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最近对k.p模型很感兴趣，但是找了很多资料，翻了很多书发现讲得都很简略，没有什么实操性。在各种请教别人之后，终于自己重复出来经典的硅的Dresselhaus–Kip–Kittel (DKK) 3带哈密顿量。鉴于网上对这部分资料介绍较少，现在对想学又苦于找不到资料的同学，希望这篇文章可以帮到你 (欢迎留言讨论和批评指正)。
https://pan.baidu.com/s/1iCIjPvzxoEbMsfOBG2v4Nw
本文目标：从零开始以晶体 价带Γ点三重简并的Bloch波函数为基，构造出金刚石结构晶体的k.p effective Hamilton。
首先说一下什么是k.p模型。
(也可以看看https://www.iue.tuwien.ac.at/phd/windbacher/node32.html)
单电子Schr¨odinger equation写为：
其中H为：
第三项为自旋轨道耦合项，本文先忽略。上面波函数为Bloch形式：
代入化简得：
其中：
可以看到我们在Γ点，以Bloch函数为基矢，在H(k)中，Hk,p可看作对H的微扰，所以k.p method本质为微扰论。
下面进入正题，对具有diamond结构的晶体，它们在Γ点附近靠近费米面的能带长这样：
(该表格如何得到参考：石墨烯Dirac点的群论解释)
那么现在我们考虑二阶微扰， 有公式：
似乎还是有36个参数，而且形式貌似更复杂了。但是这是由我们研究的问题决定的，当我们不是构造3 bands medel， 继续扩充我们选择加入基矢的能带时，或者体系对称性比较低时，很多矩阵元可以用这种方法写成比较简单的形式。
下面贴一些Mathematica的推导过程：
首先是构造群表示：
然后利用这些表示矩阵约化H(k)：
反复约化，得到最终形式，只剩三个独立参数(放大看)：
对比一下书上的结果，一模一样，有没有：
总结一下操作步骤就是：
1. 利用basis function写出体系所属群的表示矩阵。
2. 利用选择定则确定各个矩阵元的形式（k的多项式），设置一系列参数。
3. 利用公式
约化哈密顿量，得到独立参数。
References：
1. Lok C. Lew Yan Voon · Morten Willatzen， The k·p Method
2. M.S. Dresselhaus G. Dresselhaus A. Jorio, Group Theory-Application to the Physics of Condensed Matter
另外推导k.p effective Hamilton时用到的工具：Matlab, Mathematica
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