
問題6.2：假設和是確定的，在不需要較大電感的情況下，要使得，在電路中添加什麼電子元件可以達到這樣的效果，試給出這種元件所需的參數。
（本文為2019年亞洲物理奧林匹克競賽，理論第1題；該題目的解答將刊登於2020年4月25日出版的《現代物理知識》雜誌）
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