一. Hardy 的明信片
讓我們從一則小故事開始我們的 Riemann 猜想 (Riemann hypothesis) 漫談吧[注一]。 故事大約發生在二十世紀三十年代， 當時英國有位很著名的數學家叫做 Godfrey Hardy (1877-1947)， 他不僅著名， 而且在我看來還是兩百年來英國數學界的一位勇者。 為什麼這麼說呢？ 因為在十七世紀的時候， 英國數學家與歐洲大陸的數學家之間發生了一場激烈的論戰。 論戰的主題是誰先發明瞭微積分。 論戰所涉及的核心人物一邊是英國的科學泰斗 Isaac Newton (1642-1727)， 另一邊則是歐洲大陸 (德國) 的哲學及數學家 Gottfried Leibniz (1646-1716)。 這場論戰打下來， 兩邊筋疲力盡自不待言， 還大傷了和氣， 留下了曠日持久的後遺症。 自那以後， 許多英國數學家開始排斥起來自歐洲大陸的數學進展。 一場爭論演變到這樣的一個地步， 英國數學界的集體榮譽及尊嚴、 Newton 的赫赫威名便都成了負資產， 英國的數學在保守的舞步中走起了下坡路。
這下坡路一走便是兩百年。
在這樣的一個背景下， 在複數理論還被一些英國數學家視為是來自歐洲大陸的危險概念的時候， 土生土長的英國數學家 Hardy 卻對來自歐洲大陸 (而且偏偏還是德國)、 有著複變函數色彩的數學猜想——Riemann 猜想——產生了濃厚興趣， 積極地研究它， 並且——如我們將在 後文 中介紹的——取得了令歐洲大陸數學界為之震動的成就， 算得上是勇者所為。
當時 Hardy 在丹麥有一位很要好的數學家朋友叫做 Harald Bohr (1887-1951)， 他是著名量子物理學家 Niels Bohr (1885-1962) 的弟弟。 Bohr 對 Riemann 猜想也有濃厚的興趣， 曾與德國數學家 Edmund Landau (1877-1938) 一起研究 Riemann 猜想 (他們的研究成果也將在 後文 中加以介紹)。 Hardy 很喜歡與 Bohr 共度暑假， 一起討論 Riemann 猜想。 他們對討論都很投入， Hardy 常常要待到假期將盡才匆匆趕回英國。 結果有一次當他趕到碼頭時， 很不幸地發現只剩下一條小船可以乘坐了。 從丹麥到英國要跨越寬達幾百公里的北海 (North Sea)， 在那樣的汪洋大海中乘坐小船可不是鬧著玩的事情， 弄得好算是浪漫刺激， 弄不好就得葬身魚腹。 為了旅途的平安， 信奉上帝的乘客們大都忙著祈求上帝的保佑。 Hardy 卻是一個堅決不信上帝的人， 不僅不信， 有一年他還把向大眾證明上帝不存在列入自己的年度六大心願之中， 且排名第三 (排名第一的是證明 Riemann 猜想)。 不過在面臨生死攸關的旅程之時 Hardy 也沒閒著， 他給 Bohr 發去了一張簡短的明信片， 上面只有一句話：
“我已經證明了 Riemann 猜想。”
Hardy 果真已經證明了 Riemann 猜想嗎？ 當然不是。 那他為什麼要發那樣一張明信片呢？ 回到英國後他向 Bohr 解釋了原因， 他說如果那次他乘坐的小船真的沉沒了， 那人們就只好相信他真的證明了 Riemann 猜想。 但他知道上帝是肯定不會把這麼巨大的榮譽送給他——一個堅決不信上帝的人——的， 因此上帝是一定不會讓他的小船沉沒的[注二]。
上帝果然沒捨得讓 Hardy 的小船沉沒。 自那以後又過了大半個世紀， 吝嗇的上帝依然沒有物色到一個可以承受這麼大榮譽的人。
二. Riemann ζ 函數與 Riemann 猜想
那麼這個讓上帝如此吝嗇的 Riemann 猜想究竟是一個什麼樣的猜想呢？ 在回答這個問題之前我們先得介紹一個函數： Riemann ζ 函數 (Riemann ζ function)。 這個函數雖然掛著德國數學家 Bernhard Riemann (1826-1866) 的大名， 其實並不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 雖然不是這一函數的提出者， 他的工作卻大大加深了人們對這一函數的理解， 為其在數學與物理上的廣泛應用奠定了基礎。 後人為了紀念 Riemann 的卓越貢獻， 就用他的名字命名了這一函數[注三]。
那麼究竟什麼是 Riemann ζ 函數呢？ 簡單地說， 它的定義是這樣的： Riemann ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式 (n 為正整數)
ζ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1)
在複平面上的解析延拓 (analytic continuation)。 之所以要對上述級數表達式進行解析延拓， 是因為——如我們已經註明的——這一表達式只適用於複平面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 (否則級數不收斂)。 Riemann 找到了這一表達式的解析延拓 (當然 Riemann 沒有使用 “解析延拓” 這樣的現代複變函數論術語)。 運用圍道積分 (contour integral)， 解析延拓後的 Riemann ζ 函數可以表示為：
這裡我們採用的是歷史文獻中的記號， 式中的積分實際上是一個環繞正實軸 (即從 +∞ 出發， 沿實軸上方積分至原點附近， 環繞原點積分至實軸下方， 再沿實軸下方積分至 +∞——離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨於 0) 進行的圍道積分； 式中的 Γ 函數 Γ(s) 是階乘函數在複平面上的解析延拓， 對於正整數 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以證明， 上述 ζ(s) 的積分表達式除了在 s=1 處有一個單極點 (simple pole) 外， 在整個複平面上處處解析。 這樣的表達式是所謂的亞純函數 (meromorphic function)——即除了在一個孤立點集 (set of isolated points) 上存在極點 (pole) 外， 在整個複平面上處處解析的函數——的一個例子。 這就是 Riemann ζ 函數的完整定義。
運用上面的積分表達式可以證明， Riemann ζ 函數滿足以下代數關係式——也叫函數方程 (functional equation)：
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)
從這個關係式中不難發現， Riemann ζ 函數在 s=-2n (n 為正整數) 處取值為零——因為 sin(πs/2) 為零[注四]。 複平面上的這種使 Riemann ζ 函數取值為零的點被稱為 Riemann ζ 函數的零點。 因此 s=-2n (n 為正整數) 是 Riemann ζ 函數的零點。 這些零點分佈有序、 性質簡單， 被稱為 Riemann ζ 函數的平凡零點 (trivial zeros)。 除了這些平凡零點外， Riemann ζ 函數還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得複雜， 被恰如其分地稱為非平凡零點 (non-trivial zeros)。 對 Riemann ζ 函數非平凡零點的研究構成了現代數學中最艱深的課題之一。 我們所要討論的 Riemann 猜想就是一個關於這些非平凡零點的猜想， 在這裡我們先把它的內容表述一下， 然後再敘述它的來龍去脈：
Riemann 猜想： Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。
在 Riemann 猜想的研究中， 數學家們把複平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為臨界線 (critical line)。 運用這一術語， Riemann 猜想也可以表述為： Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於臨界線上。
這就是 Riemann 猜想的內容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。 從其表述上看， Riemann 猜想似乎是一個純粹的複變函數命題， 但我們很快將會看到， 它其實卻是一曲有關素數分佈的神秘樂章。
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