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你好，我是一名北大在讀博士生，當過7年初高中生家教。

我根據我教過上千名的中學生，發現無論是初中生還是高中生，在數學學習過程中，都對數學這本課程或多或少產生了恐懼，有些學生甚至會放棄數學這本課程的學習。

分析了現在學生對於數學這門科目遲遲無法提分的原因。

第一，數學很難，學不會；第二，課本上的例題都會，但是就做不出來題；第三，容易的題會做，但難題沒有思路，遲遲無法提高分數；第四，很努力學習數學，但成績總是不盡人意；第五，買了很多的輔導書，但是不知道如何刷題，導致自己越學越累。

不僅學生自己喪失學習信心，家長也很著急，忙於給孩子找老師選輔導機構，但孩子成績仍不見長。

針對這種情況，我寫了一本《直擊高考漏洞》，書中針對如何提高高中數學成績給出了一些辦法，也總結了歷年來數學在中高考中的出題規律及答題技巧。

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初中數學比較基礎，考查的函數知識都屬於函數的入門知識點。而且函數與方程的思想是中學數學最根基的思想。

例如：一次函數的考查，性質，表示方法；正比例函數；反比例函數；這些知識點都是數學中的基礎知識點。

要學好函數問題，需要把握住以下幾個知識點：

函數的定義、表示方法、性質，這些知識點都需要熟練掌握。

比如一次函數y=kx+b，這個函數的性質包括以下幾點，k不為0，x的指數為1，b取任意實數。

一次函數y=kx+b的圖像是經過(0，b)和(-b/k,0)兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看做直線y=kx平移|b|個單位長度得到。

函數問題是除了幾何問題外，初中生難以掌握的一個知識點。但是隻要把各個知識點拆分開來，逐個掌握，就可以很容易地掌握這些知識點。

如果有需要函數學習方法或者資料的童鞋或者家長，私信：方法，我會免費送給你。

北大博士教數學

函數的前世今生：初中階段我們如何與函數結緣？

謝謝你，你說出了初中學段絕大多數同學的痛點：函數好難啊！老學不好。但是也恭喜你，數學學到函數內容，你終於有緣與近代數學沾上邊了，與現代數學越來越近了。你可能會好奇，學了這麼久的數學，才沾邊。在學函數以前，我們學的是什麼？要回答這個問題，不得不科普一下數學發展的歷史了，看看我們所學的內容在歷史的座標軸上處於什麼位置？

數學的發展粗略分為三個時期：從數學形成到17世紀中期，17世紀中期到19世紀中期，19世紀中期以後，這三個時期依次對應於：古典數學（常量數學），近代數學（變量數學），現代數學（應用數學和純粹數學）。

這樣看來，我們在中小學所學數學絕大部分是17世紀中葉前古老的數學知識，是由四大文明古國等創立的。在這一階段，代數研究對象“數”是常量，幾何研究的對象“形”是不變的規則幾何形體。研究對象“不變”是永恆的主題，謂之常量數學（古典數學），代數和幾何還處於“分治”狀態。

直到數學牛人笛卡爾在幾何學上引入直角座標系（笛卡爾座標系），創立了解析幾何，才使得數學研究兩個基本對象“數”、“形”合二為一。我們現在數學中常說的“數形結合”思想即發軔於此。不僅如此，“數”、“形”都由不變，發展為“變量”、“變形”，即函數和曲線了。在數學史上，這是劃時代的大事件！革命導師恩格斯有言為證：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了。”這一時期，數學研究對象數形終於不分家了，“變”成了永恆的主題，謂之變量數學（近代數學）。

花了近500字，科普了一下數學發展史，基本瞭解了函數的前世，不知能否讓你增添些興趣繼續讀下去，去了解函數的今生。

初中階段要學好函數，建議宏觀上從以下六個方面把握：

1. 函數的概念 2. 函數的種類 3. 函數的表達式

4. 函數的圖象 5. 函數的性質 6. 函數的運用與應用

1.函數的概念

不想背書，舉例說吧，簡單一點，但需要你配合。請你拿筆隨手寫下如下算式：x＋y=3，並嘗試解釋它的含義。

我把ta解釋為：兩數之和為3。

試想這兩個數分別是多少呢？這兩個數是常量or變量？

用小學學過的“拆分湊整”思想，把“3”拆分一下，就可以寫出下列“動車”式：

1＋2=0.5＋2.5=3/2＋3/2=（√2＋3）＋（－√2）=6＋（－3）=0＋3= … =3

得出結論，顯然這兩個數x，y均為變量。

這兩個變量滿足：y=3－x

此時，此式就確立兩個變量x，y之間的對應規則：在實數範圍內，取定一個x的值，都有一個y的值與之對應，並且這個y值是唯一的（這句話要畫重點喔，課堂上老師說到這裡時，都要敲黑板的！）。

理解一下這段話：可以設想有兩個筐A，B，這兩個筐裡都裝滿了實數。從A筐任取一個實數x，按對應規則y=3－x，我們總能從B筐找到一個實數y，並且只能找到唯一一個實數y與x相對應。當我們取遍A筐的所有實數時，就在A，B兩筐之間建立了一種對應關係，這種對應關係就是我們通常所說的函數關係，簡稱函數。

特別地，從純對應的角度理解，從A筐到B筐對應關係包含兩種：一對一，多對一。顯然一對多是被禁止的（這就是老師敲黑板的原因）！

在上述例子中，x是主動變量（自變量），y隨x的改變而變化，是從動變量（因變量），通常就把y叫做x的函數。

再理解一下上述例子： x在某一範圍內，按對應規則y=3－x，與另一範圍內y值建立函數關係。

三層意思：自變量x取值的範圍，函數值y的取值範圍，函數表達式（對應規則）：y=3－x。

這是函數概念的核心，也稱函數概念的三要素。我們在做函數題時，遇到的求自變量取值範圍，求函數值取值範圍，求函數表達式，函數關係式，函數解析式（通常有這三種說法，都是指對應規則），即源於此。

函數（function）一詞，最早來自清朝數學家李善蘭翻譯著作《代數學》。他說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，翻譯成白話就是說，函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量，函有含的意思。

2. 函數的種類

數學中，函數是一個大的家族。和把數分類一樣，我們可以把函數進行分類，進一步細分成很多種類。初中學段，我們主要學習三種最基本的初等函數：一次函數，二次函數，反比例函數。從整個函數家族來看，初中階段所學的函數，基本屬於“函數”掃盲階段，更多內容及更高層次的學習留到高中，大學階段，要加油喲！

3. 函數的表達式

函數表達式有很多說法，什麼函數關係式，函數解析式，都是一個意思，即對應規則的數學表示方法。三種基本初等函數的表達式都有標準形式（類似於人的大頭貼：標準像，也稱一般式）：

一次函數y=kx＋b，其中x，y是變量（下同），k，b是常量；

二次函數y=ax^2＋bx＋c，其中a，b，c是常量；

反比例函數y=k/x，其中k是常量。

這些標準形式中，除兩個變量x，y以外，還有一些參數，比如a，b，c，k等。函數題中，有一類問題就是根據給定條件（比如一些對應值或是圖象上的點），確定這些待定的參數的。確定這些待定參數的方法，就叫待定係數法。

4. 函數的圖象

如果說函數表達式是從“數（式）”角度，對函數給出的一種表達方式的話，那麼函數圖象就是從“形”的角度，對函數給出的另一種表達方式，再一次體現了函數的數形結合的思想。

函數圖象的畫法：先通過列表取若干組對應值，藉助直角座標系，再將這些對應值作為點的座標在座標系中描點，然後連線。通過這一連串的操作，即可得到函數的像：圖象。所以畫函數圖象就相當給函數畫相（相當有意思，此處出現三個讀音相同的字，像象相，異同如何？），取點越多，間隔越小，則圖象越精細，準確。

經過數學高人們的探索，總結出了三種初等函數的圖象規律：

一次函數y=kx＋b，圖象是一條直線。因為表達式中有兩個參數，所以只需兩點搞定（列二元一次方程組，解之，搞定k，b）。這又與歐式幾何中的直線公理：兩點確定一條直線相吻合。代數與幾何完美印證，神奇！

二次函數y=ax^2＋bx＋c，圖象是一條曲線（不是直的啦!），這條曲線經常從NBA賽場的空中劃過。形似拋出的球在空中劃過的一道“弧”線，但不叫拋球線，俗稱拋物線。球是物的一種，拋他物也有類似效果。因為表達式中有三個參數，所以一般情況下，只需三點搞定（列三元一次方程組，解之，搞定a，b，c）。

反比例函數y=k/x，圖象是一條曲線（又是曲的！），俗稱雙曲線。因為表達式中只有一個參數，所以只需一點搞定（列一元一次方程，解之，搞定k）。這條曲線有點特別，與同樣是曲線的拋物線不同之處在於，ta是斷開的（拋物線是連續的，沒有斷開的），所以一條曲線斷開，一分為二，二為雙，雙曲線由此得名！斷開的原因又契合了小學數學中0不能作除數的規定；初中數學中，分式的分母不為0的規定。看到了開頭，想不到結局，神奇的數學。

5. 函數的性質

就像瞭解一個人一樣，除了瞭解其姓名，相貌外，更重要的是要了解此人的性格特徵。研究函數也一樣，除了解函數表達式，圖象外，更重要的是要了解函數的性質。這個絕對是學習函數的重點，但限於本文篇幅，不想再羅列了（翻翻教科書吧），大致總結一下研究函數性質的幾個方面吧。一般來說，函數的性質從以下幾個方面去總結：

a.特殊點：如拋物線的頂點（或其他突變點），與座標軸的交點。

b.位置特徵：經過哪幾個象限（哪幾個象限內）。

c.表達式中，各參數的作用。

d.對稱性：中心對稱，軸對稱。

e.變化趨勢（增減性或單調性）：自變量和函數值的變化是否一致。

等等

6. 函數的運用與應用

這才是學習函數的終極目標，理所當然的是重點也是難點，大多數同學學習函數的痛點在此！掌握單個的知識點相對容易，靈活地綜合地運用這些知識點來解決遇到的各種函數類的應用問題，就相對困難。這個沒有捷徑，只有通法：理解加記憶，做中學，學中做，勤學善思。不過倒有幾個意識必須格外強烈：

f.數形結合的意識，即由形悟數，由數想形。遇到數（式）要畫形，看到圖象要悟數（式）。安利一句數學家華羅庚的名言：數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。

g.函數，方程，不等式三者緊密聯繫的意識。函數反映的是兩個變量相互影響的全局，方程反映是這個全局中的特殊時刻（瞬間），不等式反映是這個全局中的局部。

h.縱橫交錯的意識。函數圖象上，橫表示自變量，縱表示函數值，兩個變量相互影響。一個變量一有風吹草動，另一個變量立馬會有相應響應。由自變量的變化推知函數值的變化；由函數值的變化推知自變量的變化。這樣由橫推縱，由縱及橫，縱橫交錯，才能做到由表及裡，玩轉函數。

有幸遇到題主提出的問題，對函數作了一番概述，希望對題主與函數從結緣到相知有所幫助！

我是中考數學當百薈，如認同，請點贊。點贊如贈花，舉手之勞，手留餘香。

中考數學當百薈

初中函數無非就這14張圖，掌握3年不愁！

無知青鳥

在初中學習中，函數是一個難點，很多孩子都表示看見函數就犯怵。這是為什麼呢？

函數是孩子第一次接觸“變”的不定，它是數形結合的典範，它在代數上和其它知識完美結合，和幾何中的各種“形”無縫對接，聯繫實際也很容易，出題靈活而多變，在壓軸題中更是難住了孩子們。

我們怎樣來學習函數呢？

1.掌握基礎知識，建立知識網絡。

2.對函數的數和形切換自由

這部分常有孩子把各知識點掌握得非常'好，但遇到問題常常卡殼。原因是沒有把數形結合起來解決問題。

在以前代數學習中數就是進行+-×÷運算的，只是符號而已，而學了函數把它們放在了一個平面中，因為陌生而有了牴觸情緒。在剛進行函數部分學習中我們講得很慢，讓孩子去適應這種變化。

我們孩子該怎麼辦？遇到函數要立即想象它的圖象，增加熟識度。比如看到y=4x+5，我們的腦海中立即想它的草圖：

初學時要重視例題，雖然簡單，但它引導我們學會如何思考；它的題例是典型題，屬於母題，可以衍生出很多新題。比如

這就是一典型題，在很多中考題中都出現過這類題。

4.錯題要及時整理。

我常對孩子說，錯了很正常，不錯才不正常；錯了才有提升空間。所以我特別關注孩子的錯題——於我錯題必講；於孩子錯題必改。如果時間夠充足，每週都有一張錯題小卷（集中孩子的常錯題，當然題會稍作改變）

5.典型題要及時總結

題變來變去也無非是那麼幾種類型，一定要學會找突破囗分析各類型題。比如解決動點問題時，要找到動中的不變。

6.一定要認真聽講

認真聽講是最重要的優點，跟緊老師的步伐是學好的充要條件。

很多難點都是紙老虎，要有戰勝它的勇氣，在戰略上的藐視和在戰術上的重視一定會戰勝敵人。

努麗

初中的函數主要涉及正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數、三角函數（嚴格意義上講這塊內容不屬於函數。高中才學習三角函數的圖像和性質。）

在初中階段學習函數主要從:定義、圖像與性質、應用這三方面去學習和研究。定義是基礎，圖像和性質是重點，應用是難點。

函數

要學習函數，要對函數的概念、自變量的取值、函數的表示方法有所瞭解和掌握。

正比例函數

對於正比例函數的學習需要從概念、圖像、性質、求解析式等方面去學習。

正比例函數是特殊的一次函數，在學習中時需要與一次函數結合起來學習。

一次函數

對於一次函數的學習需要從概念、圖像、性質、求解析式等方面去學習。

反比例函數

對於反比例函數的學習需要從概念、圖像、性質、求解析式等方面去學習。

注意反比例函數與正比例函數的區別與聯繫。

二次函數

對於二次函數的學習需要從概念、圖像、性質、求解析式等方面去學習，二次函數所涉及的知識點比較多，往往與函數、方程、圖形結合起來考察，題目具有一定的難度。

三角函數

在初中只學習常用的三種三角函數的定義以及幾個特殊角的三角函數值。

在函數的學習中，函數的圖像和性質是重點，需要理解、掌握和運用。

胡老師數學教育

您好，知道自己哪裡不好，並且為之想辦法的人就很了不起了。所謂的想法加行動等於成功的一種方式。

函數不好有兩種方法可以解決：

一、自己做題，自己總結，買函數專項解析資料。看看人家是用什麼方法做什麼題的。總結歸納，自尋出路。

二、找高人指路。可以針對函數讓家長報個一對一補習班，讓專業的老師專門給您服務。也可以每天都請交自己數學老師兩道題目，我當時就是這麼做的，兩個周下來我的數學就突飛猛進了。

糖堂學糖

函數不好的原因是沒有理解函數的圖像極其性質。初中只有個一次函數，二次函數，反比例函數和三角函數（基礎）。函數大都有一個一般式，符合這個一般式的都可以用它的性質，性質是背不了的，要按照圖形理解，為什麼是這樣，憑什麼是這樣，按圖思考，習慣了就記住了。作業按圖和性質去想。不過小學的數學基礎同樣要熟……

休閒驛站42525511

俺就放棄退學。跟師傅學手藝，函數學得好不能賺錢。手藝學得好，可以賺很多錢。

青山綠水652863

畫圖，數形結合，

高中理科入門

初中數學函數共分一次函數、反比例函數、二次函數三塊，學習過程是相同的:都是通過實際抽象出定義式，然後畫出圖象，得出性質，然後應用。你得認真學一次函數，再學反比例函數、二次函數就簡單多了。

關鍵字: 初中 解析 教育