1、題目特徵
排列組合問題中，題目要求某幾個元素不相鄰，求有多少種不同組合方式。
例：7人坐成一排，其中甲、乙不能相鄰，問有多少種不同的坐法？
2、技巧在手，天下我有
解題步驟三步走
①先排可以相鄰的，形成若干個空位
②再將不相鄰插空
③算總情況數：分類用加法，分步用乘法
3、搓搓小手，技巧到手
【例1】有A、B、C、D、E五個人要排成一行，A、B要求不相鄰，問一共有多少種排列方法?
A.24 B.36 C.48D.72
【答案】D
【解析】插空法：不相鄰
①先排可以相鄰的C、D、E，為，會形成4個空位
②再將不相鄰的A、B插空，此時A、B交換順序對結果有影響，應考慮A、B的順序，為
③算總情況數：分類用加法，分步用乘法，本題為分步，故用乘法，為×=6×6×2=72。
【例2】五本不同的童話書和四本相同的漫畫書整齊的擺放在書架上，現在要求所有漫畫書不能擺放在一起，問有多少種擺放方法?
A.120 B.1200 C.1800 D.17280
【答案】C
【解析】插空法：不相鄰
①先排可以相鄰的5本不同的童話書，會形成6個空位
②再將不相鄰的4本相同的漫畫書插空，因為漫畫書都是相同的，不用考慮順序，為
③算總情況數：分類用加法，分步用乘法，本題是先排童話書，再排漫畫書，分步排列，因此用乘法，×=120×15=1800。
4、方法我有，快來練手
【練1】某條道路一側共有20盞路燈。為了節約用電，計劃只打開其中的10盞。但為了不影響行路安全，要求相鄰的兩盞路燈中至少有一盞是打開的，則共有（ ）種開燈方案。
A.2 B.6 C.11 D.13
【練2】甲、乙、丙、丁、戊，五個同學排隊照相，甲乙同學不能站在一起，問有多少種站法?( )
A.36 B.48 C.60 D.72
【練3】把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩旁，每側種植9棵，要求每側的柏樹數量相等且不相鄰，且道路起點和終點都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法?( )
A.36 B.50 C.100 D.400
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Ø 參考答案及解析
【練1】【答案】C
【解析】熄滅的10盞路燈彼此不能相鄰，插空法，亮著的10盞路燈之間有11個空，C（11 10）=11種，選C
【練2】【答案】D
【解析】因為甲乙不能站在一起，即不相鄰，所以使用插空法，先安排剩餘的丙丁戊三個人，共有A3 3=6種排列方式，再把甲乙插入到丙丁戊形成的4個空當中，共有A4 2=12種排列方式，所以共有6×12=72種排列方式。因此選擇D。
【練3】【答案】C
【解析】每側種植9棵，即包括3棵柏樹和6棵松樹。由於每側的柏樹數量相等且不相鄰，滿足插空法的適用環境，且道路起點和終點都必須是松樹，所以可以先將6棵相同松樹依次排列，再往中間5個空當中插入三棵柏樹。共有=10種方法，由於兩側都需要種，分步用乘法，所以共有10×10=100種不同的種植方法。因此選擇C。
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