剛剛照片發不上去，重發一次文字版——應該清楚了，最規範方法見相片，可移步到微頭條看——也是本人，即五行揭草所發。
李大壯在解答女兒在閱讀《數學家的眼光》這本書遇到的問題時，除了就書中知識點講解外，還常常擴展開來，以讓女兒"融會貫通"，真正"學懂"數學。比如他在講解"歸納與演繹"專題時，就用這種方法"誘導"女兒得出許多數學結論。
李大壯：完全不同的個位數有幾個？
李慧瓊：1、2、3、…、9，共9個。
李大壯：完全不同的十位數有多少個？
李慧瓊：99-10+1=90。
李大壯：完全不同的百位數有多少個？
李慧瓊：999-100+1=900。
李大壯：完全不同的千位數有多少個？
李慧瓊：9999-1000+1=9000。
李大壯：9、90、900、9000有什麼規律？
李慧瓊：9=9*10^0、90=9*10^1、900=9*10^2、9000=9*10^3
李大壯：N為整數且N≥1，那樣完全不同的N位正整數有多少個？
李慧瓊：9*10^(N-1)個
李大壯：這種推導方法叫什麼方法？
李慧瓊：歸納法。
李大壯：你可否用演繹法證明完全不同的N位正整數有9*10^(N-1)個？
李慧瓊：任意一個N位正整數，其個位上的數字可能為1、2、3、…、9中的任意一個數字，即有9種選擇，十位上的數字可能為0、1、2、3、…、9中的任意一個數字，百位上的數字可能為0、1、2、3、…、9中的任意一個數字，千位上的數字可能為0、1、2、3、…、9中的任意一個數字，…，N位上的數字可能為0、1、2、3、…、9中的任意一個數字，由此可見十位上直到N位上的數字都有10種選擇，因此完全不同的N位正整數個數為：
9*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10…*10
N -1個10
即有9*10^(N-1)個
李大壯：真聰明，你用二種方法證明了有關正整數數位上的數字排列組合的規律。還有沒有別的方法？
李慧瓊：完全不同的N位正整數個數=
99999…9-10000…0 +1=90000…0=9*10^(N-1)N個9 N-1個0 N-1個0
李大壯：你這種方法叫什麼方法？
李慧瓊：演繹法。
李大壯：對，同是演繹法，你前一種方法用的是排列組合法，而後一種用的是算術方法。
李慧瓊：同是證明，算術方法是最簡單的，同一個問題可用不同的數學工具來解決。
李大壯：對，本條數學題如果與笛卡爾的《談談方法》扯上關係，你有什麼看法？
李慧瓊：笛卡爾的方法就是發現問題，提出問題，做出假設，實驗驗證，直到得出正確結論為止，其中"發現問題，提出問題，做出假設"相當於歸納法，而"實驗驗證，直到得出正確結論"相當於演繹法。
李大壯：講得對！你可否列出"完全不同的N位正整數有多少個"的等價命題？
李慧瓊：N位正整數從小到大有多少個？N位正整數從大到小有多少個？如果用0、1、2、3、…、9這10個數字來造出N位正整數，可造出完全不同的個數有多少個？如果用0、1、2、3、…、9這10個數字來組成任意一個N位正整數，有多少種組法？等等，它們都是"完全不同的N位正整數有多少個"的等價命題。
李大壯：講得對！那由所有的N位正整數構成的集合，其元素個數是多少呢？
李慧瓊：9*10^(N-1)個。
李大壯：非常聰明！一個命題是"如果一個集合是由所有的N位正整數構成，那麼其元素個數是9*10^(N-1)個，那麼它的逆否命題是什麼？
李慧瓊：如果一個正整數集合的元素個數不是9*10^(N-1)個，那麼它不是由所有的N位正整數構成的。
李大壯：如何證明？
李慧瓊：因逆否命題等價於原命題，即只需證明"如果一個集合是由所有的N位正整數構成，那麼其元素個數是9*10^(N-1)個”成立即可。所有的N位正整數是無窮多的，但按照集合論有關元素的定義，二個或多個相同的N位正整數僅算一個元素，這樣一來只需證明"完全不同的N位正整數有9*10^(N-1)個"即可。
李大壯：非常聰明！如果三個集合分別是｛N位正整數｝、｛N位正整數｜從小到大｝、｛N位正整數｜從大到小｝，它們有什麼關係？
李慧瓊：這三個集合是相同的。
李大壯：如果一個集合是｛兩個N位正整數之和｝，那麼該集合的元素個數是否有可能存在無限多的情況？
李慧瓊：1.當N=1時，先探討A1=1、A2=2、A3=3的情形，
｛(Ai+Aj)｜Ai∈{1，2，3}，Aj∈{1，2，3}，i=1、2、3，j=1、2、3｝=｛2，3，4，3，4，5，4，5，6｝=｛2，3，3，4，4，4，5，5，6｝=｛2，3，4，5，6｝
當N=1時，再探討A1=1、A2=2、A3=3、A4=4的情形，
｛(Ai+Aj)｜Ai∈{1，2，3，4}，Aj∈{1，2，3，4}，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4｝=｛2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7，5，6，7，8｝=｛2，3，3，4，4，4，5，5，5，5，6，6，6，7，7，8｝=｛2，3，4，5，6，7，8｝
2.當N=2時，探討A1=10、A2=11、A3=12的情形，
｛(Ai+Aj)｜Ai∈{10，11，12}，Aj∈{10，11，12}，i=1、2、3，j=1、2、3｝=｛20，21，22，21，22，23，22，23，24｝=｛20，21，21，22，22，22，23，23，24｝=｛20，21，22，23，24｝
3. 當N=3時，探討A1=100、A2=101、A3=102、A4=103的情形，
｛(Ai+Aj)｜Ai∈{100，101，102，103}，Aj∈{100，101，102，103}，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4｝=｛200，201，202，203，201，202，203，204，202，203，204，205，203，204，205，206｝=｛200，201，201，202，202，202，203，203，203，203，204，204，204，205，205，206｝=｛200，201，202，203，204，205，206｝
……
由上面例子可歸納出如下規律：
當N=c時，c∈{x｜x≥1的整數}設A1為最小的c位正整數，令A1=b，有A2=b+1、A3=b+2、A4=b+3、…、A9*10^(c-1)=b+9*10^(c-1)-1，而c位正整數從小到大共有9*10^(c-1)個，也即A9*10^(c-1)為最大的c位正整數，因此有：
｛(Ai+Aj)｜Ai∈{b，b+1，b+2，b+3，…，b+9*10^(c-1)-1}，Aj∈{b，b+1，b+2，b+3，…，b+9*10^(c-1)-1}，i=1、2、3、4、…、9*10^(c-1)，j=1、2、3、4、…、9*10^(c-1)｝=｛2b，2b+1，2b+2，2b+3，…，2b+18*10^(c-1)-2｝，因此有：
｜｛2b，2b+1，2b+2，2b+3，…，2b+18*10^(c-1)-2｝｜=2b+18*10^(c-1)-2-2b+1=18*10^(c-1)-1
因此當N無窮大時，也即c無窮大時，18*10^(c-1)-1→+∞，｛兩個N位正整數之和｝為無限集，｜｛兩個N位正整數之和｝｜為無限多；當N為一常數c時，c∈{x｜x≥1的整數}，
｜｛兩個N位正整數之和｝｜=18*10^(c-1)-1，｛兩個N位正整數之和｝為有限集。
李大壯：非常聰明！｛三個N位正整數之和｝是什麼情況呢？
李慧瓊：依據上邊有：｜｛三個N位正整數之和｝｜=b*3+3*9*10^(N-1)-3-b*3+1=27*10^(N-1)-2
當N無窮大時，27*10^(N-1)-2→+∞，｛三個N位正整數之和｝為無限集；當N為一常數c時，c∈{x｜x≥1的整數}，｜｛三個c位正整數之和｝｜=27*10^(c-1)-2為一定值，｛三個c位正整數之和｝為有限集。
李大壯：｛k個N位正整數之和｝是什麼情況呢？k∈{x｜x≥1的整數}。
李慧瓊：同樣有：｜｛k個N位正整數之和｝｜=b*k+k*9*10^(N-1)-k-b*k+1=9k*10^(N-1)-k+1
當N無窮大時，無論k是常數還是無窮大，都有9k*10^(N-1)-k+1=k(9*10^(N-1)-1)+1→+∞，｛k個N位正整數之和｝為無限集；
當N為一常數c時，c∈{x｜x≥1的整數}，又有二種情形：
1) k為一定值時，｜｛k個c位正整數之和｝｜=9k*10^(c-1)-k+1為一定值，｛k個c位正整數之和｝為有限集。
2) k為無窮大時，9k*10^(c-1)-k+1=k(9*10^(c-1)-1)+1→+∞，｛k個c位正整數之和｝為無限集。
李大壯：太捧了！求一下｛2位正整數｝∪｛兩個2位正整數之和｝∪｛三個2位正整數之和｝∪｛四個2位正整數之和｝…∪｛k個2位正整數之和｝，k∈{x｜x≥2的整數}
李慧瓊：｛10，11，12，13，14，…，99k｝
李大壯：好！n∈{x｜x≥1的整數}，S(n)=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+…+1/n，當n→+∞時，S(n)小於一定值嗎？
李慧瓊：S=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+…+1/n=1/1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16)+…+1/n≥1+1/2+2*1/4+4*1/8+8*1/16+…+1/n=1+1/2+1/2+1/2+1/2+…+1/n=1+m*1/2+…=1+m/2+…
其中m∈{x｜x≥1的整數}，當n→+∞時，有m→+∞，1+m/2+…→+∞，所以S(n)不可能小於一定值，而是無窮大。
李大壯：超棒！當n→+∞時，S(n)無窮大，此種情形在數學上用什麼術語描述。
李慧瓊：發散。
李大壯就是用這些方法來輔導女兒數學的，使女兒數學越學越好。作為初二學生的李慧瓊通過閱讀《數學家的眼光》這本書，在父親擴展開來講解後，她已提前掌握了不少高中數學知識。
閱讀更多 五行揭草 的文章
