128437876484數學前沿
距離中考不到100天，許多同學也已經進入最後一輪複習。集中精力攻克一些重難點，是眼下拔高成績的關鍵。但很多同學表示，中考數學中難度大、分值高的壓軸題，是一塊非常難啃的硬骨頭，解答壓軸題時，往往信心不足，往往每寫出來第一小問，下面兩問思路不暢，就舉手投降了。久而久之，每次考試做到壓軸題，還沒讀題就已經畏懼三分，感覺已經註定要平白無故丟掉十幾分。我們知道，在中考這樣的大型考試中，多一分就能超過數人，更別說十幾分。尤其是對於目標考到130分以上的同學來說，這道關鍵題是必須要拿下的！
導語
縱觀五年各省市中考壓軸題，除了大多也以二次函數為背景框架的壓軸題外，也出現很多以幾何綜合與探究型的形式出現，它以基本幾何圖形為背景，在動點或者圖形變換中涉及三角形性質、判定、全等、相似或特殊的平行四邊形等知識。主要涉及的類型有：運動產生的線段、面積、等腰三角形、直角三角形、特殊四邊形問題。主要考查學生綜合運用知識的能力，其思維難度高方法靈活。
綜合與探究題作為考試的一個重要考察點，綜合了幾何的知識，再涉及動態變化，函數的極值問題。對學生的分析判斷、推理論證、空間觀念和探究能力都有較高的要求，考查了學生的數學綜合應用能力，符合課標要求。
幾何綜合與探究題的題型
幾何綜合題的呈現形式多樣，如摺疊類型、探究型、開放型、運動型、情景型等，背景鮮活，具有實用性和創造性，考查方式偏重於考查考生分析問題、探究問題、綜合應用數學知識解決實際問題的能力。以幾何為主的綜合題常常在一定的圖形背景下研究以下幾個方面的問題：
①.證明線段、角的數量關係（包括相等、和、差、倍、分及比例關係等）；②.證明圖形的位置關係（如點與線、線與線、線與圓位置關係等）；③.幾何計算問題；④.動態幾何問題等。
（1）幾何型綜合題：
主要考察了利用圖形變換（平移、旋轉、軸對稱）證明線段、角的數量關係及動態幾何問題。這類題往往圖形較複雜，涉及的知識點較多，題設與結論之間的關係較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答。將幾何綜合題目分解為基本問題，轉化為基本圖形或者可與基本圖形、方法類比，從而使問題得到解決。
例1.（2019•淄博中考題）如圖1，正方形ABDE和BCFG的邊AB，BC在同一條直線上，且AB＝2BC，取EF的中點M，連接MD，MG，MB．
（1）試證明DM⊥MG，並求MB/MG的值．
（2）如圖2，將圖1中的正方形變為菱形，設∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它條件不變，問（1）中MB/MG的值有變化嗎？若有變化，求出該值（用含α的式子表示）；若無變化，說明理由．
【解析】（1）如圖1中，延長DM交FG的延長線於H．證明△DMG是等腰直角三角形即可，連接EB，BF，設BC＝a，則AB＝2a，BE＝2√2a，BF＝√2a，求出BM，MG即可解決問題．
（2）（1）中MB/MG的值有變化．如圖2中，連接BE，AD交於點O，連接OG，CG，BF，CG交BF於O′．首先證明O，G，F共線，再證明點M在直線AD上，設BC＝m，則AB＝2m，想辦法求出BM，MG（用m表示），即可解決問題．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，菱形的性質，解直角三角形，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數解決問題，屬於中考壓軸題．
例2．（2019•襄陽中考題）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE於點O，點G，F分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．
①求證：DQ＝AE；
②推斷：GF/AE的值為 ；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，BC/AB＝k（k為常數）．將矩形ABCD沿GF摺疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG，EP交CD於點H，連接AE交GF於點O．試探究GF與AE之間的數量關係，並說明理由；
（3）拓展應用：在（2）的條件下，連接CP，當k＝2/3時，若tan∠CGP＝3/4，GF＝2√10，求CP的長．
【解析】（1）①由正方形的性質得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，於是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ． ②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題．
（2）結論：FG/AE＝k．如圖2中，作GM⊥AB於M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問題．
（3）如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長線於M．利用相似三角形的性質求出PM，CM即可解決問題．PC＝9√5/5．
【點評】本題屬於相似形綜合題，考查了正方形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬於中考壓軸題．
（2）分類討論問題：
分類討論問題主要考查分類討論的數學思想，常見的類型有：等腰三角形、直角三角形、相似三角形，平行四邊形(矩形、菱形、正方形）。有些題目在分類討論列方程求解後，還要檢驗，排除干擾。
例3.（2019•湘潭中考題）如圖一，在射線DE的一側以AD為一條邊作矩形ABCD，AD＝5√3，CD＝5，點M是線段AC上一動點（不與點A重合），連結BM，過點M作BM的垂線交射線DE於點N，連接BN．
（1）求∠CAD的大小；
（2）問題探究：動點M在運動的過程中，
①是否能使△AMN為等腰三角形，如果能，求出線段MC的長度；如果不能，請說明理由．
②∠MBN的大小是否改變？若不改變，請求出∠MBN的大小；若改變，請說明理由．
（3）問題解決：
如圖二，當動點M運動到AC的中點時，AM與BN的交點為F，MN的中點為H，求線段FH的長度．
【解析】（1）在Rt△ADC中，求出∠DAC的正切值即可解決問題．∠DAC＝30°．
（2）①分兩種情形：當NA＝NM時，當AN＝AM時，分別求解即可．
②∠MBN＝30°．∵∠BAN+∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四點共圓，利用四點共圓解決問題即可．
綜上所述，可求滿足條件的CM的值為5或5√3．
（3）首先證明△ABM是等邊三角形，再證明BN垂直平分線段AM，解直角三角形即可解決問題．可求FH＝5√3/6．
【點評】本題屬於四邊形綜合題，考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質，銳角三角函數，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬於中考壓軸題
(3)最值型問題：
這類題則需要根據條件，利用幾何形狀，利用幾何變換進行轉換，或創設函數，利用函數性質（一般是一次函數、二次函數的增減性）求解。同時注意求最值時要注意自變量的取值範圍。
例4.（2019•貴港中考題）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉得到△A′B′C，記旋轉角為α，當90°＜α＜180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交於點E．
（1）如圖1，當∠CA′D＝15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC於點F．
①寫出旋轉角α的度數；
②求證：EA′+EC＝EF；
（2）如圖2，在（1）的條件下，設P是直線A′D上的一個動點，連接PA，PF，若AB＝√2，求線段PA+PF的最小值．（結果保留根號）
【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解決問題．旋轉角為105°．
②連接A′F，設EF交CA′於點O．在EF時截取EM＝EC，連接CM．首先證明△CFA′是等邊三角形，再證明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解決問題．
（2）如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長線於M．證明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F關於A′E對稱，推出PF＝PB′，推出PA+PF＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解決問題．
【點評】本題屬於四邊形綜合題，考查了旋轉變換，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形的三邊關係等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬於中考壓軸題．
解這類問題要注重在圖形的形狀或位置的變化過程中尋找函數與幾何的聯繫，需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，並特別關注運動與變化中的不變量、不變關係或特殊關係，動中取靜，靜中求動。
求解壓軸幾何問題的策略
(1)課本知識系統化
立足基礎知識，要充分體現教材的基礎作用，深入挖掘教材的考評價值。這類壓軸題所考察知識點源於課本，都能在初中數學課本找到原型，複習要注重對這些原型的加工、組合、類比、改造、延伸和拓展，使分散在各章節的知識點一一過關，形成知識系統，為解這類壓軸題奠定知識基礎。
(2)解題思路經驗化
探索解題思路的規律，形成解題經驗。在綜合複習過程中，要揭示獲取知識的思維學生在學習過程中展開思維，形成能力。解綜合與探究題要求學生全面、熟練地掌握學過的數學知識、聯繫條件，發展條件，依經驗迅速確定解題的方向和方法。
解決幾何綜合題，需要厚積而薄發。所謂的“幾何感覺”，是建立在足夠的知識積累的基礎上的。熟悉基本圖形及常用的輔助線，在遇到特定條件時能夠及時聯想到對應的模型，找到“新”問題與“舊”模型間的關聯，明確努力方向，才能進一步綜合應用數學知識來解決問題。在中檔幾何題目教學中，注重對基本圖形及輔助線的積累是非常必要的。
①.與相似及圓有關的基本圖形。
②.正方形中的基本圖形。
③.基本輔助線。
a.角平分線——過角平分線上的點向角的兩邊作垂線（角平分線的性質）、翻折。
b.與中點相關——倍長中線（八字全等），中位線，直角三角形斜邊中線。
c.共端點的等線段——旋轉基本圖形（60°，90°），構造圓。
d.垂直平分線，角平分線——翻折。
e.轉移線段——平移基本圖形（線段）線段間有特殊關係時，翻折。
(3)思想方法滲透化
幾何綜合與探究題滲透了數學的重要的思想方法，不能以解決問題作為教學的終結點，應將數學思想方法滲透在整個教學過程中。它應以例題、習題為載體，在學好基礎知識的同時掌握數學的思想方法，並通過不斷的積累、運用，內化為自己的知識經驗，以此應對千變萬化的各種類型的壓軸題。
①.注意觀察、分析圖形，把複雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構造基本圖形。
②.掌握常規的證題方法和思路。
③.運用轉化的思想解決幾何證明問題，運用方程的思想解決幾何計算問題。還要靈活運用數學思想方法伯數形結合、分類討論等）。
(4)解題訓練常規化
幾何綜合與探究題的解題能力的提升是一個漸進的過程，絕不是在兩三週就可以做到的。應把解題能力的提升貫穿於整個數學備考過程，讓學生對二次函數壓軸題經歷從害怕——嘗試——熟悉——自信的過程。
(5)解題格式規範化
有部分學生因解題過程不規範，證明時語言不準確而失分，十分可惜。在複習過程中，要建立數常見題型的書寫模型，明確哪些過程可以簡化，哪些關鍵的步驟是不可少的，多加練習形成固定模式。
(6)要學會搶得分點
綜合與探究題一般在大題下都有兩至三個小題，難度是逐漸遞增，因此，我們在解答時要把第1小題的分數一定拿到，第2小題的分數要力爭拿到，第3小題的分數要爭取得到，這樣就大大提高了獲得中考數學高分的可能性。
一點感悟及建議
在最後一段時間內，要選做一些能代表命題方向的題目，要引導學生對解題過程、結果進行反思，以下幾個方面需重點關注：
（1）試題結構；
（2）解題過程運用了哪些基礎知識與基本技能，哪步易錯，如何防止；
（3）對解題的方法重新評估，以期找到最優解法；
（4）對題目的重要步驟進行分析，抓住關鍵，考慮難點之處如何突破，能否用別的方法導出結果，哪一種方法是最高效的；
（5）對問題的條件和結論進行變換，使問題系統化。
數形結合記心頭，大題小作來轉化，
潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，
分類討論要嚴密，方程函數是工具，
計算推理要嚴謹，創新品質得提高。
中學數學深度研究
你好，很多孩子和你一樣，一談到函數就覺得是攔路虎，談虎色變，特別是初中進入二次函數的學習就覺得更難了。
從客觀上講，整個高中學數學基本上都是圍繞函數展開的，初中開始接觸函數就是為了高中時進一步學習和了解函數，利用函數分析研究解決問題。所以你必須要學好函數，否則以後的學習會很困難。
二次函數的確實是所以基本初等函數中最難的函數，從地位上講，他的工具性非常強，包括高中，大多數問題都是直接運用二次函數或者轉化為二次函數來解決。從自身的特點上講，他自身的參數有三個，圖像雖然都是拋物線，但是又隨著參數a. b. c的變化而具有不同的特徵，因此他幾乎可以涵蓋基本初等函數所有的函數特徵，單調性，奇偶性，對稱性，極值點。
另外，從學生角度來說，現在學習基本上是大班制教學，更講究的是教學效率，短平快，從小學到初中，基本上只需要強調不斷的背誦和練題就可以看到一個滿意的分數而忽略了或者說無法重視思維的培養，雖然國家一再強調思維的培養，但是現實中是不允許的，所以一旦遇上函數這類需要靈活分析的知識內容，就會感覺突然難度陡增。
綜上所述就不難理解你為什麼覺得二次函數難了。
那麼學習函數有什麼技巧和方法嗎？由於你問的是初中的部分，所以在這裡主要針對初中做一些建議。在初中函數的考點主要是函數的解析式和函數的圖像兩個方面。
（1）函數的解析式最主要的方法是待定係數法，在前面提到，二次函數是三個參數，a. b. c，即待定係數有三個，做題時首先分析一下這三個參數有幾個是未知的，有幾個未知就需要幾個條件，三個都未知則需要三個已知條件，若題中的已知條件有兩個，那麼必然可以挖掘一個隱藏條件。最後利用方程的思想解出參數即可，通俗的講就是這三個參數中有幾個未知數就必須建立幾個方程。
（2）函數的圖像，通常是已知圖像求解析式和利用解析式求圖像，不管是哪一種類型，最好的方法是抓關鍵點和分類整理。關鍵就是三點：頂點，和兩個關於對稱軸對稱點點，俗稱三點作圖法，不管開口如何，德爾塔如何，只要抓住這三點，全部圖像都能搞定，所以頂點座標必須要記住，記住了頂點座標就相當於記住了德爾塔，記住了對稱軸。至於分類整理，則需要對函數圖像做一個大致的分類，通常以頂點的來分，頂點在x軸上，在x軸下方，在x軸上方，以對稱軸來分軸在y上，軸在y軸左，軸在y軸右，開口向上與向下同理，通過這樣的分類來整理解析式和圖像，考試時就先去想一想屬於哪一類，心中馬上就有數八九不離十了。
水木天元
二十多年前，我們市中考題最難的是圓和多邊形結合，十幾條輔助線伺候。
遙遙領先的預言
二次函數算難嘛？和函數粘邊的都不難吧！真正難的是幾何特別是圓
