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最近對k.p模型很感興趣，但是找了很多資料，翻了很多書發現講得都很簡略，沒有什麼實操性。在各種請教別人之後，終於自己重複出來經典的硅的Dresselhaus–Kip–Kittel (DKK) 3帶哈密頓量。鑑於網上對這部分資料介紹較少，現在對想學又苦於找不到資料的同學，希望這篇文章可以幫到你 (歡迎留言討論和批評指正)。
https://pan.baidu.com/s/1iCIjPvzxoEbMsfOBG2v4Nw
本文目標：從零開始以晶體 價帶Γ點三重簡併的Bloch波函數為基，構造出金剛石結構晶體的k.p effective Hamilton。
首先說一下什麼是k.p模型。
(也可以看看https://www.iue.tuwien.ac.at/phd/windbacher/node32.html)
單電子Schr¨odinger equation寫為：
其中H為：
第三項為自旋軌道耦合項，本文先忽略。上面波函數為Bloch形式：
代入化簡得：
其中：
可以看到我們在Γ點，以Bloch函數為基矢，在H(k)中，Hk,p可看作對H的微擾，所以k.p method本質為微擾論。
下面進入正題，對具有diamond結構的晶體，它們在Γ點附近靠近費米麵的能帶長這樣：
(該表格如何得到參考：石墨烯Dirac點的群論解釋)
那麼現在我們考慮二階微擾， 有公式：
似乎還是有36個參數，而且形式貌似更復雜了。但是這是由我們研究的問題決定的，當我們不是構造3 bands medel， 繼續擴充我們選擇加入基矢的能帶時，或者體系對稱性比較低時，很多矩陣元可以用這種方法寫成比較簡單的形式。
下面貼一些Mathematica的推導過程：
首先是構造群表示：
然後利用這些表示矩陣約化H(k)：
反覆約化，得到最終形式，只剩三個獨立參數(放大看)：
對比一下書上的結果，一模一樣，有沒有：
總結一下操作步驟就是：
1. 利用basis function寫出體系所屬群的表示矩陣。
2. 利用選擇定則確定各個矩陣元的形式（k的多項式），設置一系列參數。
3. 利用公式
約化哈密頓量，得到獨立參數。
References：
1. Lok C. Lew Yan Voon · Morten Willatzen， The k·p Method
2. M.S. Dresselhaus G. Dresselhaus A. Jorio, Group Theory-Application to the Physics of Condensed Matter
另外推導k.p effective Hamilton時用到的工具：Matlab, Mathematica
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