盈虧問題經典模型：今共有某物，人出 a1，盈 b1；人出 a2，不足 b2。問人數、
物數各有多少？
假設人數為 x，則 a1x+ b1= a2x- b2；
這是方程法解盈虧問題的關鍵。
例 1、將蜜柑若干分給兒童若干人，若每人 5 個則不足 2 個；若每入 4 個則
尚餘 3 個。求兒童人數和蜜柑數。
【解答】設有兒童 x 人，依題意列出方程：
5x-2=4x+3
x=5
蜜柑數：5×5-2=23（個）
答：兒童 5 人，蜜柑 23 個。
例 2、李師傅加工一批零件，如果每天做 50 個，要比原計劃晚 8 天完成；
如果每天做 60 個，就可以提前 5 天完成，這批零件共有多少個？
【解答】設原計劃生產天數為 x 天，依題意列出方程：
（x+8）×50=（x-5）×60
50x+400=60x-300
10x=700
x=70
零件數：（70+8）×50=3900（個）
答：這批零件共有 3900 個。
例 3、有一群小朋友分一堆蘋果，如果每人分 5 個，就會剩下 4 個蘋果，這
時走了 3 個小朋友，則每人分 6 個還會剩 4 個，那麼原來一共有多少個蘋果？
【解答】設原有小朋友 x 人，依題意列出方程：
5x+4=6（x-3）+4
5x+4=6x-14
x=18
所以，蘋果的總數是 18×5+4=94（個）
答：原來一共有 94 個蘋果。
例 4、學生搬一堆磚，每人搬 k 塊，還剩 14 塊，若每人搬 9 塊，最後一人
只搬 6 塊。參加搬磚的學生共有多少人？這堆磚有多少塊？
【解答】設參加搬磚的學生共有 x 人，依題意列出方程：
kx+14=9x-3
（9-k）x=17
我們依 k 的正整數值進行討論，其中人數 x 也是正整數。由於（9-k）為正
整數，因為 17 是質數，由 9-k=17→k=-8 不合題意，所以 9-k=1，此時 k=8，相
應的 x=17。這堆磚為 8×17+14=150（塊）
答：參加搬磚的學生共有 17 人，這堆磚有 150 塊。
例 5、一批旅客決定分乘幾輛大巴車，要使每輛車乘坐同樣的人數。起先，
每輛車坐 22 人，發現有一人坐不上車；若是開走一輛空車，那麼所有的旅客剛
好平均分乘餘下的車。已知每輛車的容量不多於 32 人，問原有多少輛大巴車？
這些旅客有多少人？
【解答】分析設原有 k 輛大巴車，而開走一輛後，留下的每車乘 n 個人，顯
然 k≥2，n≤32。則旅客人數等於 22k+1。
當開走一輛空車後，所有旅客數為 n（k-1），由此列得方程：
因為 n 是正整數，所以23/（k-1）必是正整數，但 23 是質數，約數只有 1 與 23，
且 k≥2 所以 k-1=1 或 k-1=23。
如果 k-1=1，那麼 k=2，n=45，不符合 n≤32 的題設條件。
如果 k-1=23，那麼 k=24，n=23，合題設條件。
因此，原有 24 輛大巴車，旅客人數等於 n（k-1）=23×23=529（人）
答：原有 24 輛大巴車，旅客 529 人。
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